第三章 线性控制系统的能控性和能观性

.,1,第三章线性控制系统的能控性和能观性,3-1能控性的定义3-2线性定常系统能控性判别3-3线性连续定常系统能观性3-4离散时间系统的能控性与能观性3-6能控性与能观性的对偶关系3-7状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3-8线性系统的结构分解3-9传递函数矩阵的实现问题3-10传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系,.,2,现代控制理论是建立在用状态空间描述的基础上的。状态方程描述了输入u(t)引起状态x(t)的变化过程；输出方程则描述了由状态变化引起的输出y(t)的变化。,在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重要的概念，是卡尔曼(Kalman)在1960年首先提出来的，它是最优控制和最优估计的设计基础。,能控性和能观性正是分别分析u(t)对状态x(t)的控制能力以及输出y(t)对状态x(t)的反映能力。,.,3,本章将在详细讨论能控性和能观性定义的基础上，介绍有关判别系统能控性和能观性的准则，以及能控性与能观性之间的对偶关系。然后介绍如何通过非奇异变换把能控系统和能观系统的动力学方程化成能控标准型和能观标准型，把不完全能控系统和不完全能观系统的动力学方程进行结构分解。最后在系统结构分解的基础上介绍传递函数的最小实现。,.,4,能控性所考察的只是系统在控制作用u(t)的控制下，状态矢量x(t)的转移情况，与输出y(t)无关，所以只需从系统的状态方程研究出发即可。,3-1能控性的定义,.,5,一、线性连续定常系统的能控性定义,线性连续定常系统,如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间t0,tf内，使系统由某一初始状态x(t0)，转移到指定的任一终端状态x(tf)，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。,.,6,上述定义可以在二阶系统的状态平面上来说明(如图3-1所示)。,假定状态平面中的P点能在输入的作用下被驱动到任一指定状态P1,P2,P3,Pn，那么状态平面的p点是能控状态。,.,7,假如能控状态“充满”整个状态空间，即对于任意初始状态都能找到相应的控制输入u(t)，使得在有限的时间区间t0,tf内，将状态转移到状态空间的任一指定状态，则该系统称为状态完全能控。,可以看出，系统中某一状态的能控和系统的状态完全能控在含义上是不同的。,.,8,2)也可以假定x(t0)=0，而x(tf)为任意终端状态，换句话说，若存在一个无约束控制作用u(t)，在有限时间t0,tf能将x(t)由零状态驱动到任意x(tf)。在这种情况下，称为状态的能达性。,几点说明:,1)在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始时刻t0=0，初始状态为x(0)，而任意终端状态就指定为零状态，即,在线性定常系统中，能控性与能达性是可以互逆的，即能控系统一定是能达系统，能达系统一定是能控系统。,.,9,3)在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非唯一的，因为我们关心的只是它能否将x(t0)驱动到x(tf)而不计较x的轨迹如何。,.,10,三、离散时间系统,其中u(k)是标量控制作用,在(k,k+1)区间内是个常值。,只考虑单输入的n阶线性定常离散系统,.,11,3-2线性定常系统能控性判别,线性定常系统能控性判别准则有两种形式,一种是先将系统进行状态变换，把状态方程化为约旦标准型，再根据阵，确定系统的能控性;,另一种方法是直接根据状态方程的A阵和B阵，确定其能控性。,.,12,一、具有约旦标准型系统的能控性判别1单输入系统,123n即n个根互异,.,13,(m-l)个1重根,l个m重根，其余为互异根。