第二章塞瓦定理及应用

第二章 塞瓦定理及应用【基础知识】塞瓦定理 设，分别是的三边，或其延长线上的点，若，三线平行或共点，则证明 如图2-1（）、（），若，交于一点，则过作的平行线，分别交，的延长线于，得又由，有从而若，三线平行，可类似证明（略）注 （1）对于图2-1（）、（）也有如下面积证法：由：，即证（2）点常称为塞瓦点（3）共点情形的塞瓦定理与梅涅劳斯定理可以互相推证首先，由梅涅劳斯定理推证共点情形的塞瓦定理如图2-1（）、（），分别对及截线，对及截线应用梅涅劳斯定理有 ，上述两式相乘，得其次，由共点情形的塞瓦定理推证梅涅劳斯定理如图2-2，设，分别为的三边，所在直线上的点，且，三点共线令直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点分别视点，为塞瓦点，应用塞瓦定理，即对及点（直线，的交点），有对及点（直线，的交点），有对及点（直线，的交点），有对及点（直线，的交点），有对及点（直线，的交点），有对及点（直线，的交点），有上述六式相乘，有故塞瓦定理的逆定理 设，分别是的三边，或其延长线上的点，若，则，三直线共点或三直线互相平行证明若与交于点，设与的交点为，则由塞瓦定理，有，又已知有，由此得，即，亦即，故与重合，从而，三线共点若，则代入已知条件，有，由此知，故上述两定理可合写为：设，分别是的，所在直线上的点，则三直线，平行或共点的充要条件是第一角元形式的塞瓦定理 设，分别是的三边，所在直线上的点，则三直线，平行或共点的充要条件是证明 由，三式相乘，再运用塞瓦定理及其逆定理，知结论成立第二角元形的塞瓦定理 设，分别的三边，所在直线上的点，是不在的三边所在直线上的点，则，平行或共点的充要条件是证明 注意到塞瓦定理及其逆定理，有由此即证得结论注 在上述各定理中，若采用有向线段或有向角，则、式的右端仍为1特别要注意的是三边所在直线上的点或者两点在边的延长线上，或者没有点在边的延长线上、式中的角也可按式的对应线段记忆推论 设，分别是的外接圆三段弧，上的点，则，共点的充要条件是证明 如图2-3，设的外接圆半径为，交于，交于，交于由，六点共圆及正弦定理，有同理，三式相乘，并应用第一角元形式的塞瓦定理即证为了使读者熟练地应用塞瓦定理，针对图2-4中的点、，将其作为塞瓦点，我们写出如下式子：对及点有 ，对及点有 ，对及点有 ，对及点有 ，对及点有 ，对及点有 ，对及点有 ，对及点有 【典型例题与基本方法】1恰当地选择三角形及所在平面上的一点，是应用塞瓦定理的关键例1 四边形两组对边延长分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连线的线段（1978年全国高中竞赛题）证明 如图2-5，四边形的两组对边延长分别交于，对角线，的延长线交于对及点，应用塞瓦定理，有由，有，代入上式，得，即命题获证例2 如图2-6，锐角中，是边上的高，是线段内任一点，和的延长线分别交，于，求证：（1994年加拿大奥林匹克试题）证法1 对及点，应用塞瓦定理，有过作，延长，分别交于，则，且，从而，而由，有，故由此知为等腰底边上的高，故证法2 对及点应用塞瓦定理，有即，由锐角性质知类似地，对及截线或对及截线应用梅涅劳斯定理也可证得有注 将此例中的平角变为钝角，则有如下：例3 如图2-7，在四边形中，对角线平分在上取一点，与相交于，延长交于求证：（1999年全国高中联赛题）证明 连交于，对及点，应用塞瓦定理，有平分，由角平分线性质，可得，故过点作的平行线交的延长线于，过点作的平行线交的延长线于，则所以从而，又，有因此，即有故 注 由此例还可变出一些题目，参见练习题第4、5及19题例4 如图2-8，是的中线，在上，分别延长，交，于，过作交于，及为正三角形求证：为正三角形证明 连，对及点应用塞瓦定理，有而，则由，由于是，有，从而，即知四边形为平行四边形，有又，则而，知，有，于是故为正三角形例5 如图2-9，在一个中，为内满足及的一点求证：是的三等分线（1994年香港代表队选拔赛题）证明 用表示的度量，令，则，（其中注意）， 对及点，应用第一角元形式的塞瓦定理，有亦即 于是 ，即 而，则因 ，则 ，即从而故 ，即是的三等分线利用第一角元形式的塞瓦定理可简捷处理2009年全国高中联赛加试第一题的第1问：例6 设、分别为锐角（）的外接圆上弧、的中点过点作交圆于点，为的内心，联结并延长交圆于点求证：证明 