二次函数培优1(含详细答案及解析)

二次函数培优综合练习一1如图，已知抛物线yx2bxc经过A(-1, 0)、B(4, 5)两点，过点B作BCx轴，垂足为C（1）求抛物线的解析式；（2）求tanABO的值；（3）点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标【答案】（1）y=x2-2x-3（2），（3）、【解析】试题分析：（1）将A（-1，0）、B（4，5）分别代入y=x2+bx+c求出b和c的值即可；（2）过点O作OHAB，垂足为H，根据勾股定理可求出AB的长，进而得到：在RtBOH中，tanABO= （3）设点M的坐标为（x，x2-2x-3），点N的坐标为（x，x+1），在分两种情况：当点M在点N的上方时和当点M在点N的下方时，则四边形NMCB是平行四边形讨论求出符合题意的点M的横坐标即可试题解析：（1）将A（-1，0）、B（4，5）分别代入y=x2+bx+c，得，解得b=-2，c=-3抛物线的解析式：y=x2-2x-3（2）在RtBOC中，OC=4，BC=5在RtACB中，AC=AO+OC=1+4=5，AC=BCBAC=45，AB=如图1，过点O作OHAB，垂足为H在RtAOH中，OA=1，AH=OH=OAsin45=1=，BH=AB-AH=，在RtBOH中，tanABO=（3）直线AB的解析式为：y=x+1设点M的坐标为（x，x2-2x-3），点N的坐标为（x，x+1），如图2，当点M在点N的上方时，则四边形MNCB是平行四边形，MN=BC=5由MN=（x2-2x-3）-（x+1）=x2-2x-3-x-1=x2-3x-4，解方程x2-3x-4=5，得x=或x=如图3，当点M在点N的下方时，则四边形NMCB是平行四边形，NM=BC=5由MN=（x+1）-（x2-2x-3）=x+1-x2+2x+3=-x2+3x+4，解方程-x2+3x+4=5，得x=或x=所以符合题意的点M有4个，其横坐标分别为：、考点：二次函数综合题2如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析 （2）不变化 见解析 （3）存在 最小值6【解析】（1）根据翻折变换的性质得出PBC=BPH，进而利用平行线的性质得出APB=PBC即可得出答案。（2）先由AAS证明ABPQBP，从而由HL得出BCHBQH，即可得CH=QH。因此，PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。（3）利用已知得出EFMBPA，从而利用在RtAPE中，（4BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可。解：（1）如图1，PE=BE，EBP=EPB又EPH=EBC=90，EPHEPB=EBCEBP，即PBC=BPH。又ADBC，APB=PBC。APB=BPH。（2）PHD的周长不变为定值8。证明如下：如图2，过B作BQPH，垂足为Q。由（1）知APB=BPH，又A=BQP=90，BP=BP，ABPQBP（AAS）。AP=QP，AB=BQ。又AB=BC，BC=BQ。又C=BQH=90，BH=BH，BCHBQH（HL）。CH=QH。PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。（3）如图3，过F作FMAB，垂足为M，则FM=BC=AB。又EF为折痕，EFBP。EFM+MEF=ABP+BEF=90。EFM=ABP。又A=EMF=90，AB=ME，EFMBPA（ASA）。EM=AP=x在RtAPE中，（4BE）2+x2=BE2，即。又四边形PEFG与四边形BEFC全等，。，当x=2时，S有最小值6。考点：翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。3在平面直角坐标系中，已知抛物线 (b，c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0，1)，C的坐标为(4，3)，直角顶点B在第四象限(1)如图，若该抛物线过A，B两点，求b，c的值；(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与直线AC交于另一点Q点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点，当以M，P，Q三点为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰直角三角形时，求点M的坐标；取BC的中点N，连接NP，BQ当取最大值时，点Q的坐标为_.【答案】（1）；（2）（4，1），（2，7）；.【解析】试题分析：（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求即可求得b，c的值.