苏教版一年级下册数学期末考试试卷（6套）

2013年八年级上册中考压轴题数学组卷 2013年八年级上册中考压轴题数学组卷一解答题（共23小题）1（2008台州）CD经过BCA顶点C的一条直线，CA=CBE，F分别是直线CD上两点，且BEC=CFA=（1）若直线CD经过BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图1，若BCA=90，=90，则BE_CF；EF_|BEAF|（填“”，“”或“=”）；如图2，若0BCA180，请添加一个关于与BCA关系的条件_，使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立（2） 如图3，若直线CD经过BCA的外部，=BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）2（2005内江）如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程3（2004青海）（1）如图，E是AOB的平分线上一点，ECOA，EDOB，垂足分别是C、D，求证：OC=OD；（2）已知，点A和B求作：经过A、B两点且半径最小的圆（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹不写作法）4（2006河北）探索：在如图1至图3中，ABC的面积为a（1）如图1，延长ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA若ACD的面积为S1，则S1=_（用含a的代数式表示）；（2）如图2，延长ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE若DEC的面积为S2，则S2=_（用含a的代数式表示），并写出理由；（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到DEF（如图3）若阴影部分的面积为S3，则S3=_（用含a的代数式表示）发现：像上面那样，将ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到DEF（如图3），此时，我们称ABC向外扩展了一次可以发现，扩展一次后得到的DEF的面积是原来ABC面积的_倍应用：去年在面积为10m2的ABC空地上栽种了某种花卉今年准备扩大种植规模，把ABC向外进行两次扩展，第一次由ABC扩展成DEF，第二次由DEF扩展成MGH（如图4）求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m2？6（2007绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分DAB，DAB=60，B与D互补，求证：AB+AD=AC小敏反复探索，不得其解她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题（1）特殊情况入手添加条件：“B=D”，如图2，可证AB+AD=AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F（请你补全证明）7（2012绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心举例：如图1，若PA=PB，则点P为ABC的准外心应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求APB的度数探究：已知ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长8（2008温州）文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”；彬彬：“作ABC的角平分线AD”数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程9（2008宁德）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE（1）求证：CE=CF；（2）在图1中，若G在AD上，且GCE=45，则GE=BE+GD成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B=90，AB=BC=12，E是AB上一点，且DCE=45，BE=4，求DE的长10（2012遵义）如图，ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PEAB于E，连接PQ交AB于D（1）当BQD=30时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由11（2010永州）探究问题：（1）阅读理解：如图（A），在已知ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为ABC的费马距离；如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有ABCD+BCDA=ACBD此为托勒密定理；（2）知识迁移：请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C），已知点P为等边ABC外接圆的上任意一点求证：PB+PC=PA；根据（2）的结论，我们有如下探寻ABC（其中A、B、C均小于120）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D），在ABC的外部以BC为边长作等边BCD及其外接圆；第二步：在上任取一点P，连接PA、PB、PC、PD易知PA+PB+PC=PA+（PB+PC）=PA+_；第三步：请你根据（1）中定义，在图（D）中找出ABC的费马点P，并请指出线段_的长度即为ABC的费马距离（3）知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的ABC（其中A、B、C均小于120），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