苏北四市（徐淮连宿）2014届高三第一学期期末调研考试

苏北四市 2014 届高三第一学期期末调研考试 数 学 试 题 数学数学 必做题部分必做题部分 （本部分满分 160 分，时间 120 分钟） 参考公式：参考公式：锥体的体积公式：，其中是锥体的底面面积，是高 1 3 VShSh 一、填空题：本题共一、填空题：本题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 7070 分分. .请把答案填写在答题卡上请把答案填写在答题卡上 1设复数为虚数单位 ,若为实数,则的值为 12 2i ,izzm(mR，i) 12 zzm 2已知集合，且，则实数的值是 2, Aa a 1,1,3B ABa 3某林场有树苗 3000 棵，其中松树苗 400 棵为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量 为 150 的样本，则样本中松树苗的棵数为 4在的边上随机取一点, 记和的面积分别为和，则的概率是 ABCABPCAPCBP 1 S 2 S 12 2SS 5已知双曲线的一条渐近线方程为， 22 22 1 xy ab 20 xy 则该双曲线的离心率为 6右图是一个算法流程图，则输出的值是 S 7函数的定义域为 ( )lg(23 ) xx f x 8若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为 1，则此三棱锥的体积为 2 9在中，已知，且的面积为，ABC3AB o 120AABC 15 3 4 则边长为 BC 10已知函数，则不等式的解集为 ( )2f xx x( 2)(1)fxf 11已知函数的最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调( )2sin(2) (0) 4 f xx ( )f x 1 1 ， 增区间为 12设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，其中， n an n S 435 aaa，33 k S ， 1 63 k S k N 则的值为 2k S 13在平面四边形中，已知，点分别在边上，且，ABCD3AB 2DC ,E F,AD BC3ADAE 若向量与的夹角为，则的值为 3BCBF AB DC 60AB EF 开始 结束 输出S 10n 2nn Y N 0,1Sn （第 6 题图） SSn 14在平面直角坐标系中，若动点到两直线：和：的距离之和为，xOy( , )P a b 1 lyx 2 l2yx 2 2 则的最大值为 22 ab 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题，共计小题，共计 9090 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤或演算步骤 15(本小题满分 14 分) 已知向量，(cos,sin )a(2,1)b (1)若，求的值；ab sincos sincos (2)若，求的值2ab(0,) 2 sin() 4 16(本小题满分 14 分) 如图，在三棱锥中，点分别是棱的中点PABC,E F,PC AC (1)求证：/平面；PABEF (2)若平面平面，求证：PAB ABCPBBCBCPA P A B C F E （第 16 题图） 17(本小题满分 14 分) 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通 O 过点的两条直线段围成按设计要求扇环面的周长为 30 米，其中大圆弧所在圆的半径为 10 米设小 O 圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度） x （1）求关于的函数关系式； x （2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为 4 元/米，弧线部分的装饰费用为 9 元/米设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时， yy xx 取得最大值？ y 18(本小题满分 16 分) 已知的三个顶点，其外接圆为ABC( 1, 0)A (1, 0)B(3, 2)CHA (1)若直线 过点，且被截得的弦长为 2，求直线 的方程；lCHAl (2)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段BHPC,M NM 的中点，求的半径的取值范围PNCAr O (第 17 题图) 19(本小题满分 16 分) 已知函数（为常数） ，其图象是曲线 32 5 ( ) 2 f xxxaxb, a bC （1）当时，求函数的单调减区间；2a ( )f x （2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求( )f x( )fx 0 x 00 ()f xx 0 () 0fx 实数的取值范围；b （3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲ACAC 1 lCBB 线的切线，设切线的斜率分别为问：是否存在常数，使得？若存在，C 2 l 12 ,l l 12 ,k k 21 kk 求出的值；若不存在，请说明理由 20 （本小题满分 16 分） 已知数列满足，是数列 的前项 n a 1 ax 2 3ax 2* 11 32 (2,) nnn SSSnnn N n S n an 和 (1)若数列为等差数列 n a （）求数列的通项； n a （）若数列满足，数列满足，试比较数列 前项和 n b2 n a n b n c 2 21nnnn ct btbb n bn 与前项和的大小； n B n cn n C (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围 * nN 1nn aa x F E D C B A (第 21(A)图) 苏北四市 2014 届高三第一学期期末调研考试 数学数学 附加题部分附加题部分 注意事项注意事项 1 本试卷共 2 页，均为非选择题（第 21 题第 23 题，共 4 题） 。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分钟。 