（2）首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础，当以M，P，Q三点为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰直角三角形时，点M到PQ的距离为此时，将直线AC向右平移4个单位后所得直线（y=x-5）与抛物线的交点，即为所求之M点.由可知，PQ=为定值，因此当NP+BQ取最小值时，有最大值如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B，由分析可知，当B、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，进而求出点Q的坐标.试题解析：（1）由题意，得点B的坐标为（4，1）抛物线过A（0，1），B（4，1）两点，解得.（2）由（1）得抛物线的函数表达式为：.A（0，1），C（4，3），直线AC的解析式为：y=x1.设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P0的坐标为（2，1），且P0在直线AC上.点P在直线AC上滑动，可设P的坐标为（m，m1）.则平移后抛物线的函数表达式为：.解方程组：，解得，.P（m，m1），Q（m2，m3）.过点P作PEx轴，过点Q作QEy轴，则PE=m（m2）=2，QE=（m1）（m3）=2，PQ=AP0.当以M，P，Q三点为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰直角三角形时，点M到PQ的距离为（即为PQ的长），由A（0，1），B（4，1），P0（2，1）可知，ABP0为等腰直角三角形，且BP0AC，BP0=.如答图1，过点B作直线l1AC，交抛物线于点M，则M为符合条件的点.可设直线l1的解析式为：y=x+b1.B（4，1），1=4+b1，解得b1=5.直线l1的解析式为：y=x5.解方程组，得：，.M1（4，1），M2（2，7）.取点B关于AC的对称点B，易得点B的坐标为（0，3），BQ=BQ如答图2，连接QF，FN，QB，易得FNPQ，且FN=PQ，四边形PQFN为平行四边形NP=FQNP+BQ=FQ+BQFB.当B、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，则取最大值，点Q的坐标为.考点：1.二次函数综合题；2.平移问题；3.二次函数的图象与性质；4.待定系数法的应用；5.曲线上点的坐标与方程的关系；6.等腰直角三角形的判定和性质；7.轴对称的应用（最短路线问题）.4如图，矩形OABC在平面直角坐标系xoy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4,OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O、A两点，直线AC交抛物线于点D。（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】（1）y=x2+3x；（2）（1，）；（3）N1（2，0），N2（6，0），N3（1，0），N4（1，0）【解析】试题分析：（1）由OA的长度确定出A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式y=a（x-2）2+3，将A的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；（2）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，与抛物线解析式联立即可求出D的坐标；（3）存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形ADMN为平行四边形时，DMAN，DM=AN，由对称性得到M（3， ），即DM=2，故AN=2，根据OA+AN求出ON的长，即可确定出N的坐标；当四边形ADMN为平行四边形，可得三角形ADQ全等于三角形NMP，MP=DQ=，NP=AQ=3，将y=-代入得：-=-x2+3x，求出x的值，确定出OP的长，由OP+PN求出ON的长即可确定出N坐标试题解析：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3），设抛物线解析式为y=a（x2）2+3，将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=，则抛物线解析式为y=（x2）2+3=x2+3x；（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k0），将A（4，0）与C（0，3）代入得：，解得：，故直线AC解析式为y=x+3，与抛物线解析式联立得：，解得：或，则点D坐标为（1，）；（3）存在，分两种情况考虑：当点M在x轴