值12（1998海淀区）已知：如图，在ABC中，CDAB，垂足为D，A=30，B=45，AC=4求CD和AB的长13（2005海淀区）如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值14（2009宁夏）如图，在RtABC中，ACB=90，CD是AB边上的中线，将ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE求证：ECAB15（2012枣庄）已知：如图，在四边形ABCD中，ABC=90，CDAD，AD2+CD2=2AB2（1）求证：AB=BC；（2）当BEAD于E时，试证明：BE=AE+CD16（2010孝感）勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行了证明著名数学家华罗庚提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言请根据图1中直接三角形叙述勾股定理以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2）请你利用图2，验证勾股定理；利用图2中的直角梯形，我们可以证明其证明步骤如下：BC=a+b，AD=_；又在直角梯形ABCD中有BC_AD（填大小关系），即_17（2010东莞）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得FMN，过FMN三边的中点作PWQ设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒试解答下列问题：（1）说明FMNQWP；（2）设0x4（即M从D到A运动的时间段）试问x为何值时，PWQ为直角三角形？当x在何范围时，PQW不为直角三角形？（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值18（2009永州）问题探究：（1）如图所示是一个半径为，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B点，求蚂蚁爬行的最短路程（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB剪开，它的侧面展开图如图中的矩形ABBA，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB的长）；（2）如图所示是一个底面半径为，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA是它的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的最短路程；（3）如图所示，在的条件下，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程19（2009佛山）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；（3）求点B1到最短路径的距离20（2007衢州）请阅读下列材料：问题：如图（1），一圆柱的底面半径、高均为5cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的线段AC如下图（2）所示：设路线1的长度为l1，则l12=AC2=AB2+2=52+（5）2=25+252路线2：高线AB+底面直径BC如上图（1）所示：设路线2的长度为l2，则l22=（AB+BC）2=（5+10）2=225l12l22=25+252225=252200=25（28）0l12l22，l1l2所以要选择路线2较短（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1cm，高AB为5cm”继续按前面的路线进行计算请你帮小明完成下面的计算：路线1：l12=AC2=_；路线2：l22=（AB+BC）2=_l12_l22，l1_l2（填或）选择路线_（填1或2）较短（2）请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短21（2013威海）操作发现将一副直角三角板如图摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30角的直角三角板DEF的长直角边DE重合问题解决将图中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图（1）求证：CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长22（2009德城区）一位同学拿了两块45的三角尺MNK、ACB做了一个探究活动：将MNK的直角顶点M放在ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=a（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为ACM，则重叠部分的面积为_，周长为_；（2）将图1中的MNK绕顶点M逆时针旋转45，得到图2，此时重叠部分的面积为_，周长为_；（3）如果将MNK绕M旋转到不同于图1，图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证23（2007大连）两个全等的RtABC和RtEDA如图放置，点B、A、D在同一条直线上操作：在图中，作ABC的平分线BF，过点D作DFBF，垂足为F，连接CE证明BFCE探究：线段BF、CE的关系，并证明你的结论说明：如果你无法证明探究所得的结论，可以将“两个全等的RtABC和RtEDA”改为“两个全等的等腰直角ABC和等腰直角EDA（点C、A、E在同一条直线上）”，其他条件不变，完成你的证明，此证明过程最多得2分2013年八年级上册中考压轴题数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共23小题）1（2008台州）CD经过BCA顶点C的一条直线，CA=