,.,14,为简明起见，下面举三个具有上述类型的二阶系统，对能控性加以剖析。,(3-3),(3-4),(3-5),.,15,从式(3-7)可知，可以受控制量u的控制，从式(3-6)又知，与u无关,即不受u控制。,.,16,就状态空间而言，如图3-2所示。,能控部分是图中粗线所示的一条线，它属于能控状态子空间，除此子空间以外的整个空间，都是不能控的状态子空间。,.,17,它是一个并联型的结构，而对应x1(t)这个方块而言,是一个与u(t)无联系的孤立部分，而状态x2(t)受u(t)影响，故x1(t)不能控的。,式(3-3)系统的方块结构图如图3-3所示。,.,18,虽然式(3-8)与u(t)无直接关系，但它与x2是有联系的，而x2却是受控于u(t)的，所以不难断定式(3-4)的系统是状态完全能控的。,.,19,它是一个串联型结构，没有孤立部分，也表明其状态是完全能控的。,根据式(3-8)，式(3-9)画出系统的方块结构图如图3-4所示。,.,20,式(3-11)中只有x2本身，它不受u(t)的控制，而为不能控的。,从图3-5的方块结构图来看，存在一个与u(t)无关的孤立部分。,.,21,1)系统的能控性，取决于状态方程中的系统矩阵A和控制矩阵b。,通过以上分析，可以得出以下几点结论：,系统矩阵A是由系统的结构和内部参数决定的，控制矩阵b是与控制作用的施加点有关的，因此系统的能控性完全取决于系统的结构、参数，以及控制作用的施加点。如图3-3所示，控制作用只施加于x2，未施加于x1，图3-5则相反，这些没有与输入联系的孤立部分所对应的状态变量是不能控制的。,.,22,2)在A为对角线型矩阵的情况下，如果b的元素有为0的，则与之相应的一阶标量状态方程必为齐次微分方程，而与u(t)无关；这样，该方程的解无强制分量，在非零初始条件时，系统状态不可能在有限时间tf内，衰减到零状态，从状态空间上说，xT=x1x2xnT是不完全能控的。,如果一个系统至少有一个状态变量是不能控的，则称此系统不完全能控，或简称为不能控。,.,23,4)不能控的状态，在结构图中表现为存在与u(t)无关的孤立方块，它对应的是一阶齐次微分方程的模拟结构图，其自由解是，故为不能控的状态。,3)在A为约旦标准矩阵的情况下，由于前一个状态总是受下一个状态的控制，故只有当b中相应于约旦块的最后一行的元素为零时，与其相应的为一个一阶标量齐次微分方程，而成为不完全能控的。,.,24,2具有一般系统矩阵的多输入系统,.,25,2)可以证明，系统的线性变换不改变系统的能控性条件。,第一章已经证明，线性变换不改变系统的特征值，而从上一段可知，若某第i个状态xi不能控，就是的自由分量不能控，也即相应特征值的自然模式不能控，既然系统线性变换不改变系统特征值，所以不改变系统的能控性。,.,26,3)推得一般系统的能控性判据如下:,若系统矩阵A的特征值互异，则式(3-12)可变换为式(3-13)的形式，此时系统能控性的充分必要条件是控制矩阵T-1B的各行元素没有全为0的。,.,27,4)应指出，A的特征值互异时，其对应的特征矢量必然互异，故必然能变换为式(3-13)的对角线型。,在这种情况下，对单输入系统是不能控的，对多输入系统则需考察T-1B中，与那些相同特征值对应的约旦块的最后一行元素所形成的矢量是否线性无关。若它们线性无关，系统才是能控的。,.,28,例3-1,解1、2两系统属能控系统；,判断下列系统的能控性,.,29,解3、4两系统则是状态不完全能控的，为不能控系统。,.,30,例3-2,有系统如下，试判断其是否能控。,解将其变换成约旦型，先求其特征根,得,再求变换阵,.,31,T-1b有一行元素为零，故系统是不能控的，其不能控的自然模式为et。,故,得变换后的状态方程,.,32,例3-3,有系统如下，试判断其是否能控。,解若A的特征值1，2，3互异，将其变换为对角线阵时，变换矩阵,.,33,得,故T-1b的各元素不可能为零，系统为能控的。,.,34,若A的特征值1=2，31。将其变换为约旦型，变换矩阵,T-1b的各元素不可能为零，系统为能控的。,.,35,若A的特征值1=2=3。则变换阵,T-1b的最后一行元素不为零，系统亦为能控的。