【巧用单调性处理一类无理函数的值域】函数的单调性与值域的教案

【巧用单调性处理一类无理函数的值域】函数的单调性与值域的教案 在中学数学教学中函数的值域问题一直以来都是一个重要的问题对型如y=mg(x)+? nf(x)其中f(x)+g(x)=2c（c为常数）0的无理函数的值域问题还没有一个统一的处理本文从利用单调性角度谈谈这类无理函数的值域的处理，期望得到一个统一的方法? 结论1：若mR?+,nR?+，f(x)=? mx+c+ncx? 在区间c,m?2n?2m?2+n?2c上单调递增? 在区间m?2n?2m?2+n?2c,c上单调递减? 证明： 由f(x)=m2x+cn2cx若f(x)0则m2x+cn2cx? 即m?2x+cn?2cx? m?2(cx)n?2(x+c)解出xm?2n?2m?2+n?2c? 结合函数定义域c,c得单调递增区间? c,m?2n?2m?2+n?2c，? 单调递减区间m?2n?2m?2+n?2c,c? 同理可以证明? 结论2：若 mR?,nR?，f(x)=? mx+c+ncx的单调递增区间为? m?2n?2m?2+n?2c,c，单调递减区间为c,m?2n?2m?2+n?2c? 结论3： 若mR?+,nR?时，y=mx+c在c,?+?）上是增函数? 而y=ncx在（,c上也是增函数所以f(x)=mx+c+ncx在定义域c,c上是增函数? 若mR?,nR?+时，y=mx+c在c,?+?）上是减函数? 而y=ncx在（,c上也是减函数所以f(x)=mx+c+ncx 在定义域c,c上是减函数（证明略）? 下面以具体的例子说明这类无理函数值域的处理? 例1求函数y=3x+1+22x的值域? 解：先作变换，由(x+1)+(2x)=3可令x+1=t+32则函数化为? y=3t+32+232t（32t32），? 由结论1知当32t3?22?23?2+2?232，? 即32t1526时y=3t+32+? 232t是增函数，? 此时f(32)=23，f(1526)=39，? 所以23y39，? 由结论2知当3?22?23?2+2?232t32，? 即1526t32时y=3t+32+232t是减函数? 此时f(32)=33， 所以33y39? 所以y=3x+1+22x的值域为? 23,39? 例2 求函数y=3x?21+43x?2的值域? 分析：将函数转化为f(x)=mx+c+ncx形式y=3x?21+343x?2? 由(x?21)+(43x?2)=13换元，? 令 x?21=t+16则函数化为? y=3t+16+316t（16t16）? 解：由结论1知，当16t3?23?23?2+3?216即16t112时? 函数y=3t+16+316t为是增函数，? f(16)=1，f(112)=2， 所以1y2? 由结论2知当3?23?23?2+3?216t16,? 即112t16时? 函数y=3t+16+316t为是减函数? f(16)=3，f(112)=2，? 所以3y2? 综上：y=3x?21+43x?2的值域为1,2? 说明：在转化时也可以化为y=33x?23+43x?2类似处理? 例3 求函数y=32x?2+8x?2+1+? 212x?24x?2的值域? 分析：注意到前后两个根式都有x?2+4x?2故可以作代换，变为前面结论的形式? 解：将函数变为y=32x?2+4x?2+12+? 212x?24x?2? （也可以变为y=32x?2+8x?2+1+? 2242x?28x?2）? 由(x?2+4x?2+12)+(12x?24x?2)=252换元令x?2+4x?2+12=t+254函数化为? y=32t+254+2254t由x?2+4x?24结合定义域有4x?2+4x?212? 所以74t254? 由结论1知，当74t(32)?22?2(32)?2+2?2254，即74t17544，? 函数y=32t+254+2254t是增函数? f(74)=9+42，f(17544)=511? 所以9+42y511? 由结论2知当17544t254时函数y=? 32t+254+2254t是减函数，? f(17544)=511，f(254)=15? 所以15y511，? 所以9+42y511? 综上：y=32x?2+8x?2+1+? 212x?24x?2的值域为9+42,511? 例4 求函数y=3x+1+22x的值域? 解：函数的定义域为1,2函数y=? 3x+1在1,2上单调递减? y=22x在1,2上也是单调递减由与结论3类似知? 所以y=3x+1+22x在1,2上是减函数? 所以y?min?=f(2)=32+1+? 222=33? y?max?=f(1)=31+1+22+1=23，? 即值域为33,23? 例5 求函数y=3x?2143x?2的值域? 解：先换元令t=x?2由原函数知1x?243，? 所以1t43? 得函数y=3t143t（1t43）? 由y=3t1在1t43上是单调递增的，? y=43t在1t43上也是单调递增的，? 所以y=3t143t在1t43是增函数? 所以y?min?=f(1)=31143=?1? y?max?=f(43)=34314343=3，? 即值域为1,3? 例6 求函数y=32x?2+8x?2+1+? 212x?24x?2的值域? 解：换元令t=x?2+4x?24结合原函数有? 12x?2+4x?212，? 所以4t12? 得函数y=32t+1+212t（4t12）? 由y=32t+1在4t12上是单调递减的，? y=212t在4t12上也是单调递减的，? y=32t+1+212t在4t12是减函数? 所以y?min?=f(12)=3212+1+? 21212=15? y?max?=f(4)=324+1+2124=429，? 即值域为15,429? 最后要指出的是在求