CBE，F分别是直线CD上两点，且BEC=CFA=（1）若直线CD经过BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图1，若BCA=90，=90，则BE=CF；EF=|BEAF|（填“”，“”或“=”）；如图2，若0BCA180，请添加一个关于与BCA关系的条件+BCA=180，使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立（2）如图3，若直线CD经过BCA的外部，=BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）考点：直角三角形全等的判定；三角形内角和定理专题：几何综合题；压轴题分析：由题意推出CBE=ACF，再由AAS定理证BCECAF，继而得答案解答：解：（1）BCA=90，=90，BCE+CBE=90，BCE+ACF=90，CBE=ACF，CA=CB，BEC=CFA；BCECAF，BE=CF；EF=|BEAF|所填的条件是：+BCA=180证明：在BCE中，CBE+BCE=180BEC=180BCA=180，CBE+BCE=BCA又ACF+BCE=BCA，CBE=ACF，又BC=CA，BEC=CFA，BCECAF（AAS）BE=CF，CE=AF，又EF=CFCE，EF=|BEAF|（2）EF=BE+AF点评：本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识注意对三角形全等，相似的综合应用2（2005内江）如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程考点：直角三角形全等的判定专题：探究型分析：分析图可知，全等三角形为：ACDCBE根据这两个三角形中的数量关系选择ASA证明全等解答：解：全等三角形为：ACDCBE证明如下：由题意知CAD+ACD=90，ACD+BCE=90，CAD=BCE在ACD与CBE中，ACDCBE（AAS）点评：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角3（2004青海）（1）如图，E是AOB的平分线上一点，ECOA，EDOB，垂足分别是C、D，求证：OC=OD；（2）已知，点A和B求作：经过A、B两点且半径最小的圆（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹不写作法）考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质专题：作图题分析：（1）因为OE是AOB的平分线，ECOA，EDOB，所以EC=ED（角平分线上的点到角两边的距离相等），在RtOCE和RtODE中，EC=ED，OE=OE，RtOCERtODE，所以OC=OD；（2）根据题意，经过A、B两点且半径最小的圆就是以AB为直径的圆，先做AB的垂直平分线，找出与AB的交点就是圆心O，以OA为半径作圆就可以了解答：（1）证明：OE平分AOB，ECOA，EDOBEC=ED，在RtOCE和RtODE中RtOCERtODEOC=OD；（2）解：如图：点评：本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等，以及直角三角形全等的证明（HL）和性质，还有经过A、B两点且半径最小的圆就是以AB为直径的圆作图能力很重要，注意培养4（2006河北）探索：在如图1至图3中，ABC的面积为a（1）如图1，延长ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA若ACD的面积为S1，则S1=a（用含a的代数式表示）；（2）如图2，延长ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE若DEC的面积为S2，则S2=2a（用含a的代数式表示），并写出理由；（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到DEF（如图3）若阴影部分的面积为S3，则S3=6a（用含a的代数式表示）发现：像上面那样，将ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到DEF（如图3），此时，我们称ABC向外扩展了一次可以发现，扩展一次后得到的DEF的面积是原来ABC面积的7倍应用：去年在面积为10m2的ABC空地上栽种了某种花卉今年准备扩大种植规模，把ABC向外进行两次扩展，第一次由ABC扩展成DEF，第二次由DEF扩展成MGH（如图4）求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m2？考点：三角形的面积专题：探究型分析：（1）根据三角形的面积公式，得到等底同高的两个三角形的面积相等；（2）运用分割法：连接AD根据三角形的面积公式进行分析：等底同高的两个三角形的面积相等；（3）在（2）的基础上，阴影部分的面积是（2）中求得的面积的3倍；再加上原来三角形的面积进行计算应用：根据上述结论，即扩展一次后得到的三角形的面积是原三角形的面积的7倍，则扩展两次后，得到的三角形的面积是原三角形的面积的72=49倍从而得到扩展的区域的面积是原来的48倍解答：解：（1）BC=CD，ACD和ABC是等底同高的，即S1=a；（2）2a；（2分）理由：连接AD，CD=BC，AE=CA，SDAC=SDAE=SABC=a，S2=2a；（3）结合（2）得：2a3=6a；扩展一次后得到的DEF的面积是6a+a=7a，即是原来三角形的面积的7倍应用拓展区域的面积：（721）10=480（m2）点评：命题立意：考查学生探索知识、发现知识、应用知识的综合创新能力点评：本题的探索过程由简到难，运用类比方法可依次求出从而使考生在身临数学的情境中潜移默化，逐渐感悟到数学思维的力量，使学生对知识的发生及发展过程，解题思想方法的感悟，体会得淋漓尽致，是一道新课标理念不可多得的好题5（2007北京）如图，已知ABC（1）请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连接AