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用绝对值的几何意义解题湖北省黄石市下陆中学刘加禄大家知道，|a|的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离；|ab|的几何意义是：数轴上表示数a、b的两点的距离对于某些问题用绝对值的几何意义来解，直观简捷，事半功倍一、求代数式的最值 例1 已知a是有理数，| a2007|+| a2008|的最小值是_.解：由绝对值的几何意义知，| a2007|+| a2008|表示数轴上的一点到表示数2007和2008两点的距离的和，要使和最小，则这点必在20072008之间（包括这两个端点）取值（如图1所示），故| a2007|+| a2008|的最小值为1. 例2 |x2| x5| 的最大值是_，最小值是_解：把数轴上表示x的点记为P由绝对值的几何意义知，|x2| x5|表示数轴上的一点到表示数2和5两点的距离的差，当P点在2的左边时，其差恒为3；当P点在5的右边时，其差恒为3；当P点在25之间（包括这两个端点）时，其差在33之间（包括这两个端点）（如图2所示），因此，|x2| x5|的最大值和最小值分别为3和3二、解绝对值方程 例3 方程|x1|+|x2|4的解为_ 解：把数轴上表示x的点记为P，由绝对值的几何意义知，当2x1时，|x1|+|x2|恒有最小值3，所以要使|x1|+|x2|4成立，则点P必在2的左边或1的右边，且到表示数2或1的点的距离均为个单位（如图3所示），故方程|x1|+|x2|4的解为：x 2，x 1+ 三、求字母的取值范例4 若 |x+1|+|2x|3，则x的取值范围是_解：由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x2|的最小值为3，此时x在12之间（包括两端点）取值（如图4所示），故x的取值范围是1x2例5 对于任意数x，若不等式|x2|+|x4|a恒成立，则a的取值范围是_解：由绝对值的几何意义知，|x2|+|x4|的最小值为6，而对于任意数x，|x2|+|x4|a恒成立，所以a的最值范围是a6 四、解不等式例6 不等式|x2|+|x3|5的解集是_解：由绝对值的几何意义知，|x2|+|x3|的最小值为5，此时x在23之间（包括两端点）取值，若|x2|+|x3|5成立，则x必在2的左边或3的右边取值（如图5所示），故原不等式的解集为x2或x3五、判断方程根的个数例7 方程|x+1|+|x+99|+|x2|1996共有（ ）个解A.4； B 3； C 2； D1解：当x在991之间（包括这两个端点）取值时，由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x+99|98，|x2|98此时，|x+1|+|x+99|+|x2|1996，故|x+1|+|x+99|+|x2|1996时，x必在991之外取值，故方程有2个解，选（C）六、综合应用例8（第15届江苏省竞赛题，初一）已知|x2|+|1x|9|y5|1+y|，求x+ y最大值与最小值解：原方程变形得|x2|+|x1|+|y5|+|y+1|9， |x2|+|x1|3，|y5|+|y+1|6，而|x2|+|x
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