上方时，如答图1所示：四边形ADMN为平行四边形，DMAN，DM=AN，由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，N1（2，0），N2（6，0）；当点M在x轴下方时，如答图2所示：过点D作DQx轴于点Q，过点M作MPx轴于点P，可得ADQNMP，MP=DQ=，NP=AQ=3，将yM=代入抛物线解析式得：=x2+3x，解得：xM=2或xM=2+，xN=xM3=1或1，N3（1，0），N4（1，0）综上所述，满足条件的点N有四个：N1（2，0），N2（6，0），N3（1，0），N4（1，0）考点：二次函数综合题5如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为8.（1）求该抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PEAB于点E.设PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标【答案】（1）；（2）x=3时，l最大=15；点P有三个，分别是P1（，2），P2（，2），P3（，）【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求出b，c即可；（2）根据AOMPED，得出DE：PE：PD=3：4：5，再求出PD=yPyD求出二函数最值即可；当点G落在y轴上时，由ACPGOA得PC=AO=2，即，解得，所以得出P点坐标，当点F落在y轴上时，解得，可得P点坐标试题解析：（1）对于，当y=0，x=2当x=8时，y=A点坐标为（2，0），B点坐标为（8，）由抛物线经过A、B两点，得解得；（2）设直线与y轴交于点M，当x=0时，y=OM=点A的坐标为（2，0），OA=2AM=OM：OA：AM=3：4：5由题意得，PDE=OMA，AOM=PED=90，AOMPEDDE：PE：PD=3：4：5点P是直线AB上方的抛物线上一动点，PDx轴，PD两点横坐标相同，PD=yPyD=（）=x2x+4，x=3时，l最大=15；当点G落在y轴上时，如图2，由ACPGOA得PC=AO=2，即，解得，所以P1（，2），P2（，2），如图3，过点P作PNy轴于点N，过点P作PSx轴于点S，由PNFPSA，PN=PS，可得P点横纵坐标相等，故得当点F落在y轴上时，解得，可得P3（，），P4（，），（舍去）综上所述：满足题意的点P有三个，分别是P1（，2），P2（，2），P3（，）考点：二次函数综合题6如图1，在等腰ABC中，底边BC8，高AD2，一动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BC向右运动，到达D点停止；另一动点P从距离B点1个单位的位置出发，以相同的速度沿BC向右运动，到达DC中点停止；已知P、Q同时出发，以PQ为边作正方形PQMN，使正方形PQMN和ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t 0）（1）当点N落在AB边上时，t的值为 ，当点N落在AC边上时，t的值为 ；（2）设正方形PQMN与ABC重叠部分面积为S，求出当重叠部分为五边形时S与t的函数关系式以及t的取值范围；（3）（本小题选做题，做对得5分，但全卷不超过150分）如图2，分别取AB、AC的中点E、F，连接ED、FD，当点P、Q开始运动时，点G从BE中点出发，以每秒 个单位的速度沿折线BEEDDF向F点运动，到达F点停止运动请问在点P的整个运动过程中，点G可能与PN边的中点重合吗？如果可能，请直接写出t的值或取值范围；若不可能，请说明理由【答案】（1）1 （2） （3）可能t0或t2或4t 5【解析】试题分析：本题属于学科综合题，代数知识与几何知识有机结合在一起，体现了数形结合的思想，解答此类综合题关键是数与形的灵活转化.（1）当点N落在AB边上时，NP=1,NPAD,利用平行线对应线段成比例的性质可算出t的值；当N落在AC边上时,正方形的边长不再是1,Q点已经停在D点,PD=t-3,PN=t-3, PC=4-(t-3)=7-t PNDA t=（2）画出运动中的图形，根据具体图形利用未知数t的代数式表示并求其面积.（3）重点是准确画出图形变化，PN中点与G何时重合.试题解析： （1）解：NPAD PN=1 AD=2 PN是ABD的中位线 BP=2t=1PD=t-3, PN=t-3, PC=4-(t-3)=7-t PNDA t=( 2 )当 0t1，重叠部分为梯形，当1t 2时,设EQ交AB于R，则重叠部分为五边形PQREN.ABDCPNMQRE（2）当1t 2时, 设EQ交AB于R，则重叠部分为五边形PQREN.ME2t，MR ME( 2t )SMRE MEMR ( 2t )2SS正方形PQMN SMRE 1 ( 2t )2t 2t ABDC(Q)PNMST当t 5时设MN交AC于S，PN交AC于T，则重叠部分为五边形PQMSTAM2( t3 )5t，MS2AM2( 5t ) PC7t，PT PC ( 7t )SAMS AMMS( 5t )2，SPTC PCPT( 7t )2又SADC ADCD244SSADC SAMS SPTC 4( 5t )2( 7t )2t 2t综上所述，当重叠部分为五边形时S与t的函数关系式为：（3）可能 t0或t2或4t 5 当t=0时，QP=1,GP=,G为BE中点，也为NP中点ABDCEF(Q)PNMG当t=2时，G点所走路程为2=，到达DE中点.