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB+ACAD+AE考点：三角形三边关系；全等三角形的判定专题：证明题分析：（1）由于都是以BC所在边为底，因此边上的高都相等要两个三角形的面积相等，只需在BC上找出两条相等线段即可；（2）可通过构建全等三角形来求解分别过点D、B作CA、EA的平行线，两线相交于F点，DF于AB交于G点那么我们不难得出AECFBD，此时AC=DF，AE=BF，那么只需在三角形BFG和ADG中找出它们的关系即可解答：（1）解：如图1，相应的条件就应该是BD=CEDE，这样，ABD和AEC的面积相等，由于BD=CE，因此BE=CD，那么ADC和ABE的面积就相等（2）证明：如图2，分别过点D、B作CA、EA的平行线，两线相交于F点，DF与AB交于G点ACE=FDB，AEC=FBD在AEC和FBD中，又CE=BD，AECFBD，AC=FD，AE=FB，在AGD中，AG+DGAD，在BFG中，BG+FGFB，即AB+FDAD+FBAB+ACAD+AE点评：本题考查了三角形面积的求法，全等三角形的判定以及三角形三边的关系本题（2）中通过构建全等三角形将已知和所求条件转化到相关的三角形中是解题的关键6（2007绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分DAB，DAB=60，B与D互补，求证：AB+AD=AC小敏反复探索，不得其解她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题（1）特殊情况入手添加条件：“B=D”，如图2，可证AB+AD=AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F（请你补全证明）考点：直角三角形全等的判定专题：证明题；压轴题；开放型分析：（1）如果：“B=D”，根据B与D互补，那么B=D=90，又因为DAC=BAC=30，因此我们可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=AC，那么AD+AB=AC（2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD和BCD全等即可得到（1）的条件根据AAS可证两三角形全等，DF=BE然后按照（1）的解法进行计算即可解答：证明：（1）B与D互补，B=D，B=D=90，CAD=CAB=DAB=30，在ADC中，cos30=，在ABC中，cos30=，AB=AC，AD=AB+AD=（2）由（1）知，AE+AF=AC，AC为角平分线，CFCD，CEAB，CE=CF而ABC与D互补，ABC与CBE也互补，D=CBE在RtCDF与RtCBE中，RtCDFRtCBEDF=BEAB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF=AC点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键7（2012绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心举例：如图1，若PA=PB，则点P为ABC的准外心应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求APB的度数探究：已知ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理专题：新定义分析：应用：连接PA、PB，根据准外心的定义，分PB=PC，PA=PC，PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出APB=45，然后即可求出APB的度数；探究：先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分PB=PC，PA=PC，PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解解答：应用：解：若PB=PC，连接PB，则PCB=PBC，CD为等边三角形的高，AD=BD，PCB=30，PBD=PBC=30，PD=DB=AB，与已知PD=AB矛盾，PBPC，若PA=PC，连接PA，同理可得PAPC，若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，APD=45，故APB=90；探究：解：BC=5，AB=3，AC=4，若PB=PC，设PA=x，则x2+32=（4x）2，x=，即PA=，若PA=PC，则PA=2，若PA=PB，由图知，在RtPAB中，不可能故PA=2或点评：本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，读懂题意，弄清楚准外心的定义是解题的关键，根据准外心的定义，要注意分三种情况进行讨论8（2008温州）文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”；彬彬：“作ABC的角平分线AD”数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程考点：等腰三角形的判定专题：阅读型分析：（1）线段BC的中垂线可以直接作出的，不需要附带“过点A作”；（2）根据已知条件利用AAS可证ABDACD，得出AB=AC解答：（1）解：作辅助线不能同时满足两个条件；（2）证明：作ABC的角平分线ADBAD=CAD，在ABD与ACD中，ABDACD（AAS）AB=AC点评：本题主要是考查了三角形全等的判定及等腰三角形的性质；题目为阅读理解题，充分利用文字中的提示是解答本题的关键9（2008宁德）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE（1）求证：CE=CF；（2）在图1中，若G在AD上，且GCE=45，则GE=BE+GD成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B=90，AB=BC=12，E是AB上一点，且DCE=45，BE=4，求DE的长考