湖南省邵阳市重点学校2020届高三综合模拟考试 数学（文）（PDF版）

邵阳市 2020 年部分学校高三综合模拟考试文科数学试卷第 1页共 6页 邵阳市邵阳市部分学校部分学校 2020 届高三综合模拟考试届高三综合模拟考试 文科数学文科数学试题试题 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 3本卷答题时间 120 分钟，满分 150 分。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1设函数 2 9f xx的定义域 A，函数 ln 2g xx的定义域为 B，则集合AB为 A（2，3）B2,3C3,2D（-3，2） 2设复数 z 满足 131i zi ，则|z|= ABC2D 3微信运动，是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公 众账号.用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天 或每月行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量 的PK或点赞.加入微信运动后，为了让自己的步数能领 先于朋友， 人们运动的积极性明显增强， 下面是某人 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的平均里程（单位： 十公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下 列结论正确的是 A月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数 B月跑步平均里程逐月增加 C月跑步平均里程高峰期大致在8、9月 D1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 4在平行四边形ABCD中，AC 与BD 交于点OE，是线段OD uuu r 的中点若AC a ，BD b ， 则AE A 11 42 ab B 21 33 ab C 11 24 ab D 12 33 ab 5将函数sin23cos2yxx的图象沿x轴向左平移 (0) 个单位后，得到关于y轴对称的 图象，则的最小值为 A 12 B 6 C 4 D 5 12 邵阳市 2020 年部分学校高三综合模拟考试文科数学试卷第 2页共 6页 6函数 y=xlnx 的图象大致是() AB CD 7汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以 16 等于 5 8 ，如图，网格纸上的小正 方形的边长为 1， 粗实线画出的是某几何体的三视图， 俯视图中的曲线为圆， 利用张衡的结论可得该几何体的体积为（） A32B40C 32 10 3 D 40 10 3 820世纪产生了著名的“31x”猜想：任给一个正整数x， 如果x是偶数，就将它减半；如果x是奇数，则将它乘3加1， 不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图 是验证“31x”猜想的一个程序框图， 若输入正整数m的值为 40，则输出的n的值是（） A8B9C10 D11 9在梯形ABCD中，/ /ABCD，2ABCD，3BCCD， 则ADB的最大值为（） A 4 B 3 C 2 D 2 3 10上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛” （图 1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数 学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图 2 为骨 笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图 3 是某骨 笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至） 日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光 线）的夹角等于黄赤交角. 邵阳市 2020 年部分学校高三综合模拟考试文科数学试卷第 3页共 6页 由历法理论知，黄赤交角近 1 万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角23 4123 5724 1324 2824 44 正切值0.4390.4440.4500.4550.461 年代公元元年公元前 2000 年公元前 4000 年公元前 6000 年公元前8000年 根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是() A公元前 2000 年到公元元年B公元前 4000 年到公元前 2000 年 C公元前 6000 年到公元前 4000 年D早于公元前 6000 年 11已知点 F 是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率 的取值范围是( ) A 1,2 B 2, C 1,2 D 2, 12已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2 coscosbCcB，则 111 tantantanABC 的最小值为（） A 2 7 3 B5C 7 3 D2 5 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13如表为制作某款木制品过程中的产量x吨与相应的消耗木材y吨的统计数据，经计算得到 y关于x的线性回归方程 0.70.85yx ， 由于某些原因m处的数据看不清楚了， 则根据运算可 得m_ 邵阳市 2020 年部分学校高三综合模拟考试文科数学试卷第 4页共 6页 x 3456 y 2.23.54.8 m 14在ABC中，若 222 coscoscoscoscoscoscos2ABCABCB，且6AB ，则 ABC S 的 最大值为_. 