正方形 PQEN运动到图形位置，EQ=1，GP= NP为NP中点.ABDCEF(M)PQNG当4t 5时，DP=t-3 设NP与DF相交与点R则PR=(t-3) 由勾股定理得DR= (t-3) 此时DG=t-= (t-3) 所以点R与点G重合.ABDCEFPNG(Q)NM考点：1、三角形相似；2、二次函数；3、动点型的图形面积；4、探究型试题7如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线上的一个动点，且点A在第一象限内AEy轴于点E，点B坐标为(O，2)，直线AB交轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD设线段AE的长为m，BED的面积为S（1）当时，求S的值（2）求S关于的函数解析式（3）若S时，求的值； 当m2时，设，猜想k与m的数量关系并证明【答案】（1）；（2）；（3）；，证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据点在曲线上点的坐标与方程的关系，求出点A的坐标，根据ABECBO求出CO的长，从而根据轴对称的性质求出DO的长，进而求出BED的面积S（2）分和两种情况讨论.（3）连接AD，由BED的面积为求出现，得到点A 的坐标，应用待定系数法，设得到，从而.连接AD，应用待定系数法，设得到，从而得到，因此.得到，从而试题解析：（1）点A是抛物线上的一个动点，AEy轴于点E，且，点A的坐标为. 当时，点A的坐标为.点B的坐标为，BE=OE=1.AEy轴，AEx轴. ABECBO.，即，解得.点D与点C关于y轴对称，.（2）当时，如图，点D与点C关于y轴对称，DBOCBO.ABECBO，ABEDBO .当时，如图，同可得综上所述，S关于的函数解析式.（3）如图，连接AD，BED的面积为，.点A 的坐标为.设，.k与m的数量关系为，证明如下：连接AD，则，.点A 的坐标为，.考点：1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.相似三角形的判定和性质；5.轴对称的性质；6.分类思想和待定系数法的应用.8如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于A,B两点，与轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D.（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与ABC相似，求的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止. 当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【答案】（1）；（2）或 ；（3）F.【解析】试题分析：（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，依次求出的值得到直线的解析式、点D的纵坐标、的值得到抛物线的函数表达式.BM=9，AB=6，BF=，BD=，AF=（2）分PABABC和PABBAC两种情况讨论即可.（3）过点D作DHy轴于点H，过点A作AGDH于点G，交BD于点F，则点F即为所求，理由是，由于点M在线段AF上以每秒1个单位的速度运动，在线段FD上以每秒2个单位的速度运动，从而根据直线BD的倾斜角是30知道，又根据垂直线段最短的性质知点F即为所求，从而根据含30直角三角形的性质求解即可.试题解析：（1）抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于A,B两点，A（-2，0），B（4，0）.点B在直线上，即.直线的解析式为.点D在直线上，且横坐标为-5，纵坐标为.点D在抛物线上，解得.抛物线的函数表达式为.（2）易得，点C的坐标为，则.设点P的坐标为，分两种情况：若PABABC，则PAB=ABC，.由PAB=ABC 得，即.，解得.此时点P的坐标为，由得，解得.若PABBAC，则PAB=BAC，.由PAB=BAC 得，即.，解得.此时点P的坐标为，由得，解得.（3）如图，过点D作DHy轴于点H，过点A作AGDH于点G，交BD于点F，则点F即为所求.直线BD的解析式为，FBA=FGD=30.AB=6，AF=.