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定专题：证明题；压轴题；探究型分析：（1）利用已知条件，可证出BCEDCF（SAS），即CE=CF（2）借助（1）的全等得出BCE=DCF，GCF=BCE+DCG=90GCE=45，即GCF=GCE，又因为CE=CF，CG=CG，ECGFCG，EG=GF，GE=DF+GD=BE+GD（3）过C作CGAD，交AD延长线于G，先证四边形ABCG是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）再设DE=x，利用（1）、（2）的结论，在RtAED中利用勾股定理可求出DE解答：（1）证明：在正方形ABCD中，BC=CD，B=CDF，BE=DF，CBECDFCE=CF（2）解：GE=BE+GD成立CBECDF，BCE=DCFECD+ECB=ECD+FCD即ECF=BCD=90又GCE=45，GCF=GCE=45CE=CF，GCF=GCE，GC=GC，ECGFCGEG=GFGE=DF+GD=BE+GD（3）解：过C作CGAD，交AD延长线于G，在直角梯形ABCD中，ADBC，A=B=90，又CGA=90，AB=BC，四边形ABCG为正方形AG=BC=12已知DCE=45，根据（1）（2）可知，ED=BE+DG，设DE=x，则DG=x4，AD=AGDG=16x，AE=ABBE=124=8在RtAED中DE2=AD2+AE2，即x2=（16x）2+82解得：x=10DE=10点评：本题是一道几何综合题，内容涉及三角形的全等、图形的旋转以及勾股定理的应用，重点考查学生的数学学习能力，是一道好题本题的设计由浅入深，循序渐进，考虑到学生的个体差异从阅卷的情况看，本题的得分在48分的学生居多前两个小题学生做得较好，第三小题，因为学生不懂得用前面积累的知识经验答题，数学学习能力不强，造成本小题得分率较低10（2012遵义）如图，ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PEAB于E，连接PQ交AB于D（1）当BQD=30时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形专题：压轴题；动点型分析：（1）由ABC是边长为6的等边三角形，可知ACB=60，再由BQD=30可知QPC=90，设AP=x，则PC=6x，QB=x，在RtQCP中，BQD=30，PC=QC，即6x=（6+x），求出x的值即可；（2）作QFAB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出APEBQF，再由AE=BF，PE=QF且PEQF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变解答：解：（1）ABC是边长为6的等边三角形，ACB=60，BQD=30，QPC=90，设AP=x，则PC=6x，QB=x，QC=QB+BC=6+x，在RtQCP中，BQD=30，PC=QC，即6x=（6+x），解得x=2，AP=2；（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变理由如下：作QFAB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，又PEAB于E，DFQ=AEP=90，点P、Q速度相同，AP=BQ，ABC是等边三角形，A=ABC=FBQ=60，在APE和BQF中，AEP=BFQ=90，APE=BQF，在APE和BQF中，APEBQF（AAS），AE=BF，PE=QF且PEQF，四边形PEQF是平行四边形，DE=EF，EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，又等边ABC的边长为6，DE=3，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变点评：本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键11（2010永州）探究问题：（1）阅读理解：如图（A），在已知ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为ABC的费马距离；如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有ABCD+BCDA=ACBD此为托勒密定理；（2）知识迁移：请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C），已知点P为等边ABC外接圆的上任意一点求证：PB+PC=PA；根据（2）的结论，我们有如下探寻ABC（其中A、B、C均小于120）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D），在ABC的外部以BC为边长作等边BCD及其外接圆；第二步：在上任取一点P，连接PA、PB、PC、PD易知PA+PB+PC=PA+（PB+PC）=PA+PD；第三步：请你根据（1）中定义，在图（D）中找出ABC的费马点P，并请指出线段AD的长度即为ABC的费马距离（3）知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的ABC（其中A、B、C均小于120），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值考点：等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形专题：压轴题分析：（2）知识迁移问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式两边都除以等边三角形的边长，即可获证 