事实上，易知、及、分别三点共线，对及点应用第一角元形式的塞瓦定理，有由知，有于是式即为故2注意塞瓦定理逆定理的应用以及与梅涅劳斯定理的配合应用例7 如图2-10，在中，为上给定的一点（不是线段的中点）设为直线上与，都不相同的任意一点，并且直线，交于，直线，交于，直线，交于试证明交点与在直线上的位置无关（1990年苏州市高中竞赛题）证明 设分线段为定比，分线段为定比下证由确定，即当，给定后，点的位置由点唯一确定在中，由，交于一点，应用塞瓦定理，有，即对及截线，应用梅涅劳斯定理，得，即上述两式相加，得从而，即，故由唯一确定因此，点与在直线上的位置无关例8 如图2-11，设为内任一点，在形内作射线，使得，求证：，三线共点证法1 设交于，交于，交于，则由正弦定理有同理，,将上述三式相乘，并应用正弦定理，有由塞瓦定理的逆定理，知，共点证法2 设交于，交于，交于，直线交于，直线交于，直线交于对及点，应用塞瓦定理，有 在和中应用正弦定理，有同理，以上三式相乘，并注意到式，有由塞瓦定理的逆定理，知，共点证法3 设交于，交于，交于，直线交于，直线交于，直线交于对及点，应用角元形式的塞瓦定理，有由题设，则有，于是 ，对，应用角元形式的塞瓦定理的逆定理，知，三线共点例9 如图2-12，四边形内接于圆，其边与的延长线交于点，与的延长线交于点，过点作该圆的两条切线，切点分别为和求证：，三点共线（1997年试题）证明 连分别交，于，设与交于要证，三点共线，只须证明，和，都三点共线，又只须证明，三线共点由塞瓦定理的逆定理知只须证明又直线截，应用梅涅劳斯定理，有，从而只须证明设圆心为，连交于，连，则由切割线走理和射影定理，有，即知，四点共圆，有，此表明为的内角的外角平分线而，则平分于是，结论获证【解题思维策略分析】1获得线段比例式的一种手段例10 如图2-13，中，分别为和同方向延长线上的点，与相交于，且若点满足（为常数），则证明 设交于，对及其形外一点，应用塞瓦定理，有而，则不妨设，则，即有，于是，故此时，点到的距离不小于到的距离，则过作必交延长线于一点，设为又作的外接圆交于另一点，则四边形为等腰梯形当时，由，知必在线段上，于是，（同弧上的圆外角小于同弧上的圆周角）又由，知故结论获证2转化线段比例式的一座桥梁例11 设为内任一点，分别交，于，求证：证明 如图2-14，记，对及点，应用塞瓦定理，有对及截线，应用梅涅劳斯定理，有，即由合比定理得，即同理，三式相加，得例12 如图2-15，设为内任意一点，的延长线交对边，于点，交于试证：证明 令，对及点，应用塞瓦定理，有对及截线，应用梅涅劳斯定理，有注意到，则有，即，故又对直线截，有而，则，故又对及截线，有，即有 ，故从而于是，其中等号由中等号成立时成立，即当且仅当亦即当且仅当，亦即时取等号此时，和之间成为如图2-16的双曲线的关系例13 如图2-17，已知直线的三个定点依次为、，为过、且圆心不在上的圆，分别过、两点且与圆相切的直线交于点，与圆交于点证明：的平分线与的交点不依赖于圆的选取（45预选题）证明 设的平分线交于点，交圆于点，其中与是不同的两点由于是等腰三角形，则有同理，在中，有在中，视为塞瓦点，由角元形式的塞瓦定理，有注意到，则 即 ，故结论获证3求解三角形格点问题的统一方法如果三角形的三个角的度数都是10的整数倍，三角形内一点与三角形的三个顶点分别连结后，得到的所有的角也都具有这个性质，我们称这样的点为三角形的格点例14 如图2-18，在中，和分别是和上的点，使得，是直线和的交点证明：直线和直线垂直（1998年加拿大奥林匹克试题）证明 设，则，对及点，应用第一角元形式的塞瓦定理，有从而 ，即有 注意到，知，有，故延长交于，则故注 此题也可这样来解：由，有由于作为的函数在上严格递减，所以故因此，或者过点作于，则，关于有所以，、三线共点，因此点在上，即例15 如图2-19，在内取一点，使得，设，求（1983年前南斯拉夫奥林匹克试题）解 设，则由第一角元形式的塞瓦定理，有 从而 ， ， 于是 注意到 ，知， ，故 所以 为所求注 此题结果也可直接由式有且，求得另外，此题也可这样来解：由，有因为作为的函数在（，）上严格递减，所以故或者由，令，则对和点应用第一角元形式的塞瓦定理，有则因为作为的函数在上严格递增，所以例16 如图2-20，具有下面性质：存在一个内部的点，使得，证明：是等腰三角形（1996年美国第25届奥林匹克试题）证明 设，则由第一角元形式的塞瓦定理，有即有 ， 从而 且，故，即，从而注 此题也可这样来求解：由，有 因为作为的函数在（，）上严格递减，所以 ，即故还可对及点应用第一角元形式的塞瓦定理来求4论证直线共点的一种工具例17 如图2-21，在四边形中，过，的交点引，其中交，于，交，于，分别交于，则（1990年CMO选拔试题）证明 在，上分别取，使，则由对称性可知有下列角相等，即若设，则，又，故又，故，连交于，在中，故由塞瓦定理的逆定理，知，共点，即过点由对称性知，例18 如图2-22，在锐角中，以点引出的高为直径作圆交，于，再从作同样可作出，试证：三直线，相交于一点（第29届预选题）证明 设与，分别相交于点，由，知，即同理，设，边上的高，的垂足分别为，且，分别与，交于，则有，由于的三条高相交于垂心，此时应用第一角元形式的塞瓦定理，得，用等角代换上式，有故由第一角元形式的塞瓦定理，知，三线共点，即，相交于一点例19 如图2-23，四边形内接于圆，的延长线交于，的延长线交于，为圆上任一点，分别交圆于，若对角线与相交于，求证：，三点共线证明 连，由，有，此两式相乘，有又由，有，此两式相乘，有 由，得 上式两边同乘以，得 对及截线，应用梅涅劳斯定理，有于是 此时，应用第一角元形式的塞瓦定理的推论，知，交于一点从而，三点共直线【模拟实战】习题A1在中，是上的点，是中点与交于，交于，求四边形的面积与的面积的比2若通过各顶点的直线，共点，并且它们在边，所在直线上的截点，关于所在边中点的对称点分别为，则直线，也共点3一圆交的各边所在直线于两点，设边上的交点为，边上的交点为，边上的交点为，若，共点，则，也共点4试证：过三角形顶点且平分三角形周长的三条直线共点5将各内角三等分，每两个角的相邻三等分线相交得，又，分别平分，且它们与，交于，求证：，三线共点6将的各外角三等分，每两个外角的相邻三等分线相交得又，分别平分，且它们与，交于，求证：，三线共点7是的内切圆，上的切点各是，射线交于，同样可得，试证：直线，共点8在内部，且从，各向，所作的垂线共点，则从，各向，所作的垂线也共点9在中，为形内一点，求的度数10在中，为形内一点，且，求的度数（数学教学问题432题）11在中，为形内一点，求的度数（数学教学问题491题）12在中，为的平分线上一点，使，交于，交于求证：（数学教学问题531题）13在中，为形内一点，求的度数（数学通报问题1023题）14在中，为形内一点，且，求的度数（数学通报问题1142题）15在中，为形内一点，求的度数（数学通报问题1208题）16中，为形内一点，求证：（数学通报问题1306题）17在中，为形内两点， 求证：，三点共线（数学通报问题1243题）18中，为形内两点， 求证：（数学通报问题1281题）19在中，为内心，为上一点，满足试求的度数（数学通报问题1073题）20，顺次分别在的三边，上，且，过，分别作，的平行线，求证：，三线共点的充要条件是，三线共点21在中，于，过任作两射线分别交，于点，交过点的平行线于，且求证：，共点22在中，过三边，边中的中点，的三条等分三角形周长的直线，（，在三角形三边上）分别交，于，求证：，三线共点23的内切圆切，于，是内一点，交内切圆于两点，其中靠近的一点为，类似定义，试证：，三线共点24在内部，的延长线分别交，于，；的延长线分别交，于，；的延长线分别交，于，且满足 求证：，所在直线共点（中学数学教学擂台题（28）25给定，延长边至，使的外接圆与以为直径的圆相交于和设与的延长线分别交和于，求证：，共线（第15届伊朗奥林匹克题）26在的边上向外作三个正方形，是正方形中的边，对边的中点求证：直线，共点习题B1是的内切圆，分别是，上的切点，都是的直径求证：直线，共点（数学通报问题1396题）2四边形的内切圆分别与边，相切于，求证：，四线共点（数学通报问题1370题）3锐角中，角的平分线与三角形的外接圆交于另一点，点，与此类似直线与，两角的外角平分线交于，点，与此类似求证：（）三角形的面积是六边形的二倍；（）三角形的面积至少是三角形面积的四倍（-30试题）4设为内一点，使，是线段上的点，直线，分别交边，于，求证：5在凸四边形中，对角线平分，是的延长线上的一点，交于点，延长交的延长线于试证：6在中，为内心，为上一点，满足试求的度数（数学通报问题1073题）7设是等边三角形，是其内部一点，线段，依次交三边，于，三点证明：（-37预选题）8在一条直线的一侧画一个半圆，是上两点，上过和的切线分别交于和，半圆的圆心在线段上，是线段和的交点，是上的点，求证：平分（-35预选题）9设是锐角的内接正方形的中心，其中内接正方形的两个顶点在边上，一个顶点在边上，一个顶点在