新课标高中数学A选修34对称与群

对称与群,（一）从我们的身边而来1.人们身边充满了对称:比如:雪花图鼠标窗框,一、从哪里来,（二）在我们的认知里,1几何对称（1）平面上的对称,（2）空间中的对称,四面体,十二面体,2代数对称一元n次方程的根的对称多项式：根与系数的关系：,3相邻学科的启示物理：光的传播，物体的运动，化学：晶体结构，生物遗传等等。,二、是什么,F克莱因于1872年提出（爱尔朗根纲领）：一种几何学都和一种群相对应。所谓几何学，就是探究在群进行变换时不变的图形性质，即变成了研究群的不变性的学科。克莱因把变换的理论同方程论以及几何学联结在一起。,如何把各种各样的“对称”当中共同的本质抽象出来，用数学语言理性地描述对称。什么是对称的共性？什么是对称的本质？下面通过对“平面图形的对称”及“n元多项式的对称”进行分析，继而探索关于“对称”的统一的本质。,（一）在运动中看“对称”一般地，圆比正方形更对称些，正六边形比正三角形更对称些，正三角形比等腰三角形更对称些，等腰三角形比一般三角形更对称些。,正三角形与正方形谁“更”对称一些？,让静的平面图形动起来，在运动中看对称。用运动的观点去考察事物，研究事物，是常用的方法。,可以把平面图形的对称中用到的运动分为三类：反射；旋转；平移。,（二）从不变性看“对称”共同的特点是，都保持平面上任意两点间的距离不变。所以，把反射、旋转、平移，或者它们的相继实施，统称为“保距变换”刚体运动。,变中有不变在“刚体运动”下,“不动”也是一种“运动”,它可以看成旋转0o的“运动”,也可以看成平移a=0的“运动”.这样，任何平面图形都会在某种“运动”下不变,因为它至少在“不动”下不变.如果一种平面图形（例如一般三角形）只在“不动”这种“运动”下才不变,那么我们就认为该平面图形的对称性最差,或者干脆说它“不对称”.由这一观点自然的延伸,就可以想到描述平面图形对称性强弱的一种量化的方法.这就是把所有使某平面图形K不变的“运动”放在一起,构成一个集合,记为S(K)并称其为K的对称集.把S(K)中元素多少作为K的对称性的量化的描述。,逆时针旋转120度,如果看颜色它当然变了如果只看形状呢?,例：,|S(K)|=,|S(K)|=8,|S(K)|=12,|S(K)|=6,|S(K)|=1,|S(K)|=0,抽象观点与具体例子的对照,定性的描述上升为定量的描述,正三角形与正方形谁更对称一些？,|S(K)|=6,|S(K)|=8,正方形比正三角形更对称一些,通过观察几何中的“对称”现象，发现其中的“变中有不变”规律，提出将“运动”作为研究对象的设想；把保持不变的运动放到一起，构成一个集合，称之为“对称集”，用它来描述的对称性；最后，我们把集合中元素的个数，作为衡量平面图形的对称性强弱的一个量化指标。,（三）n元多项式的对称,仿照研究“平面图形的对称”时的方式，把“n元多项式的对称”，也从直观的感觉，抽象为数学的叙述。,n元多项式：,考虑n3构成三元多项式。有两方面要素：一方面是“构成元素”,及系数；另一方面是他们间的“运算”加法和乘法。,三元多项式,谁比谁更对称一些?,“n元置换”或简称“置换”,n3的时候共有6个“3元置换”,描述三元多项式对称性强弱的一种量化的方法.这就是把所有使三元多项式不变的“3元置换”放在一起,构成一个集合，记为S(f),称为f的“对称集”.S(f)中元素个数|S(f)|是对f的对称性的量化描述.,“n元置换”一共有n!个。如果f是n元多项式，则S(f)是全体n!个n元置换所构成集合的子集合，所以|S(f)|n！.当|S(f)|=n！时，任一n元置换都将保持f不变，这时f称为n元对称多项式。,（四）集合上的可逆变换，子集的对称变换,1集合上的可逆变换把讨论“平面图形的对称”及“n元多项式的对称”中形成的数学思想综合起来，用“子集的对称”的语言来统一地描述任一客观事物的“对称”。,设M是一个集合，则M到自身的一个映射称为“M上的一个变换”；M到自身的一个可逆映射称为“M上的一个可逆变换”。,2子集的对称变换“变”是指集合M上有特点的一些可逆变换,每个可逆变换都“改变”了集合M中的元素和子集.这里的“不变”,是指对于M的一个具体的子集N,有些在整体上保持N不变,即称这样的为“N的对称变换”.把所有这样的“对称变换”放到一起,构成一个集合,记为称为“N的对称集”.,3.对称变换群,任一客观事物都可以看作某一个集合M的子集,M,N,“子集N的对称变换”“子集N的对称集S(N)”,子集N的对称集S(N)，是一个具有代数结构的集合。S(N)中有运算，且有规律。,S(N)中任意两个元素,相继作用的结果仍保持N整体不变，故仍在S(N)中,称之为S(N)中的运算满足封闭律(一般说“运算”,就隐含封闭,为强调,单列一条)；,S(N)中任意三个元素，的运算，是先做的运算还是先做的运算，效果是一样的，称之为S(N)中的运算满足结合律；,S(N)中总有一个特殊的元素即恒等变换，它如同数的乘法中的1与任何元素作运算都保持该元素不变，称之为S(N)中的运算满足幺元（单位元）律;,对S(N)中任一元素，S(N)中一定有一个元素使与相继作用的效果，恰相当于中的恒等变换，即不动，称为的逆元，这称为S(N)中的运算满足逆元律;,此时，N的对称集S(N)叫作“N的对称变换