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初三数学特长班讲义 四点共圆 四点共圆四点共圆的判定方法：（1）先证三点共圆，再证第四点也在此圆上（2）若干个点到某定点距离相等，则这些点共圆（3）同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆（4）若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆。（5）若四边形的对角线相交于，且，则它的四个顶点共圆。（6）若四边形的一组对边、相交于，且，则它的四个顶点共圆。（7）（托勒密定理的逆定理）若四边形中， 则、四点共圆（8）（西姆松定理的逆定理）从外一点引三边、所在直线的垂线，垂足为、，若、共线，则、四点共圆例1 如图，三边上的高交于，不于任一顶点重合，则以、中某四个点可以确定的圆共有多少个？例2 给出锐角，以为直径的圆与边的高及其延长线交于、，以为直径的圆与边的高及其延长线交于、，求证：、四点共圆例3 在等腰中，为底边上任意一点，过点作两腰的平行线分别与、交于点、，又点是点关于的对称点，求证：点在的外接圆上例4 、三点共线，点在直线外，、分别为、的外心，求证：、四点共圆例5 在梯形中，、分别在、上，求证：例6 如图，中，高、交于，且，为内的一点，且，,连结，求证：平分例7 如图，内接于圆，、是圆的切线，作交于，连结并延长交于，求证：例8 正方形的中心为，面积为，为正方形内一点，求例9 如图，在平行四边形中，于，于，若，求的长度例10 如图，已知直线、切圆于点、， 圆上一点，到、的距离分别为4厘米和6厘米，求到的距离例11 在的边、上分别取点、，使得，求证：例12在梯形中， ，求的长 例13 在锐角中，是高上一点，连结并延长交于点，连结并延长交于点，已知、四点共圆，求证：为的垂心例14 如图，圆外一点，切圆于，是割线，于，求证：例15 如图，已知，在凸五边形中，且，求证：例16 如图，为的一条高，是过的一条直线，、都是上的点，满足，设、分别为、的中点，证明：例17 设有边长为1的正方形，试找出这个正方形的内接正三角形中面积最大的和面积最小的，并求出这两个面积例18 证明（托勒密定理)凸四边形的四个顶点共圆的充要条件是例19 一个凸六边形的顶点共圆，它的五条边长都为81，第六条边长为31，记第六条边为，求引出的三条对角线的长度之和 例20 证明（西姆松定理）
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