15已知F是抛物线C： 2 2(0)ypx p的焦点，P是抛物线C在x轴上方一点，以P为圆心，3 为半 径的圆过点F且被y轴截得的弦长为2 5，则抛物线C的方程为_. 16若函数 2 1 ( )ln2 2 f xaxxbx在区间1,2上单调递增，则4ab的最小值是_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各 50 名， 其中每人每天的健身时间不少于 1 小时称为“健身族”， 否则称其为非健身族”， 调查结果如下： 健身族非健身族合计 男性401050 女性302050 合计7030100 （1）若居民每人每天的平均健身时间不低于 70 分钟，则称该社区为“健身社区”. 已知被随机 采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分时间分別 是 1.2 小时，0.8 小时，1.5 小时，0.7 小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？ （2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关？ 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K a b c d a c b d ，其中nabcd. 参考数据： 2 0 P Kk 0. 500. 400. 250. 050. 0250. 010 0 k 0. 4550. 7081. 3213. 8405. 0246. 635 邵阳市 2020 年部分学校高三综合模拟考试文科数学试卷第 5页共 6页 18如图，直四棱柱 1111 ABCDABC D 中，四边形ABCD为梯形，ADBC，且2ADBC.过 1, ,A C D三点的平面记为， 1 BB与的交点为Q. (I)证明：Q为 1 BB的中点； (II)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比. 19已知数列 n a 为等比数列,数列 n b 满足 2 log nn ba ,且 45 1ab .设 n S为数列 n b 的前n项 和. （1）求数列 n a n b 的通项公式及 n S; （2）若数列 n c 满足 n nn S ca n ,求 n c 的前n项和 n T. 20椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的焦距是8 2，长轴长是短轴长 3 倍，任作斜率为 1 3 的直线l 与椭圆C交于A B、两点（如图所示），且点 3 2,2P 在直线l的左上方. （1）求椭圆C的方程； （2）若2 10AB ，求PAB的面积； 邵阳市 2020 年部分学校高三综合模拟考试文科数学试卷第 6页共 6页 （3）证明：PAB的内切圆的圆心在一条定直线上。 21已知函数( )ln() k f xxxx kR x ，若函数( )f x在(0,)上存在两个极值点 12 ,x x. （）求实数k的取值范围； （）证明： 12 2 2 xx k . （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，动点P在 直线 sin2 上，将射线OP逆时针旋转4 得到射线 OP ，射线 OP 上一点Q，满足 4OPOQ ，Q点的轨迹为曲线C， （1）求曲线C的极坐标方程； （2）设射线 1: ,0 2 l 和射线 2: ,0,0, 22 l 分别与曲线C交于 ,A B两 点，求AOB面积的最大值. 23. 选修 45：不等式选讲 设函数 214fxxx （1）解不等式: 0f x ; （2）若 341fxxa 对一切实数x均成立:求a的取值范围. 文数参考答案及解析 第 1页，共 8页 文科数学文科数学试题参考答案试题参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 题号123456789101112 选项CADDADCCBDDA 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 135.5143 315 2 4yx16-4 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求 作答。 17（1）随机抽样的 100 名居民每人每天的平均健身时间为 1.2400.8 101.5 300.720 1.15 100 小时， 由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为 1.15 小时， 因为 1.15 小时 7 6 小时=70 分钟，所以该社区不可称为“健身社区”； （2）由联立表可得， 2 2 n adbc K abcdacbd 2 100 40 2030 10 4.7623.840 70 30 50 50 ， 所以能在犯错误概率不超过 5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关. 18(I)证明：延长 1 ,AQ DC交于P，则P平面 1 A ABQ， 又P平面ABCD，平面 1 A ABQ平面ABCDAB ， 所以PAB因为 1, BQAA,ADBC 所以 11 1 2 BQBQBPBC BBAAAPAD ，即Q为 1 BB的中点 (II)如图所示， 连接 ,QA QD.设 1 AAh ， 梯形ABCD的高为d， 四棱柱被平面所 分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BCa，则2ADa. 