热力学与统计物理

Maxwell-Boltzmann，Bose-Einstein和Fermi-Dirac三种统计力学的比较微正则，正则和巨正则三种系宗的比较 顾钰PB080130291.1Maxwell-Boltzmann，Bose-Einstein和Fermi-Dirac的粒子组成波尔兹曼系统又称局域系统。由于粒子是可以分辨的，系统部遵循全同性原理，也不需要遵循泡利不相容原理。系统的波函数可以表示为各个单粒子波函数的乘积1,2,N=i=1Nki(i)描述这种系统的微观状态需给出每个粒子所处的单粒子态ki(i=1,2,N)。例如，在固体的晶格振动中，需给出每个粒子的振动量子数。就统计的角度而言，它与经典统计没有本质上的区别。费米系统和玻色系统的状态用波函数描写，粒子可以以一定的概率处在系统的某个可能的空间范围内，统称为非局域系。非局域系中的全同粒子是不可分辨的，系统必须遵守全同性原理，任何两个粒子交换后系统不产生新的量子态，系统的波函数或是对称的或是反对称的。由系统的反对称性，很容易证明系统服从泡利不相容原理。由全同的自旋为零或整数的粒子所组成的系统叫做玻色系统，玻色系统的波色函数是对称的。对于两个玻色子的系统，波函数为s1,2=12k11k22+k1(2)k21对于由N个玻色子组成的系统，因为玻色系统不遵守泡利不相容原理，可以有任意多的玻色子占据相同的量子态。设N个玻色子中有n1个处于k1态，n2个处于k2态.,ni的和满足条件 ini=N 其中，ni可以为0或者正整数。系统的波函数可以表示为PPk11k1n1k2n1+1k2n1+n2kNN-nN+1kN(N)由全同的自旋为半整数的费米子组成的系统叫做费米系统，两个费米子系统的波函数是反对称的，它可以写成一个行列式形式，称为Slater行列式 A1,2=12k11k22-k1(2)k21 =12k11k21k1(2)k22对于N个费米子系统，N个费米子处在k1,k2,，kN态上，系统的反对称波函数可用Slater行列式表示 A1,2，N=1N!PPPi=1Nki(i) =1N!k11k1NkN1kNN1.2最概然分布波尔兹曼分布 al=wle-l 给出了系统处于平衡态时占据能级l上的粒子数al。能级l有l个量子态，所以处在一个能量为s的量子态的平均粒子数fs=all=e-s拉格朗日未定乘子和由 N=lle-l=se-s E=llle-l=sse-s确定，式中l表示对能级l求和，s表示对量子态s求和。玻色分布al=le+l-1拉格朗日乘子和由宏观条件lle+l-1=N, llle+l-1=E确定，其中l表示对所有单粒子能级求和。费米-狄拉克分布al=le+l+1拉格朗日乘子和由宏观条件lle+l+1=N, llle+l+1=E1.3热力学函数波尔兹曼系统由波尔兹曼分布得到系统的总粒子数N和平均能量E分别为N=lal=lle-l=e-lle-lE=lall=e-llle-l定义单粒子配分函数Z1,y=lle-l=le-s可得E=NZ1llle-l=-NZ1Z1y=-NlnZ1y S=NklnZ1-lnZ1状态方程 dU-Ydy=NdlnZ1-lnZ1其中Y为广义力 Y=-NlnZ1y玻色系统和费米系统由玻色分布和费米分布的表达式al=le+l1其中+对应费米分布，-对应玻色分布。系统的平均粒子数和平均能量分别为N=lal=lle+l1E=lall=llle+l1对于玻色系统，定义巨配分函数=ll=l1-e-l-l状态函数dU-Ydy+dN=dln-lnl-lnlS=kll+allnl+al-allnal-llnl对于费米系统，只要将巨配分函数定义为=ll=l1+e-ll即可得类似玻色系统的结果2.1微正则系综理论及其热力学公式 对于能量在E到E+E之间的孤立系统，其平衡状态的系综分布函数具有以下形式 q,p=常数 EHq,pE+Eq,p=0 Hq,pE,E+EHq,p上式意味着系统的微观状态出现在E到E+E之间相等体积的概率相等，称为等概率原理，也称微正则分布。等概率原理的量子表达式为 s=1微观状态数=1N!hNREHq,pEE+Ed SN,E,V=kln(N,E,V)由上式原则上可解出E=E(N,E,V)。内能作为S,V的函数是特性函数。内能的全微分为 dE=TdS-pdVT=(ES)V,N,p=-(EV)S,N如果已知E(S,V,N),由上方程原则上可得S(T,V,N)和p(T,V,N),再代入E(T,V,N)。这样便将物态方程、内能、和熵都表达为T、V、N的函数，从而确定系统的全部平衡性质。2.2正则系综理论及其热力学公式正则分布的经典表达式为q,pd=1N!hNre-Eq,pZd其中配分函数Z为 Z=1N!hNre-Eq,pd内能是在给定N、V、T的条件下，系统的能量在一切可能的微观状态上的平均值。因此U=E=1ZsEse-Es=1Z-se-Es=-lnZ广义力Y是Esy的统计平均值Y=1ZsEsye-Es=1Z-1yse-Es=-1ylnZP=1VlnZS=klnZ-lnZ对于给定N、V、T的系统，只要求出配分函数Z,就可以由上式求得其基本的热力学函数2.3巨正则系综理论及其热力学公式巨正则分布的经典表达式为Ndqdp=1N!hNre-N-Eq,pd其中巨配分函数为=Ne-NN!hNre-Eq,pd量子表达式为Ns=1e-N-Es其中名为巨配分函数，它的定义是=N=0se-N-Es系统的平均粒子数N是粒子数N对给定V、T、条件下一切可能的微观状态上的平均值N=1NsNe-N-Es=-ln内能U是能量E的统