抽象函数人教

问题(重庆2005),D,课题：抽象函数,教材的地位与作用,函数知识贯穿于中学数学始终，它是高中数学最重要的内容之一。而抽象函数又是高中函数部分的难点，也是高等数学函数部分的一个衔接点。,新教材多处出现了这类问题，如人教社试验修订本P62的例5、P63的例6、P106的复习参考题A组的12题、P107B组的第6题,抽象函数是相对于具体函数而言,指没有给出具体的函数解析式或图象，只给出函数满足一些特定条件的这类函数。,抽象函数问题分类解析,求定义域判断奇偶性判断单调性比较函数值大小讨论不等式的解探求周期性求函数值研究函数的图象,1.求定义域,这类问题只要紧紧抓住：将函数中的看作一个整体，相当于函数中的x这一特性。,（1）已知的定义域求的定义域.,（2）已知的定义域求的定义域.,例1.函数的定义域为,则函数的定义域是_。,练习已知的定义域为，求函数的定义域_。,所求函数定义域,（1）已知的定义域D，求的定义域，就是的值域为D，然后利用解不等式（组），问题就会迎刃而解。,（2）已知的定义域求的定义域，就是求的值域为的定义域。,方法提炼,例2.已知的定义域为，且对定义域内的任意实数x，y满足，,，则函,A偶函数,B奇函数,C既是偶函数又是奇函数,D非奇非偶函数,2.判断奇偶性,数,是（）,A,于是:,方法提炼:,练习：定义在实数集上的函数f(x)，对任意x,y,(1)求f(0)的值;,(2)求证：函数f(x)是偶函数,解（1）令x=y=0,则有2f(0)=,证明（2）令x=0,则有,所以函数f(x)为偶函数,分析：由偶函数图象，易知,证明：任取,结论：偶函数在关于原点对称区间上单调性相反奇函数在关于原点对称区间上单调性相同,3.判断单调性,分析：画出满足题意的示意图,易知选B。,根据函数单调性的定义，利用题目中所给定的条件比较与的大小，或画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。,方法提炼:,例4.已知函数是偶函数，在上是单调减函数，则（）ABCD,4.比较函数值大小,利用函数的奇偶性、对称性、周期性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。,A,是偶函数，,解：,定义在R上的函数，当时，且对任意实数x,y有（1）证明：当时，有（2）证明：是R上的增函数；（3）若，求x的取值范围。,（1）证明：令x=y=0，则又,当,又,5.讨论不等式的解,求解这类问题往往是在定义的前提条件下利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号，通过解不等式组完成。,（2）证明：设，则,所以函数在R上是增函数。,（3）解：由条件得,由（2）知函数在R上是增函数，所以,模型,抽象函数特殊模型f(x+y)=f(x)+f(y)f(x)=kxf(xy)=f(x)f(y)f(x)=xaf(xy)=f(x)+f(y)f(x)=logaxf(x+y)=f(x)f(y)f(x)=axf(x+T)=f(x)周期函数.,以具体的函数模型的图象和性质为指导解决抽象函数问题,常见抽象函数及特殊模型,解：由单调性，脱去函数记号，得,6.探求周期性,这类问题较抽象，分析题设条件，通过类比，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。,例7.设函数的定义域为R，且对任意的x有,记住,解：,7.求函数值,紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解,分析：在条件,中，令,，得,又令,，得,例9.已知,的定义域为,，且,对一切正实