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2 作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。 21. .【选做题选做题】本题包括本题包括 A A、B B、C C、D D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按若多做，则按 作答的前两题评分作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A(选修选修 41：几何证明选讲：几何证明选讲)（本小题满分 10 分） 如图，点为锐角的内切圆圆心，过点作直线DABCABD 的垂线，垂足为，圆与边相切于点若，FDACE50C 求的度数DEF B(选修选修 42：矩阵与变换：矩阵与变换)（本小题满分 10 分） 设矩阵（其中） ，若曲线在矩阵所对应的变换作用下得 0 0 a b M00ab，C： 22 1xy+=M 到曲线，求的值 2 2 1 4 x Cy：a b+ C(选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程)（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系中，已知直线 的参数方程是（ 为参数） ；以 为极点，轴xOyl 2 2 2 4 2 2 xt yt ， tOx 正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为由直线 上的点向圆引切线，C2cos() 4 lC 求切线长的最小值 D(选修选修 45：不等式证明选讲：不等式证明选讲)（本小题满分 10 分） 已知均为正数,证明：,a b c 2222 111 ()6 3abc abc 【必做题必做题】第第 2222 题、第题、第 2323 题，每题题，每题 1010 分，共计分，共计 2020 分分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 某品牌汽车 4店经销三种排量的汽车，其中三种排量的汽车依次有，4，3 款不同车S, ,A B C, ,A B C 型某单位计划购买 3 辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能 (1)求该单位购买的 3 辆汽车均为种排量汽车的概率；B (2)记该单位购买的 3 辆汽车的排量种数为，求的分布列及数学期望XX 23 （本小题满分 10 分） 已知点，动点满足( 1, 0)A (1, 0)FP2|AP AFFP (1)求动点的轨迹的方程；PC (2)在直线 ：上取一点，过点作轨迹的两条切线，切点分别为问：是否存l22yxQQC,M N 在点，使得直线/ ？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由QMNlQ 苏北四市 2014 届高三第一学期期末调研考试 数学部分参考答案 一、填空题：一、填空题： 1 2 3 4 5 6 7 2120 1 3 525(, 0) 8 9 10 11 12 13 14 1 6 71, 1 3 , 4 4 129718 二、解答题： 15 （1）由可知，所以，2 分ab2cossin0a bsin2cos 所以 6 分 sincos2coscos1 sincos2coscos3 （2）由可得，(cos2,sin1)ab ， 22 (cos2)(sin1)ab64cos2sin2 即， 10 分12cossin0 又，且 ，由可解得，12 分 22 cossin1(0,) 2 3 sin 5 4 cos 5 所以 14 分 22 347 2 sin()(sincos )() 4225510 16 （1）在中，、分别是、的中点，所以，PACEFPCAC/PAEF 又平面，平面，PABEFEF BEF 所以平面6 分/PABEF （2）在平面内过点作，垂足为PABPPDABD 因为平面平面，平面平面，PAB ABCPABABCAB 平面，所以平面,8 分PD PABPD ABC 又平面，所以10 分BC ABCPDBC 又，平面，PBBCPDPBPPD PAB 平面，所以平面，12 分PB PABBC PAB 又平面，所以14 分PAPABBCPA 17(1)设扇环的圆心角为，则，30102(10)xx 所以，4 分 102 10 x x (2) 花坛的面积为7 分 222 1 (10)(5)(10)550,(010) 2 xxxxx x 装饰总费用为， 9 分9108(10)17010 xxx P A B C F E D 所以花坛的面积与装饰总费用的比， 11 分 22 550550 = 1701010(17) xxxx y xx 令，则，当且仅当 t=18 时取等号，此时17tx 3913243 () 101010 yt t 12 1, 11 x 答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大14 分1x (注：注：对也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)y 18(1)线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，AB0 x BC30 xy 所以外接圆圆心，半径，ABC(0,3)H 22 1310 圆的方程为 4 分H 22 (3)10 xy 设圆心到直线 的距离为，因为直线 被圆截得的弦长为 2，所以HldlH 2 ( 10)13d 当直线 垂直于轴时，显然符合题意，即为所求；6 分lx3x 当直线 不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得，lx2(3)yk x 2 31 3 1 k k 4 3 k 综上，直线 的方程为或 8 分l3x 4360 xy (2)直线的方程为，设，BH330 xy( , )(01),( , )P m nmN x y 因为点是线段的中点，所以，又都在半径为的圆上，MPN(,) 22 mx ny M ,M NrC 所以即10 分 222 222 (3)(2), (3)(2). 