点F的坐标为.考点：1.单动点问题；2.二次函数和一次函数交点问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.勾股定理；5.相似三角形的判定；6.垂直线段最短的性质；7.分类思想和数形结合思想的应用.9如图，已知直线l的解析式为，抛物线y = ax2bx2经过点A（m，0），B（2，0），D 三点（1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；（2）已知点 P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E, 延长PE与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数， 并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；（3）将（2）中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上【答案】（1），（4，0），作图见解析；（2），其中4 x 0，12，（2，2）；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，由y = ax2bx2经过B（2，0），D ，将两点坐标分别代入得关于a，b的二元一次方程组，解之即可得抛物线的解析式为；将A（m，0）代入所求解析式即可求出m，得到A点的坐标描点作出函数图象.（2）根据得到四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数；应用二次函数最值原理求出S的最大值及S最大时点P的坐标.（3）应用待定系数法求出PB所在直线的解析式，设出上的任一点的坐标，求出其关于x轴的对称点的坐标，代入PB所在直线的解析式，满足即得结论.试题解析：（1）y = ax2bx2经过B（2，0），D ，解得抛物线的解析式为.A（m，0）在抛物线上，解得.A（4，0）.作抛物线的大致图象如下：（2）由题设知直线l的解析式为，.又AB=6，.将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数为，其中4 x 0.，S最大= 12，此时点P的坐标为（2，2）.（3） 直线PB过点P（2，2）和点B（2，0），PB所在直线的解析式为.设Q是上的任一点，则Q点关于x轴的对称点为.将代入显然成立.直线l上任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在的直线上 .考点：1.二次函数与一次函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.由实际问题列函数关系式；5.二次函数最值的应用.10如图，已知直线AB：与抛物线交于A、B两点，（1）直线AB总经过一个定点C，请直接写出点C坐标；（2）当时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使ABP的面积等于5；（3）若在抛物线上存在定点D使ADB90，求点D到直线AB的最大距离.【答案】（1）（-2，4）；（2）（-2，2）或（1， ）；（3）.【解析】试题分析：（1）要求定点的坐标，只需寻找一个合适x，使得y的值与k无关即可（2）只需联立两函数的解析式，就可求出点A、B的坐标设出点P的横坐标为a，运用割补法用a的代数式表示APB的面积，然后根据条件建立关于a的方程，从而求出a的值，进而求出点P的坐标（3）设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t，从条件ADB=90出发，可构造k型相似，从而得到m、n、t的等量关系，然后利用根与系数的关系就可以求出t，从而求出点D的坐标由于直线AB上有一个定点C，容易得到DC长就是点D到AB的最大距离，只需构建直角三角形，利用勾股定理即可解决问题试题解析：（1）当x=-2时，,直线AB：y=kx+2k+4必经过定点（-2，4）点C的坐标为（-2，4）（2），直线AB的解析式为联立 ，解得： 或点A的坐标为（-3，），点B的坐标为（2，2）如答图1，过点P作PQy轴，交AB于点Q，过点A作AMPQ，垂足为M，过点B作BNPQ，垂足为N设点P的横坐标为a，则点Q的横坐标为a点P在直线AB下方，.，整理得：，解得：当时，此时点P的坐标为（-2，2）当a=1时，此时点P的坐标为（1， ）符合要求的点P的坐标为（-2，2）或（1， ）（3）如答图2，过点D作x轴的平行线EF，作AEEF，垂足为E，作BFEF，垂足为FAEEF，BFEF，AED=BFD=90ADB=90，ADE=90-BDF=DBFAED=BFD，ADE=DBF，AEDDFB设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t，则点A、B、D的纵坐标分别为，化简得：点A、B是直线AB：与抛物线交点，m、n是方程即两根，即，即.