线性代数 线代复习ppt课件

矩阵,1.矩阵的定义,一些特殊的矩阵：,零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、对角阵、数量阵、单位阵,1,2.矩阵的基本运算,矩阵相等:,同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等,两个矩阵同型，且对应元素相等,矩阵加（减）法、数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘：,乘法满足,矩阵乘法不满足：交换律、消去律,2,A是n阶方阵，,方阵的幂：,方阵的多项式：,方阵的行列式：三种基本计算方法,满足:,3,解,4,转置矩阵:,一些特殊的矩阵:,把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.,满足：,对称矩阵和反对称矩阵：,5,伴随矩阵：,6,3.逆矩阵,定义：,唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.,判定定理:,n阶方阵A可逆,且,推论：,设A、B为同阶方阵，若,则A、B都可逆，且,7,满足规律：,逆矩阵求法：,（1）伴随矩阵法（2）推论法（3）初等变换法,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似,4.分块矩阵,8,5.初等变换,对换变换、倍乘变换、倍加变换,三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换,矩阵的等价：,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B等价。记作,初等矩阵：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.,与矩阵的相似、合同相互比较,定理：,左乘变行，右乘变列,9,解矩阵方程的初等变换法(A、B可逆),矩阵方程,解,10,、秩（A）：A的不等于0的子式的最高阶数。,、秩的基本关系式：,、关于秩的重要结论：,6、矩阵的秩,11,、秩的求法：,1）初等变法：,2）若P可逆，则,4),当时，,5),12,例题2,设A、B都是n阶方阵，则,e,13,解,14,解：,R(A)=2,15,例5,解,16,一.向量组的线性相关性,1.向量间的线性运算：加法、数乘。,2.线性组合、线性表示,(1)判断向量可由向量组线性表示的常用方法,方法1：,向量组的线性相关性,是否非零无要求,关键：存在某组使上式成立，,17,(2)在判断或证明中，常用到的两个重要结论,结论1：,向量可由向量组线性表示,结论2：,方法2：,证下列非齐次线性方程组有解,即：,利用矩阵的初等行变换,行最简形矩阵,18,3.线性相关性的判别方法,(1)一般方法：设数,求系数是有非零解还是只有零解的问题。,(2)利用向量组的秩判断：,当时，线性相关；,当时，线性无关。,(3)利用常用结论：,1个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。,19,4.最大无关组的选取或证明,(1)初等变换法（最常用）,n1个n维向量线性相关。,部分相关整体相关；整体无关部分无关。,短的无关，长的也无关；长的相关，短的也相关。,20,解：,是一个极大无关组,并且,考虑：还有那些极大无关组？,21,二.矩阵的秩、向量组的秩的求法,初等变换后，看非零行的行数。,三.关于向量组的秩、矩阵的秩的证明,关于向量组的秩的两个重要定理：,那么线性相关。,(3)(三秩相等)矩阵A的秩A的行秩A的列秩。,22,向量空间的概念：向量的集合对加法及数乘两种运算封闭；由向量组生成的向量空间,子空间的概念,向量空间的基，维数和坐标；求向量空间基和维数的方法（生成子空间）；求向量在给定基底下的坐标。,四.向量空间,23,五.正交化与正交矩阵,1.正交化、单位化,2.正交矩阵,的n个列（行）向量组为单位正交向量组,也是正交矩阵,是正交矩阵，则也是正交矩阵,24,定理1设有非齐次线性方程组(1),定理2设有齐次线性方程组（2）,设r(A)=r,则,线性方程组的解法与解的结构,25,定理1设有齐次线性方程组（2）,方程组的通解、基础解系,26,定理2设有非齐次线性方程组（1）,27,例7、,解,1）是；,2）,28,3）,由（2）即得条件,29,1、特征值的求法,2、特征向量的求法,特征值和特征向量,3、对角化,看清要求的是可逆矩阵还是正交矩阵。,充要条件:,充分条件:,有n个不同特征值;或A为实对称矩阵,30,填空题,已知三阶方阵的三个特征值为，则|A|（），的特征值为（），的特征值为（），的特征值为（）,设k=0，k是正整数，则的特征值为（）,若，则的特征值为（）,，-1/2,1/3,，,4,1,16,0,0,1,31,4设A是3阶方阵，已知方阵，都不可逆，则的特征值为（）,已知三阶矩阵A的特征值为，则（）。,1,-1,3,-72,32,例8,（1）求,设,相似于,（1）由性质,（2）,（2）,解,33,例9,34,二次型,1、利用