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文档简介

一、导数的应用,1、利用导数判别函数的单调性,定理设在可导，若对任意,都有(或），,则在内是单增的（或单减的）,第六章一元微积分的应用,（A),（B),（C),（D),解：,又,于是，（B）入选,例2设在连续，在,可导，且，单增，,试证：在内也单增。,证明一：,令,而,解题提示：当知道在可导，,又已知时，通常,用拉格朗日中值定理,已知单增，即,故在内单增。,于是单增；,用拉格朗日中值定理，有,由于单增，有,复习：极值、驻点的概念；极值点和驻点的关系；极值点的范围；极值的两个充分条件；求极值的步骤；最值的求法。,故在内单增。,2、利用导数研究函数的极值与最值,例3已知,则在处（）,（A）的导数存在，且,（B）取极大值,（C）取极小值,因为,由极限的保号性，存在的邻域,使得,于是,故是的极大值，选（B）,例4设函数,有极值点和，若用,表示，则,（）,解：,是极值点，所以一定是驻点,即为的根，,由韦达定理可知,微分方程,例5若函数对于一切实数满足,处有极值，故,解：由可导，且在,将代入式，得,故为的极小值。,由对一切实数二阶可导，,又为极值，所以,故为的极小值。,例6由直线及抛物线,围成一个曲边三角形，在曲边,上求一点，使曲线在该点处的切线与,直线及所围成的三角形面,积最大。,解：如图,切点为,切线的方程为,点在上，,所以,令得，,则有,令得，,则有,于是，的面积为,令,（舍去）,为极大值，,3、函数作图,、图形凹凸性的判别,定义1设在区间有定义，对,恒有,则称在上是凸的（或凹的）,定理1（判别定理）若在上,（或），则在上是凸,（或凹的）。,、曲线拐点的求法,图形的拐点。,定义2函数图形的凹凸分解点称,定理2（判别法1）若（或,不存在），当变动经过时，,变号，则为拐点。,内有三阶导数，且,定理3（判别法2）若在的邻域,则为拐点。,、曲线的渐近线,水平渐近线,铅直渐近线,斜渐近线,若,则称为的斜渐近线。,、函数作图,作图程序:,求出定义域；,求渐近线；,判别的奇偶性和周期性；,求，求出驻点和一阶导不存在的点；求出的点及不存在的点；,列表，判别函数的单调性、极值、凹凸性、拐点；,求极值点、拐点、与坐标轴的交点等特殊点的坐标；,描绘曲线
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