（新课标）高考数学复习第六章数列第34讲数列求和导学案新人教A版.docx

第34讲数列求和【课程要求】1熟练掌握等差、等比数列前n项和公式2熟练掌握非等差、等比数列求和的几种方法，如错位相减、裂项相消以及分组求和等对应学生用书p91【基础检测】1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn.()(2)当n2时，2.()(3)求Sna2a23a3nan之和时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得()(4)数列的前n项和为n2.()(5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21sin22sin23sin288sin28944.5.()(6)如果数列an是周期为k的周期数列，那么SkmmSk(m，k为大于1的正整数)()答案 (1)(2)(3)(4)(5)(6)2必修5p61A组T4(3)12x3x2nxn1_(x0且x1)解析设Sn12x3x2nxn1，则xSnx2x23x3nxn，得(1x)Sn1xx2xn1nxnnxn，Sn.答案3必修5p61A组T5一个球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是()A100200(129) B100100(129)C200(129) D100(129)解析第10次着地时，经过的路程为1002(502510029)1002100(212229)100200100200(129)答案A4.()A.B.C.D.解析因为.答案C5设f(x)，利用倒序相加法，则ffff_解析当x1x21时，f(x1)f(x2)1.设Sffff，倒序相加有2S2020，即S1010.答案10106数列an的通项公式为anncos，其前n项和为Sn，则S2019_解析因为数列anncos呈周期性变化，观察此数列规律如下：a10，a22，a30，a44.故S4a1a2a3a42.S2019S2020a202050522020cos1010.答案1010【知识要点】求数列前n项和的基本方法(1)公式法数列an为等差或等比数列时直接运用其前n项和公式求和若an为等差数列，则Sn_na1d_若an为等比数列，其公比为q，则当q1时，Sn_na1_(an为常数列)；当q1时，Sn_(2)裂项相消求和法数列an满足通项能分裂为两项之差，且分裂后相邻的项正负抵消从而求得其和(3)倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项的和即可用倒序相加法，如等差数列前n项和公式就是用此法推导的(4)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的(5)分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和然后相加减(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称为并项求和法形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5050.对应学生用书p92分组转化法求和例1已知等差数列的前n项和为Sn，等比数列的前n项和为Tn.若a1b13，a4b2，S4T212.(1)求数列与的通项公式；(2)求数列的前n项和解析 (1)由a1b1，a4b2，则S4T2(a1a2a3a4)(b1b2)a2a312，设等差数列的公差为d，则a2a32a13d63d12，所以d2.所以an32(n1)2n1.设等比数列的公比为q，由题b2a49，即b2b1q3q9，所以q3.所以bn3n.(2)anbn(2n1)3n，所以的前n项和为(a1a2an)(b1b2bn)(352n1)(3323n)n(n2).小结一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或其他可求和的数列构成可以用分组求和法，分别求和再相加减1等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，满足a13，b11，b2S210，a52b2a3.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)令cn设数列cn的前n项和为Tn，求T2n.解析 (1)设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，由得解得an32(n1)2n1，bn2n1.(2)由a13，an2n1得Snn(n2)，则cn即cnT2n(c1c3c2n1)(c2c4c2n)(22322n1)1(4n1)错位相减法求和例2(2017山东理)已知an是各项均为正数的等比数列，且a1a26，a1a2a3.(1)求数列an的通项公式；(2)bn为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n1bnbn1，求数列的前n项和Tn.解析 (1)设an的公比为q，由题意知a1(1q)6，aqa1q2.又an0，解得a12，q2，所以an2n.(2)由题意知，S2n1(2n1)bn1，又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.令cn，则cn，因此Tn，又Tn，两式相减得Tn1，所以Tn5.小结用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解2化简Snn(n1)2(n2)2222n22n1的结果是()A2n1n2B2n1n2C2nn2D2n1n2解析因为Snn(n1)222n22n1，2Snn2(n1)2222n12n，所以得，Snn(222232n)n22n1，所以Sn2n1n2.答案D裂项相消法求和例3已知数列an满足a13，an12ann1，数列bn满足b12，bn1bnann，nN*.(1)证明：ann为等比数列；(2)数列cn满足cn，求数列cn的前n项和Tn.解析 (1)因为an12ann1，所以an1(n1)2(ann)又a13，所以a112，所以数列ann是以2为首项，2为公比的等比数列(2)由(1)知，ann22n12n，an2nn，所以bn1bnannbn2n，即bn1bn2n.b2b121，b3b222，b4b323，bnbn12n1.以上式子相加，得bn22n(n2)当n1时，b12，满足bn2n，所以bn2n.所以cn.所以Tn.小结常见的拆项公式有：(1).(2).(3).(4)()(5)CCC.(6)nn！(n1)！n！.(7)anSnSn1(n2)3已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且a2an4Sn.(1)求Sn；(2)设bn()，求数列的前n项和Tn.解析 (1)由题意得两式作差得(an1an)(an1an2)0，又数列an各项均为正数，所以an1an20，即an1an2.当n1时，有a2a14S14a1，得a1(a12)0，则a12，故数列an是首项为2，公差为2的等差数列，所以Snna1dn2n.(2)，所以Tn1.并项法求和例4已知数列满足a11，2anan13an13an.(1)求的通项公式；(2)若cn，求的前2n项的和T2n.解析 (1)由2anan13an13an，得，所以，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以1n，即an.(2)设c2n1c2n，因为，所以c2n1c2n，T2nn2n.小结用并项法求和时，要注意可能要分类讨论4已知数列an的首项为a11，其前n项和为Sn，且数列是公差为2的等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)若bnan，求数列的前n项和Tn.解析 (1)数列是公差为2的等差数列，且a11，1(n1)22n1，Sn2n2n当n2时，anSnSn12n2n4n3.a11符合an4n3，an4n3.(2)由(1)可得bnan.当n为偶数时，Tn42n；当n为奇数时，n1为偶数，TnTn1bn122n1.综上所述，Tn对应学生用书p941(2017全国卷理)等差数列an的前n项和为Sn，a33，S4