（舍）定点D的坐标为（2，2）如答图3，过点D作x轴的平行线DG，过点C作CGDG，垂足为G，点C（-2，4），点D（2，2），CG=4-2=2，DG=2-（-2）=4CGDG，过点D作DHAB，垂足为H，如答图3所示，DHDCDH当DH与DC重合即DCAB时，点D到直线AB的距离最大，最大值为 点D到直线AB的最大距离为考点：1.二次函数综合题；2. 因式分解法解一元二次方程；3.根与系数的关系；4.勾股定理；5.相似三角形的判定和性质；6.分类思想的应用11（12分）如图，已知抛物线 （）的顶点坐标为（4，），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）.（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小，若存在，求AP+CP的最小值；若不存在，请说明理由；（3）在以AB为直径的M中，CE与M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式【答案】（1），A（2，0）B（6，0）；（2）存在，；（3）【解析】试题分析：（1）利用顶点式求得二次函数的解析式后令其等于0后求得x的值即为与x轴交点坐标的横坐标；（2）线段BC的长即为AP+CP的最小值；（3）连接ME，根据CE是M的切线得到MECE，CEM=90，从而证得CODMED，设OD=x，在RTCOD中，利用勾股定理求得x的值即可求得点D的坐标，然后利用待定系数法确定线段CE的解析式即可试题解析：（1）由题意，设抛物线的解析式为（），抛物线经过（0，2），解得：，即：，当时，解得：或，A（2，0），B（6，0）；（2）存在，如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小B（6，0），C（0，2），OB=6，OC=2，BC=，AP+CP=BC=，AP+CP的最小值为；（3）如图3，连接ME，CE是M的切线，MECE，CEM=90，C的坐标（0，2），OC=2，AB=4，ME=2，OC=ME=2，ODC=MDE，在COD与MED中，COD=MED，ODC=EDM，OC=ME，CODMED（AAS），OD=DE，DC=DM，设OD=x，则CD=DM=OMOD=4x，则RtCOD中，2，D（，0），设直线CE的解析式为（），直线CE过C（0，2），D（，0）两点，则，解得：，直线CE的解析式为考点：二次函数综合题12如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=x2+bx+c点D为线段AB上一动点，过点D作CDx轴于点C，交抛物线于点E（1）求抛物线的解析式（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积（3）连接BE，是否存在点D，使得DBE和DAC相似？若存在，直接写出点D坐标；若不存在，说明理由【答案】（1） y=-x2-3x+4（2）12.（3） （-3，1）或（-2，2）【解析】 试题分析：（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）设点C坐标为（m，0）（m0），根据已知条件求出点E坐标为（m，8+m）；由于点E在抛物线上，则可以列出方程求出m的值在计算四边形CAEB面积时，利用S四边形CAEB=SACE+S梯形OCEB-SBCO，可以简化计算；（3）由于ACD为等腰直角三角形，而DBE和DAC相似，则DBE必为等腰直角三角形分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数试题解析：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=-4，A（-4，0），B（0，4）点A（-4，0），B（0，4）在抛物线y=-x2+bx+c上， ，解得：b=-3，c=4，抛物线的解析式为：y=-x2-3x+4（2）设点C坐标为（m，0）（m0），则OC=-m，AC=4+mOA=OB=4，BAC=45，ACD为等腰直角三角形，CD=AC=4+m，CE=CD+DE=4+m+4=8+m，点E坐标为（m，8+m）点E在抛物线y=-x2-3x+4上，8+m=-m2-3m+4，解得m1=m2=-2C（-2，0），AC=OC=2，CE=6，S四边形CAEB=SACE+S梯形OCEB-SBCO=26+（6+4）2-24=12（3）设点C坐标为（m，0）（m0），则OC=-m，CD=AC=4+m，BD=OC=-m，则D（m，4+m）ACD为等腰直角三角形，DBE和DAC相似DBE必为等腰直角三角形i）若BED=90，则BE=DE，BE=OC=-m，DE=BE=-m，CE=4+m-m=4，