问，借用问结论，及线段的性质“两点之间线段最短”数学容易获解（3）知识应用，在（2）的基础上先画出图形，再求解解答：（2）证明：由托勒密定理可知PBAC+PCAB=PABCABC是等边三角形AB=AC=BC，PB+PC=PA，PD、AD，（3）解：如图，以BC为边长在ABC的外部作等边BCD，连接AD，则知线段AD的长即为ABC的费马距离BCD为等边三角形，BC=4，CBD=60，BD=BC=4，ABC=30，ABD=90，在RtABD中，AB=3，BD=4，AD=5（km），从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度的最小值为5km点评：此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、三角形相似、解直角三角形等知识难度很大，有利于培养同学们钻研问题和探索问题的精神12（1998海淀区）已知：如图，在ABC中，CDAB，垂足为D，A=30，B=45，AC=4求CD和AB的长考点：含30度角的直角三角形；勾股定理分析：根据含30度角性质求出CD，根据勾股定理求出AD，根据等腰三角形的性质和判定求出BD，即可求出AB解答：解：CDAB，ADC=BDC=90，A=30，AC=4CD=AC=2，由勾股定理得：AD=2，BDC=90，B=45，BCD=45=B，BD=DC=2，AB=2+2点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识点的应用13（2005海淀区）如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值考点：直角三角形斜边上的中线专题：应用题分析：（1）木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不会变化根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可判断；（2）当AOB的斜边上的高h等于中线OP时，AOB的面积最大，就可以求出解答：解：（1）不变理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变；（2）当AOB的斜边上的高h等于中线OP时，AOB为等腰直角三角形时，面积最大，理由为：证明：如图，若h与OP不相等，则总有hOP，故根据三角形面积公式，有h与OP相等时AOB的面积最大，此时，SAOB=所以AOB的最大面积为a2点评：此题利用了在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；同时理解AOB的面积什么情况最大是解决本题的关键14（2009宁夏）如图，在RtABC中，ACB=90，CD是AB边上的中线，将ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE求证：ECAB考点：直角三角形斜边上的中线；平行线的判定专题：证明题分析：根据翻折变换的特点可知ECA=ACD，由CD=AD可知CAD=ACD，所以ECA=CAD，故ECAB解答：证明：CD是AB边上的中线，且ACB=90，CD=ADCAD=ACD又ACE是由ADC沿AC边所在的直线折叠而成的，ECA=ACDECA=CADECAB点评：本题考查图形的翻折变换平行线的判定和直角三角形的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后角相等15（2012枣庄）已知：如图，在四边形ABCD中，ABC=90，CDAD，AD2+CD2=2AB2（1）求证：AB=BC；（2）当BEAD于E时，试证明：BE=AE+CD考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质专题：证明题分析：（1）根据勾股定理AB2+BC2=AC2，得出AB2+BC2=2AB2，进而得出AB=BC；（2）首先证明CDEF是矩形，再根据BAECBF，得出AE=BF，进而证明结论解答：证明：（1）连接ACABC=90，AB2+BC2=AC2CDAD，AD2+CD2=AC2AD2+CD2=2AB2，AB2+BC2=2AB2，BC2=AB2，AB0，BC0，AB=BC（2）过C作CFBE于FBEAD，CFBE，CDAD，FED=CFE=D=90，四边形CDEF是矩形CD=EFABE+BAE=90，ABE+CBF=90，BAE=CBF，在BAE与CBF中，BAECBF（AAS）AE=BFBE=BF+EF=AE+CD点评：此题主要考查了勾股定理的应用以及三角形的全等证明，根据已知得出四边形CDEF是矩形以及BAECBF是解决问题的关键16（2010孝感）勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行了证明著名数学家华罗庚提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言请根据图1中直接三角形叙述勾股定理以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2）请你利用图2，验证勾股定理；利用图2中的直角梯形，我们可以证明其证明步骤如下：BC=a+b，AD=c；又在直角梯形ABCD中有BCAD（填大小关系），即a+bc考点：勾股定理的证明；全等三角形的判定与性质专题：阅读型分析：利用SAS可证ABEECD，可得对应角相等，结合90的角，可证AED=90，利用梯形面积等于三个直角三角形的面积和，可证a2+b2=c2，在直角梯形ABCD中，BCAD，由于已证AED是直角三角形，那么利用勾股定理有AD=c，从而可证解答：解：如果直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2RtABERtECD，AEB=EDC；又EDC+DEC=90，AEB+DEC=90；AED=90；（5分）S梯形ABCD=SRtABE+SRtDEC+SRtAED（a+b）（a+b）=+；（a2+2ab+b2）=+；整理得a2+b2=c2（7分）AD=c，BCAD，a+bc（10分）点评：本题利用了全等三角形的判定和性质、面积分割法、勾股定理等知识17（2010东莞）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得FMN，过FMN三边的中点作PWQ设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x