解三角形应用举例练习题

4.7 解三角形应用举例一、选择题1在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50，且到A的距离为2，C点的俯角为70，且到A的距离为3，则B、C间的距离为()A. B.C. D.解析：因BAC120，AB2，AC3.BC2AB2AC22ABACcos BAC49223cos 12019.BC.答案：D2如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A，B间距离的是()A，a，b B，aCa，b， D，b解析选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似，故选A.答案A3某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为()A. B2 C.或2 D3解析如图所示，设此人从A出发，则ABx，BC3，AC，ABC30，由余弦定理得()2x2322x3cos 30，整理得x23x60，解得x或2.答案C4如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A、B两点的距离为()A50 m B50 mC25 m D. m解析 由题意，得B30.由正弦定理，得，AB50(m)答案 A 5两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa km B.a kmC2a km D.a km解析 依题意得ACB120，由余弦定理，得cos120.AB2AC2BC22ACBCcos120a2a22a23a2，ABa，故选D.答案 D 6据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45角，树干也倾斜为与地面成75角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是()A.米 B10米 C.米 D20米解析如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则ABO45，AOB75，OAB60.由正弦定理知，AO(米)答案A7如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30，经过1 min后又看到山顶的俯角为75，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)()A11.4 B6.6 C6.5 D5.6解析AB1 0001 000 (m)，BCsin 30 (m)航线离山顶hsin 7511.4 (km)山高为1811.46.6 (km)答案B二、填空题8一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_ km.解析：如图所示，依题意有AB15460，MAB30，AMB45，在AMB中，由正弦定理得，解得BM30答案：30 9如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是_米解析在BCD中，CD10，BDC45，BCD1590105，DBC30，BC10.在RtABC中，tan 60，ABBCtan 6010(米)答案1010 2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式如图，在坡度为15的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60和30，且座位A、B的距离为10米，则旗杆的高度为_米解析由题可知BAN105，BNA30，由正弦定理得，解得AN20(米)，在RtAMN中，MN20 sin 6030(米)故旗杆的高度为30米答案3011如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105，进行10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135后继续前行回到出发点，那么x_.解析由题知，CBA75，BCA45，BAC180754560，.x m.答案 m12如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东角，前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当与满足条件_时，该船没有触礁危险解析由题可知，在ABM中，根据正弦定理得，解得BM，要使该船没有触礁危险需满足BMsin(90)n，所以当与的关系满足mcos cos nsin()时，该船没有触礁危险答案mcos cos nsin()三、解答题13隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距千米的C，D两点，同时，测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离解析如图所示，在ACD中，ADC30，ACD120，CAD30，ACCD(千米)，在BDC中，CBD180457560.由正弦定理得，BC(千米)在ABC中，由余弦定理，可得AB2AC2BC22ACBCcosBCA，即AB2()222cos 755.AB (千米)所以两目标A、B间的距离为千米14如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处(1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值解析(1)依题意知，BAC120，AB12(海里)，AC10220(海里)，BCA，在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos 120784.解得BC28(海里)所以渔船甲的速度为14海里/时(2)在ABC中，因为AB12(海里)，BAC120，BC28(海里)，BCA，由正弦定理，得.即sin .15如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45的方向作匀速直线航行，速度为15 n mile/h，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40 n mile处的B岛出发，朝北偏东的方向作匀速直线航行，速度为m n mile/h.(1)若两船能相遇，求m.(2)当m10时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少n mile?解析 (1)设t小时后，两船在M处相遇，由tan，得sin，cos，所以sinAMBsin(45).由正弦定理，AM40，同理得BM40.t，m15.(2)以A为原点，BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1，y1)，Q(x2，y2)处，则|AP|15t，|BQ|10t.由任意角三角函数的定义，可得即点P的坐标是(15t,15t)，即点Q的坐标是(10t,20t40)，|PQ|20，当且仅当t4时，|PQ|取得最小值20，即两船出发4小时时，距离最近，最近距离为20 n mile.16某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由思路分析第(1)问建立航行距离与时间的函数关系式；第(2)问建立速度与时间的函数关系式解析(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S .故当t时，Smin10(海里)，此时v30(海里/时)即小艇以30海里/时的速度航行相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900，0v30，90