E（m，4）点E在抛物线y=-x2-3x+4上，4=-m2-3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=-3，D（-3，1）；ii）若EBD=90，则BE=BD=-m，在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=-2m，CE=4+m-2m=4-m，E（m，4-m）点E在抛物线y=-x2-3x+4上，4-m=-m2-3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=-2，D（-2，2）综上所述，存在点D，使得DBE和DAC相似，点D的坐标为（-3，1）或（-2，2）考点：二次函数综合题13（12分）如图，已知点A（3，0），以A为圆心作A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作A的切线l（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作A的切线DE，E为切点，求DE的长；（3）点F是切线DE上的一个动点，当BFD与EAD相似时，求出BF的长 【答案】（1）；（2）；（3）或【解析】试题分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点坐标式，然后将C点坐标代入求解即可（2）由于DE是A的切线，连接AE，那么根据切线的性质知AEDE，在RtAED中，AE、AB是圆的半径，即AE=OA=AB=3，而A、D关于抛物线的对称轴对称，即AB=BD=3，由此可得到AD的长，进而可利用勾股定理求得切线DE的长（3）若BFD与EAD相似，则有两种情况需要考虑：AEDBFD，AEDFBD，根据不同的相似三角形所得不同的比例线段即可求得BF的长试题解析：（1）设抛物线的解析式为；抛物线经过点A（3，0）和C（0，9），解得：，；（2）连接AE；DE是A的切线，AED=90，AE=3，直线l是抛物线的对称轴，点A，D是抛物线与x轴的交点，AB=BD=3，AD=6；在RtADE中，=27，DE=；（3）当BFED时；AED=BFD=90，ADE=BDF，AEDBFD，即，BF=；当FBAD时，AED=FBD=90，ADE=FDB，AEDFBD，即BF=；BF的长为或考点：二次函数综合题14如图，已知矩形ABCD中，BC=12，ACB=30，动点P在线段AC上，从点A向点C以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒，以点P为顶点，作等边PMN，点M、N在直线BC上，取BC的中点O，以OB为边在RtABC内部作如图所示的矩形BOEF，点E在线段AC上.（1）求等边PMN的边长（用含t的代数式表示）；（2）设等边PMN和矩形BOEF重合部分面积为S，请直接写出当0t2时S与t的函数关系式，并写出对应的自变量的取值范围；（3）点P在运动过程中，是否存在点M，使得EFM是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3），【解析】试题分析：（1）利用BPHBAO，得出PH的长，再利用解直角三角形求出PN的长；（2）根据当0t1时以及当t=1时和当t=2时，分别求出S的值；（3）分三种情况EF=MF，EF=ME，MF=ME，分别建立方程求解即可试题解析：（1）（1）过P作PHBC于H，BC=12，ACB=30，AB=，AC=2AB=，AP=，PC=，BPHBAO，PH=，cos30=，PN=，（2）当0t1时，S1=S四边形EONG，作GHOB于H，如图3，GNH=60，GH=，HN=2，PN=NB=8t，ON=OBNB，ON=12（8t）=4+t，OH=4+t2=2+t，S1=（2+t+4+t）=，当1t2时，如图4，S2=S五边形IFONG，作GHOB于H，AP2=，AF=，OF=，EF=，EI=2t2，S2=S梯形EONGSEFI=，；（3）由（1）知：MB=4-2t，MO=10-2t，当EF=MF时，即，或0（舍去），当EF=ME时，即，或，当MF=ME时，即，综上所述，当或或或时，EFM是等腰三角形考点：1二次函数综合题；2等边三角形的性质；3相似三角形的判定与性质15如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1（1）求a，b的值；（2）点P是线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），过点P作PMOB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MCx轴于点C，交AB于点N，过点P作PFMC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当SACN=SPMN时，连接ON