上学期北京清华附中高一数学正弦定理 余弦定理四

高中数学第一册(下),正余弦定理的应用(2),三角形中的三角函数问题,(1)两个定理形式不同，但实质上能相互推出，是等价的.在解题中要灵活选用，以达到最简便的解题目的.,(2)两个定理的作用：解斜三角形；实现边、角两类元素之间的相互转化.,2.三角形的性质：,(1)A+B+C=；,一、基础知识,1.正、余弦定理：,2.三角形的性质：,(2)sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=cosC;,(3)ABsinAsinB.,一、基础知识,(由正弦定理易证),(4)cosA+cosB0.,3.解决三角形问题的依据:,(1)正余弦定理;,(2)三角形性质;,(由余弦定理易证),一、基础知识,3.解决三角形问题的依据:,(3)三角变换;,4.解决三角形问题的关键:,边、角两类元素间的相互转化及解决三角函数问题的方法的灵活掌握.,特别是要注意体会转化思想的作用.,(4)三角函数的图象和性质.,二、典型例题,例1ABC中，三条边a，b，c依次成等比数列，化简：cos(AC)+cos2B+cosB.,分析：这是一个三角形中的三角函数问题.题目给出的是边元素条件，而待求的是角元素结论，故解决问题的第一个关键是统一条件与结论中的元素.考虑到三角公式及三角变形手段的灵活性，可把条件与结论中的元素都统一为角元素.,即：b2=acsin2B=sinAsinC.,例1ABC中，三条边a，b，c依次成等比数列，化简：cos(AC)+cos2B+cosB.,分析：解决问题的第二个关键是统一题目条件与结论中的角和三角函数名称.观察题目条件与结论式子的结构形式及角与角的关系，考虑：把待求结论向已知条件统一.,原式=1.,b2=acsin2B=sinAsinC.,例2在ABC中，求证：,分析：由例1的解题经验，首先，我们必须统一题目中的元素：,证明三角恒等式的常用方法有哪些？,(1)从一端向另一端；,(4)转化恒等式(更一般地：分析法).,(2)从两端向中间；,(3)比较法；,例2在ABC中，求证：,分析：观察等式两端式子的结构形式及角与角的关系：式子结构形式较复杂，且两端的角有单角和复角，可考虑先化简式子的结构形式并把角统一为A、B(先转化恒等式).,怎样证明本题？,例2在ABC中，求证：,证明:原式,原式得证.,sin2Asin2B=sin(AB)sin(A+B).,sin(AB)sin(A+B)=sin2Acos2Bcos2Asin2B,=sin2A(1sin2B)(1sin2A)sin2B,=sin2Asin2B.,(又采取了从一端向另一端),解完后，停下来！回顾：,(1)解决三角形中的三角函数问题,首先应统一两类元素依据:正余弦定理!,解决问题的过程中，三角公式及三角形性质都是重要的解题依据.,(2)由于三角公式的灵活性和丰富性，在解决三角形中的三角函数问题时，常常把边元素统一为角元素.,(3)解决三角函数问题的关键：做好两个观察，以便合理选用公式，统一题目中的角和三角函数名称.,一是观察题目中式子的结构形式;二是观察角与角的关系.,解完后，停下来！回顾：,(4)要注意总结问题的类型和解决问题的一般方法.如:化简三角函数式的方法；证明三角恒等式的方法.并能利用方法去解决同类问题.,例2在ABC中，求证：,证明:右边=,思维发散：本题还有其它证法吗？,考虑：把角元素统一为边元素可以吗？,比第一种证法更简洁！,=左边,原式得证.,再一次回顾：,(1)一个解题过程可采用多个解题方法一解多法！,(2)一个问题的解法往往不止一个一题多解！,(3)同一类问题的最终解法是一致的多解归一！,例3ABC中,分析:仍然是先统一元素:把条件中的元素统一为角元素:,本题是一个给值求值问题.回顾此类问题的解法：,关键:观察题目条件与结论中的角和式子的结构形式,以便统一角和三角函数名称.,(1)条件结论；(2)结论条件；,(3)条件中间结论.,对本题，条件较复杂，而结论较简单，考虑条件向结论靠拢，用“方程法”解：,从而A=60,故,例4已知O的半径为R，ABC为O的内接三角形，2R(sin2Asin2C)=(ab)sinB，求SABC的最大值.,分析：要求SABC的最大值，关键是建立相应的函数表达式.由于题目给出的是三角函数式的条件，可考虑建立面积的三角函数表达式.先看如何用条件：,首先要统一条件中的元素.若考虑把边元素统一为角元素：,出现了二次式，应考虑降幂.但很容易发现，降幂后的式子仍较复杂，进一步变形较困难思路受阻！,到这儿，应“换一种思路”考虑：把条件中的元素统一为边元素:,符合余弦定理的形式！,再考虑待求结论：,由于a、b间关系不明显，故若想建立关于a或b的代数函数表达式较困难！因此，再考虑边化角，建立面积的三角函数表达式：,观察上式的结构形式，联想到两角和与差的余弦公式的变形：,时,停下来！回顾：,(1)数学中的最大值、最小值问题一般是要建立相应的函数表达式，把问题转化为求函数最值.,(2)在解决数学问题的过程中要注意总结类型、方法，进而形成“系统”，是学习中的重要环节.但当我们用经验解题思路受阻时，也要善于思维的灵活、创新.换一种思路！,小结：,1.要注意养成解完题善于“停下来”的好习惯.既要注意总结一般的解题方法,又要注意解题的灵活性一题多解、一解多法、多解归一！,2.注意体会转化的思想和函数思想在解题中的应用,作业,ABC中,4sinBsinC=1,b2+c2a2=bc,BC.求A,B,C.,巩固练习：,解：,1.数学之友T5.22,作业,4.如图，在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对