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【利用法向量解立体几何中的几个常见问题】立体几何中的向量方法 摘 要：要在短时间内做好立体几何题，向量法是一种好的解题方法，本文就此展开了论述。 关键词：立体几何 解题 法向量 赋值法 今年高考结束后，我班一名平时数学成绩较好的学生对我说:“立体几何题用了20分钟都没有做出。”听了她的话，我的第一反应是：完了，今年数学考砸了。我马上问其他学生，回答却恰好相反(几分钟就完成任务)。我再次详细了解，才知道，前者用的是传统方法，后者用的是向量方法。比较两种方法，不难发现，向量方法解题，不需添加辅助线，思路清楚，思维简单，而传统方法却不然。可见，要在短时间内做好立体几何题，向量的确是一种好的方法。下面是我在教学中的一点体会。 一、确定好点的坐标是关键 建立三维空间坐标系,确定好点的坐标,是做好立体几何题的关键。例如建立三维空间坐标系O-xyz,求A点的坐标,可设A(x,y,z)。则x到平面yz的距离 y到平面xz的距离 z到平面xy的距离 特殊的:x轴上的点,y=z=0,y轴上的点,x=z=0，z轴上的点x=y=0。 解出法向量是理论基础。 1. 和平面垂直的向量叫平面的法向量。 利用赋值法求出法向量。 二、利用法向量求下列问题 1 点到平面的距离 方法:设P是平面外一点, A是平面内一点, 是平面的一个法向量,则P到平面的距离: d= 。 意义：P到平面的距离等于 乘以法向量的单位向量， 即d= 。 注: （1）距离非负，分子加绝对值是为了防止由向量方向所产生的负值。 （2）与法向量的大小无关。 2.异面直线的距离 例1. P是边长为2的正方形ABCD外一点， PA平面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB。 求：(1)D点到平面PCE的距离。 (2)异面直线PD，CE的距离。 解:以A点为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系A-xyz,则有P(0,0,2),D(0,2,0)，C(2,2,0),E(1,0,0)， 3. 二面角的大小 方法:设 1， 2分别是平面，的法向量四边形ABCD对角互补。 即+A=，则|cos|=|cos(-A)|=|cosA|= 。 例2(xx陕西卷第2问)在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，ADBC，ABC=90 ，PA面ABCD，PA=3，AD=2，AB=2 ，BC=6。 求：二面角P-BD-A的大小。 4. 直线l与平面所成角 方法: 为平面的法向量,M为l与的交点, P为l上不同于M的任一点，则sin 。 例3.(xx天津卷)在四棱锥P-ABCD中, PA底ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60，PA=AB=BC，E是PC中点。 (1)求PB和面PAD所成角。 (2)求二面角A-PD-C的大小。 解：以A为坐标原点，建立如图所示空间坐标系A-xyz，设PA=AB=BC=2，则AC=2，AD= ，B（0，2，0），C（ ， 注：“本文中所涉及到
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