分式方程竞赛题

第一讲 分式方程(组)的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根例1 解方程 解 令yx22x8，那么原方程为去分母得y(y15x)(y9x)(y15x)y(y9x)0，y24xy45x20，(y5x)(y9x)0，所以 y9x或y5x由y9x得x22x89x，即x27x80，所以x11，x28；由y5x，得x22x85x，即x27x80，所以x38，x41经检验，它们都是原方程的根例2 解方程180解 设y，则原方程可化为y180y218y720，所以 y16或y212当y6时，x24x6x6，故x22x60，此方程无实数根当y12时，x24x12x12，故x28x120,故x28x120，所以 x12或x26经检验，x12，x26是原方程的实数根例3 解方程分析与解 我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式原方程可变为，整理得，去分母、整理得x90，x9经检验知，x9是原方程的根例4 解方程分析与解 方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简原方程化为，即，所以(x6)(x7)(x2)(x3)解得x经检验x是原方程的根例5 解方程分析与解 注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简原方程变形为，整理得去分母得x29x220，解得 x12，x211经检验知，x12，x211是原方程的根例6 解方程分析与解 分式方程如比利式，且本题分子与分母的一次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简原方程变形为，所以x0或2x23x22x25x3解得x0或x经检验，x0或x都是原方程的根例7 解方程分析与解 形式与上例相似本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简原方程变形为即当x0时，解得x1经检验，x1是原方程的根，且x0也是原方程的根说明 使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验像这类特殊类型的方程可以化成一元二次方程，因而至多有两个根显然a1时，x1a与x2就是所求的根例如，方程，即，所以x13，x2例8 解方程解 将原方程变形为，设，则原方程变为解得，当时，；当时，x1；经检验x1及x均是原方程的根例9 解关于x的方程解 设y，则原方程变为所以y12或y2由，得x1a2b；由，得x2b2a将x1a2b或x2b2a代入分母bx，得ab或2(ba)，所以，当ab时，x1a2b及x2b2a都是原方程的根当ab时，原方程无解例10 如果方程只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根分析与解 将原方程变形，转化为整式方程后得2x22x(a4)0 原方程只有一个实数根，因此，方程的根的情况只能是：(1)方程有两个相等的实数根，即442(a4)0解得a此时方程的两个相等的根是x1x2（2）方程有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程有一个根为0或2（i）当x0时，代入式得a40，即a4这时方程的另一个根是x1(因为2x22x0，x(x1)0，x10或x21而x10是增根)它不使分母为零，确是原方程的唯一根（ii）当x2时，代入式，得2422(a4)0，即a8这时方程的另一个根是x1(因为2x22x40(x2)(x1)0，所以x12(增根)，x21)它不使分母为零，确是原方程的唯一根因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是，4，8，其对应的原方程的根一次为，1，1练习一1填空：（1）方程的一个跟是10，则另一个跟是_