22 xyr mxny r 222 222 (3)(2), (6)(4)4. xyr xmynr 因为该关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，, x y(3,2)r(6,4)mn 为半径的圆有公共点，所以,12 分2r 2222 (2)(36)(24)(2 )rrmnrr 又，所以对成立330mn， 222 1012109rmmr，0 1m， 而在0，1上的值域为，10，所以且15 分 2 101210f mmm， 32 5 2 32 5 r 2 r109 又线段与圆无公共点，所以对成立，即.BHC 222 (3)(332)mmr0 1m， 2 32 5 r 故圆的半径的取值范围为 16 分Cr 10 4 10 ,) 35 19(1)当时， . 2 分2a 2 ( )352(31)(2)fxxxxx 令 f (x)0，解得，所以 f(x)的单调减区间为 4 分 1 2 3 x 1 ( 2,) 3 (2) ，由题意知消去， 2 ( )35fxxxa 2 00 32 0000 350 5 2 xxa xxaxbx a 得有唯一解6 分 32 000 5 20 2 xxxb 令，则， 32 5 ( )2 2 g xxxx 2 ( )651(21)(31)g xxxxx 所以在区间，上是增函数，在上是减函数，8 分( )g x 1 (,) 2 1 (,) 3 11 (,) 23 又， 11 () 28 g 17 () 354 g 故实数的取值范围是 10 分b 71 (,)(,) 548 (3)设，则点处切线方程为， 00 (,()A xf xA 000 ()()()yf xfxxx 与曲线：联立方程组，得，即，C( )yf x 000 ( )()()()f xf xfxxx 2 00 5 () (2) 2 xxxx 所以点的横坐标 12 分B 0 5 (2) 2 B xx 由题意知， 2 1000 ()35kfxxxa 2 2000 525 ( 2)1220 24 kfxxxa 若存在常数，使得，则， 21 kk 22 0000 25 1220(35) 4 xxaxxa 即存在常数，使得， 2 00 25 (4)(35)(1) 4 xxa 所以解得， 15 分 40, 25 (1)0. 4 a 4 25 12 a 故时，存在常数，使；时，不存在常数，使16 分 25 12 a 4 21 4kk 25 12 a 21 kk 20(1)（）因为，所以， 2* 11 32(2,) nnn SSSnnn N 321 14SSS 即，又，所以， 2 分 321 2314aaa 12 ,3ax ax 3 149ax 又因为数列成等差数列，所以，即，解得， n a 213 2aaa6149xxx1x 所以； 4 分 * 1 111221 n aandnnn N （）因为，所以，其前项和， * 21 n annN 21 220 n an n b n0 n B 又因为，5 分 22 21 1641 nnnnn ct btbbttb 所以其前项和，所以，7 分n 2 1641 nn CttB 2 2 821 nnn CBttB 当或时，；当或时，； 1 4 t 1 2 t nn CB 1 4 t 1 2 t nn CB 当时，9 分 11 42 t nn CB （2）由知， 2* 11 32(2,) nnn SSSnnn N 2 * 21 312() nnn SSSnn N 两式作差，得，10 分 * 21 63(2,) nnn aaannn N 所以,作差得， 11 分 * 321 613() nnn aaann N * 3 6(2,) nn aann N 所以，当时，；1n 1n aax 当时，；31nk 312 16366234 nk aaakxknx 当时，；3nk 33 1614966298 nk aaakxknx 当时，；14 分31nk 314 161666267 nk aaakxknx 因为对任意，恒成立，所以且， * nN 1nn aa 12 aa 3133132kkkk aaaa 所以，解得，故实数的取值范围为16 分 3 636698 698665 66563 xx kxkx kxkx kxkx 137 156 xx 13 7 , 15 6 苏北四市 2014 届高三第一学期期末调研考试 数学数学部分部分 21 【选做题选做题】 A(选修选修 41：几何证明选讲：几何证明选讲) 由圆与边相切于点，得，因为，得，DACE90AEDDFAF90AFD 所以四点共圆,所以 5 分,A D F EDEFDAF 又， 111 ()(180)90 222 ADFABDBADABCBACCC 所以，由，得10 分 1 90 2 DEFDAFADFC 50C25DEF B （选修选修 4-2：矩阵与变换）：矩阵与变换） 设曲线上任意一点，在矩阵所对应的变换作用下得到点，C： 22 1xy+=( , )P x yM 111 ( ,)P x y 则，即 5 分 1 1 0 0 xax byy 1 1 axx byy 又点在曲线上，所以，则为曲线的方程 111 ( ,)P x y 2 2 1 4 x Cy： 2 2 1 1 1 4 x y 2 2 1 4 ax byC 又曲线的方程为，故，C 22 1xy+= 2 4a = 2 1b = 因为，所以 10 分00ab，3ab+= C （选修（选修 4-4：坐标系与参数方程）：坐标系与参数方程） 因为圆的极坐标方程为，所以，Csin2cos2sin2cos2 2 所以圆的直角坐标方程为，圆心为,半径为 1,4 分C022 22 yxyx 2 2 , 2 2 因为直线 的参数方程为（ 为参数） ，l 2 , 2 2 4 2 2 xt yt t 所以直线l上的点向圆 C 引切线长是 22 ,4 2 22 tt P ， 22 2 22 2222 4 214242 6 2222 tt PCRt 所以直线l上的点向圆 C 引的切线长的最小值是62 10 分 D （选修（选修 4-5：不等式选讲）：不等式选讲） 证法证法一：因为均为正数，由均值不等式得，2 分a b c， 2 222 3 ()abcabc3 因为，所以 5 分 1 3 111 ()abc abc 3 2 2 3 111 ()abc abc ) 9 故 22 2222 33 111 ()()abcabcabc abc ) 39 又 3，所以原不等式成立10 分 22 33 ()9()2 276 3abcabc 证法二：证