三棱椎 1 1 11 2 3 23 Q A AD Va hdahd ，四棱椎 2111 3224 Q ABCD aa d Vhahd 所以V下三棱椎 1 Q A AD V +四棱椎 Q AbcD V = 7 12 ahd.又四棱柱 1 111 3 2 A B C DABCD Vahd ， 文数参考答案及解析 第 2页，共 8页 所以V上四棱柱 1 111 A B C DABCD V 3711 = 21212 Vahdahdahd 下 ， 故 11 = 7 V V 上 下 . 19 (1)对 * 2121 ,log,log nnnn nn ba ba ,则 1 12122 logloglog n nnnn n a bbaa a , 因为 n a 为等比数列,则 1n n a a 为定值.则 1 2 log n n a a 为定值,则数列 n b 为等差数列. 42425 loglog0,11bab, 则 * 4, n bnnn, 4 22 n an n a , * nn, * 1 (7), 2 n Snn nn; (2) 45 1 (7) 2|(7) 2 2 nn n nn S cann n , 设 5 (7) 2n n cn , n T为数列 n c的前n项和,则有: 4325 ( 6) 2( 5) 2( 4) 2(7) 2,(*) n n Tn 3214 2( 6) 2( 5) 2( 4) 2(7) 2,(*) n n Tn (*)式(*)式,得: 31 4325444 21 2 ( 6) 2222(7) 2( 6) 2(7) 2 1 2 n nnn n Tnn , 44 1 (7) 22 2 nn n Tn . 当7n时, 44 1 (7) 22 2 nn nn TTn ; 当8n 时, 44444 7 131 2(7) 2221(7) 22 22 nnnn nn TTTnn , 即 44 44 1 (7) 22,(7) 2 31 (7) 22,(8) 2 nn n nn nn T nn 20（1）由题意知：2 8 2c ，得 4 2c ，又 222 3 ,32ab abc， 所以 6,2ab ， 文数参考答案及解析 第 3页，共 8页 故椭圆C的方程为： 22 1 364 xy ； （2） 设直线l的方程为： 1 3 yxt， 代入椭圆方程可得： 22 269360 xtxt， 设 11 (,)A x y ， 22 (,)B xy,则 2 1212 936 3 , 2 t xxt x x ， 所以 22 1 192(936) 9 ABtt， 又2 10AB ，解得2t 或2t ， 由题意可得0t ， 故AB所在直线方程为 1 2 3 yx，即360 xy， 所以点 3 2,2P 到直线AB的距离 3 23 26 6 1910 d ， 故PAB的面积为 116 2 106 22 10 SAB d ； （3）设直线l的方程为： 1 3 yxm，代入椭圆方程可得： 22 269360 xmxm， 设 11 (,)A x y ， 22 (,)B xy,则 2 1212 936 3 , 2 m xxm x x ， 所以 12 12 22 3 23 2 PAPB yy kk xx = 1221 12 (2)(3 2)(2)(3 2) (3 2)(3 2) yxyx xx ， 又 12 (2)(3 2)yx 21 (2)(3 2)yx 12 1 (2)(3 2) 3 xmx 21 1 (2)(3 2) 3 xmx 2 1212 22 936 (2 2)()6 212(2 2) 36 2120 332 m x xmxxmmmm ， 文数参考答案及解析 第 4页，共 8页 即 0 PAPB kk ，所以APB的角平分线平行y轴， 故PAB的内切圆的圆心在一条定直线 3 2x 上. 21（）函数 ( )f x 的定义域为(0, )， 因为( )ln k f xxxx x ， 22 ( )ln11ln kk fxxx xx 令 2 ( )ln k g xx x 所以 2 33 122 ( ),0 kxk g xx xxx . 当0k 时， ( )0g x ， 所以函数 ( )g x在(0,)上单调递增. 即 2 ( )ln k fxx x 在(0, )上单调递增， ( )fx 在(0, )上至多一个零点， 所以 ( )f x 在(0, )上至多一个极值点，不满足条件. 当0k 时，由 ( )0g x ，得2xk（负根舍去）， 当(0, 2 )xk时， ( )0g x ， 当( 2 ,)xk时， ( )0g x ， 所以函数 ( )g x在(0, 2 ) k）上单调递减； 在( 2 ,)k 上单调递增. 所以 min 1 ( )( 2 )ln 2 2 g xgkk， 要使函数 ( )f x 在(0, )上存在两个极值点 文数参考答案及解析 第 5页，共 8页 则函数( )fx 有两个零点，即 ( )g x有两个零点 首先 min 1 ( )ln 20 2 g xk，解得 1 0 2 k e . 因为221kk，且 (1)0gk ， 下面证明： 1 (2 )ln(2 )0 4 gkk k . 设 1 ( )ln(2 ) 4 h kk k ， 则 22 1141 ( ) 44 k h k kkk . 因为 1 2 k e ，所以 22 2 1 41 ( )0 44 k e h k kk . 所以 ( )h k在 1 0, 2e 上单调递减， 所以 11 (2 )( )ln0 22 gkh e e kh e . 所以实数k的取值范围为 1 0, 2e . （）因为 1 x， 2 x是函数( )f x的两个极值点， 所以 1 x， 2 x是函数( )fx 的两个零点 即 1 x， 2 x是函数( )g x的两个零点， 不妨设 12 xx ，令 21 xtx ，则1t . 所以 1 2 1 2 2 2 ln0, ln0, k x x k x x 即 21 22 12 lnln kk xx xx . 所以 222 11 ln kk t xt x ，即 2 1 2 1 1 ln k x tt ， 1 0 2 k e ，1t . 文数参考答案及解析 第 6页，共 8页 要证 12 2 2 xx k