,.,36,二、直接从A与B判别系统的能控性1单输入系统,线性连续定常单输入系统,其能控的充分必要条件是由A、b构成的能控性矩阵满秩，即rankM=n。,否则，当rankMt0，使得根据t0,tf期间的输出y(t)能唯一地确定系统在初始时刻的状态x(t0)，则称状态x(t0)是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测，或简称是能观的。,.,58,1)能观性表示的是y(t)反映状态矢量x(t)的能力，与控制作用没有直接关系，所以在分析能观测问题时，不妨令u0，这样只需从齐次状态方程和输出方程出发，或用符号=(A,C)表示。,对上述定义作如下几点说明：,2)从输出方程可以看出，如果输出量y的维数等于状态的维数，即m=n，并且C是非奇异阵，则求解状态是十分简单的，即显然，这是不需要观测时间的。,.,59,可是在一般情况下，输出量的维数总是小于状态变量的个数，即mr时，可取能控标准型实现。当W(s)阵的rm时，可取能观标准型实现。(为使实现的维数较低),.,201,例3-19,.,202,解W(s)是严格的真有理分式直接将它写成按s降幂排列的标准格式,对照式(3-127)，知,.,203,输出矢量的维数m=1，输入矢量的维数r=2，先采用能观标准型实现。,.,204,检验所求能观测实现=(A0,B0,C0)是否能控。,所以，=(A0,B0,C0)是能控且能观，为最小实现。,.,205,例3-20,试求下列传递函数阵的最小实现。,.,206,解首先，将W(s)化成严格的真有理分式有理函数，并写出相应的能控标准型(或能观标准型)。,本题所求系统的能控标准型已经在例3-18中求出。,.,207,因为rankN=3n=6，所以该能控标准型实现不是最小实现。为此必须按能观性进行结构分解。,第二步判别该能控标准型实现的状态是否完全能观测,.,208,利用分块矩阵的求逆公式，求得,取,第三步根据式(3-114)构造变换矩阵，将系统按能观性进行分解,.,209,.,210,于是,.,211,经检验，是能控且能观的子系统，因此，W(s)的最小实现为,若根据上列Am,Bm,Cm,D求系统传递函数阵，则可检验所得结果。,.,212,.,213,也可先写出能观标准型实现=(A0,B0,C0),.,214,然后将=(A0,B0,C0)按能控性分解，根据式(3-107)选择变换矩阵Rc,.,215,于是,.,216,通过以上计算，进一步说明传递函数阵的实现不是唯一的，最小实现也不是唯一的，只是最小实现的维数是唯一的。,是能控且能观的子系统，故W(s)的最小实现为,.,217,也就是说，同一传递函数阵的最小实现是代数等价的。,可以证明，如果和是同一传递函数阵W(s)的两个最小实现，那么它们之间必存在一状态变换使得,最后还应指出，本节所介绍的寻求最小实现的方法虽然易于理解，但计算量可能是相当大的。还有不少算法，读者可参阅有关资料。,.,218,3-10传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系,既然系统的能控且能观性与其传递函数阵的最小实现是同义的，那么能否通过系统传递函数阵的特征来判别其状态的能控性和能观性呢？,可以证明，对于单输入系统、单输出系统或者单输入单输出系统，要使系统是能控并能观的充分必要条件是其传递函数的分子分母间没有零极点对消。,.,219,对于多输入多输出系统来说，传递函数阵没有零极点对消，只是系统最小实现的充分条件，也就是说，即使出现零极点对消，这种系统仍有可能是能控和能观的。,鉴于这个原因，本节只限于讨论单输入单输出系统的传递函数中零极点对消与状态能控且能观之间的关系。,.,220,.,221,利用这个关系可以根据传递函数的分子和分母是否出现零极点对消，方便地判别相应的实现是否是能控且能观的。,分子分母有相同因式(s+2.5)，系统状态是不完全能控，或不完全能观，或既不完全能控又不完全能观。,例如，系统的传递函数为,但是，如果传递函数出现了零极点对消现象，还不能确定系统是不能控的还是不能观的