，点Q在线段BP上，过点Q作QRMN交ON于点R，连接MQ、BR，当MQRBRN=45时，求点R的坐标【答案】（1）a=1，b=4；（2）d=3t+t=4t；（3）R（，）【解析】试题分析：（1）由已知可得出A，B点坐标，从而根据待定系数法得出a，b的值；（2）由已知可得出AD=BD，从而BAD=ABD=45，进而可得出tanBOD=tanMPF，故=3，MF=3PF=3t，即可得出d与t的函数关系；（3）由SACN=SPMN，则可得AC2=2t2，从而得出AC=2t，CN=2t，则M（42t，6t），求出t的值，进而得出PMQNBR，求出R点坐标试题解析：（1）y=x+4与x轴交于点A，A（4，0），点B的横坐标为1，且直线y=x+4经过点B，B（1，3），抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，3），解得：，a=1，b=4；（2）如图，作BDx轴于点D，延长MP交x轴于点E，B（1，3），A（4，0），OD=1，BD=3，OA=4，AD=3，AD=BD，BDA=90，BAD=ABD=45，MCx轴，ANC=BAD=45，PNF=ANC=45，PFMC，FPN=PNF=45，NF=PF=t，DFM=ECM=90，PFEC，MPF=MEC，MEOB，MEC=BOD，MPF=BOD，tanBOD=tanMPF，=3，MF=3PF=3t，MN=MF+FN，d=3t+t=4t；（3）如备用图，由（2）知，PF=t，MN=4t，SPMN=MNPF=4tt=2t2，CAN=ANC，CN=AC，SACN=AC2，SACN=SPMN，AC2=2t2，AC=2t，CN=2t，MC=MN+CN=6t，OC=OAAC=42t，M（42t，6t），由（1）知抛物线的解析式为：y=x2+4x，将M（42t，6t）代入y=x2+4x得：（42t）2+4（42t）=6t，解得：t1=0（舍），t2=，PF=NF=，AC=CN=1，OC=3，MF=，PN=，PM=，AN=，AB=3，BN=2，作NHRQ于点H，QRMN，MNH=RHN=90，RQN=QNM=45，MNH=NCO，NHOC，HNR=NOC，tanHNR=tanNOC，设RH=n，则HN=3n，RN=n，QN=3n，PQ=QNPN=3n，ON=，OB=，OB=ON，OBN=BNO，PMOB，OBN=MPB，MPB=BNO，MQRBRN=45，MQR=MQP+RQN=MQP+45，BRN=MQP，PMQNBR，解得：n=，R的横坐标为：3，R的纵坐标为：1=，R（，）考点：1、待定系数法；2、二次函数；3、相似三角形的判定与性质；4、勾股定理16如图（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（2，0）（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DEx轴于E，连接CD，以OE为直径作M，如图（2），试求当CD与M相切时D点的坐标；点F是x轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G，使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）（，）；存在，（4，3）或（）或（）.【解析】试题分析：（1）把A的坐标代入抛物线的解析式，即可得到关于c的方程，求的c的值，则抛物线的解析式即可求解.（2）连接MC、MD，证明COMMED，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解.分四种情况进行讨论，根据平行四边形的性质即可求解试题解析：解：（1）点A（2，0）在抛物线上，解得c=3.抛物线的解析式是：.（2）令D（x，y）,（x0，y0），则E（x，0），M（，0），由（1）知C（0，3），如答图1，连接MC、MDDE、CD与O相切，CMD=90.COMMED. ，即.又，解得x=.又x0，x=，.D点的坐标是：（，）.假设存在满足条件的点G（a，b）.若构成的四边形是ACGF，（答图2）则G与C关于直线x=2对称，G点的坐标是：（4，3）.若构成的四边形是ACFG，（答图3，4）则由平行四边形的性质有b=，又，解得a=，此时G点的坐标是：（）.若构成的四边形是AGCF，（答图5）则CGFA，G点的坐标是：（4，3）.显而易见，AFCG不能构成平行四边形.综上所述，在抛物线上存在点G，使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形，点G的坐标为（4，3）或（）或（）.考点：1.单动点问题；2.二次函数综合题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.直线与圆相切的性质；5.相似三角形的判定和性质；6. 平行四边形的性质；7.分类思想的应用17如图（1），在平面直