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第六章 近独立粒子的最概然分布61试证明，在体积V内，在到+d的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D() d =证明：由式子（6-2-13），在体积V=L3内，在PX到PX+dPX，PY到PY+dPY，PZ到PZ+dPZ，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为-（1）用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V内，动量大小在P到P+dP范围内，三维自由粒子可能的量子态数为-（2）上式可以理解为将相空间（m空间）体积元4pVP2dP（体积V，动量球壳4pP2dP）除以相格大小h3而得到的状态数。自由粒子的能量动量关系为因此 ， 将上式代入（2）式，即得到在体积V内，在到+d的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D() d =-（3）62试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在到+d的能量范围内，量子态数为 D() d =证明：对于一维自由粒子，有 由于p的取值有正、负两种可能，故动量绝对值在 再由 所以 ， 证毕63试证明，对于二维自由粒子，在面积L2内，在到+d的能量范围内，量子态数为 D() d =证明：对于二维自由粒子，有 所以，在面积L2内，在内的量子态数为 换为极坐标，则动量大小在内的量子态数为 对从0至2积分，并利用则可得在到+d的能量范围内，量子态数为 D() d =，证毕64在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为e=CP，试求在体积V内，到+d的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D() d =证明：在体积V=L3内，在PX到PX+dPX，PY到PY+dPY，PZ到PZ+dPZ，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为-（1）用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V内，动量大小在P到P+dP范围内，三维自由粒子可能的量子态数为-（2）在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为e=CP，代入，可得在体积V内，到+d的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D() d =-（3）66同6.5题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何?解：两种粒子的分布必须满足： ，其中E为系统总能量。又上面各式可得： （1） （2） （3）对于波色子：分布的微观状态数分别为： 系统的微观状态数 在平衡状态下两种粒子的最概然分布是在限制条件（1）、（2）、（3）下使极大的分布，此时必有而 当 时 则由 得 （4）用拉氏乘子、分别乘（1）（2）（3）式并从（4）式中减去，得根据拉氏乘子法原理，上式中每一个及的系数都必须为零，即 00 所以，平衡状态下两种玻色子的最概然分布分别为 al= ， al= 对于费米子 当时 用与前面相同的方法，可得平衡状态下的两种费米子的最概然分布分别为al= ， al=以上
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