高一数学同步辅导教材(第9讲)

高一数学同步辅导教材（第9讲） 一、本讲教学进度2.4 反函数二、教学内容1反函数2互为反函数的函数图像间的关系3常见的几种图形变换三、重点、难点剖析1. 反函数 (1) 如函数yf(x)存在反函数，则f(x)对应的映射f:AB必须满足两个条件： B中的每一个元素在A中都有原像； B中的每一个元素在A中的原像只有一个，（即要求映射f:AB是一一映射.(2) 原函数与其反函数互为反函数如一个函数存在反函数，常常通过求其反函数的定义域来求这个函数的值域 (3) 求一个函数的反函数一般分为三步： 用y表示x，将yf(x)变形为xf -1(y)； 将xf -1(y)中的字母x、y互换，改写成yf -1(x)； 由yf (x)的值域得yf -1(x)的定义域例 给出下列函数的图像，判断其中哪些函数存在反函数：1 图 121分析 一个函数是否存在反函数，关键在这个函数是否是一一映射，或者说函数的值域中每一个元素在定义域中的原像是否唯一，也即对yf(x)来讲，必须有“x1x2 f(x1)f(x2)”.从图像上看，要求所有与y轴垂直的直线和函数的图像最多只有一个公共点解 作与y轴垂直的直线(图中均用虚线表示)，可见(1)、(3)不满足直线与图像最多只有一个公共点的条件，所以存在反函数的是yf2(x)和yf4(x).评析 (1) 有些函数不存在反函数，如f(x)x2 (xR),但如果适当改变其定义域，变为g(x)x2 (x0),则g(x)存在反函数但必须注意，这时的函数g(x)与f(x)的解析式虽然相同，但定义域不同，它们已不是同一个函数了(2) 由上述方法可见，在定义域上单调增（或单调减）的函数一定存在反函数当然，存在反函数的函数在其整个定义域上不一定是单调的例 已知定义在区间(a,b)上的函数yf(x)是增函数，求证：(1) f(x)存在反函数；(2) f(x)的反函数yf-1(x)在它的定义域上也是增函数证 (1) 假设对于f(x)的值域中的某个值y0，在f(x)的定义域中有两个不同的值x1、x2使f(x1)f(x2)y0. x1x2 必有x1x2或x1x2.由f(x)在定义域上是增函数，得f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)，都与f(x1)f(x2)矛盾所以对于f(x)值域中每一个值，在其定义域中只有唯一的一个值与之对应，由此得f(x)存在反函数(2) 不妨设f(x)的值域为(m,n)，即f -1(x)的定义域为(m,n).对于任意的y1y2,如y1、y2(m,n),f -1(y1)x1，f -1(y2)x2，则y1f(x1)，y2f(x2).如果x1x2，由f(x)是增函数，则y1y2，与y1y2矛盾；如果x1x2，由函数的定义，必有y1y2，也与y1y2矛盾所以当y1y2时，必有x1x2，即f -1(y1)f -1(y2).也就是说f -1(x)在它的定义域上也是增函数评析 (1)欲证明函数f(x)存在反函数，也可以证明对于f(x)定义域中任意的x1和x2，若x1x2则f(x1)f(x2).(2) 同本题类似，可以证明在定义域上的减函数一定存在反函数，且其反函数也是减函数例 求下列函数的反函数： , (x0), (1) f(x)1 (x0)； (2) f(x) 2x， (0x1), x22x3. (x1). 解 (1) y11 (x0).由y1， 得(y1), x0， x , f -1(x) (x1).(2) 当x0，y0， xy3. f -1(x)x3 (x0)当0x1, y2x0,2, xy f -1(x)x (0x2)当x1，y(x1)222, (x1)2y2， x1, x1. f -1(x)1 (x2) x3, (x0), f -1(x) x， (0x2), 1， (x2).评析 (1) 按约定，求一个函数的反函数时，必须注明反函数的定义域(2) 求一个分段函数的反函数，只需分段求出它的反函数，然后再合成2. 互为反函数的函数图像间的关系在求一个函数的反函数时，按习惯字母x表示自变量，y表示自变量的函数，因此在第二步时将字母x、y互换，由此得反函数yf -1(x)如注意到在直角坐标平面中，若将x轴和y轴互换，可以看成是整个坐标平面绕直线yx翻转180o而得，从这个角度考虑，就不难理解函数yf(x)和它的反函数yf -1(x)的图像关于直线yx对称例 求证：函数f(x)的图像关于直线yx对称 分析 证明一个函数的图像关于直线yx对称，只要证明图像上任意一点P关于直线yx的对称点PM也在图像上，或证明函数yf(x)的反函数f -1(x)即f(x)本身证 设yf(x)的图像上有一点P(a,b)，则bf(a).P点关于直线yx的对称点为PM(b,a). 2ab4b4a7, a, 即 af(b).由此点PM(b,a)也在函数yf(x)的图像上，所以函数yf(x)的图像关于直线yx对称证2 由f(x) (x2)， y2, y2.又y2, 2x4，x(4), f -1(x) (x2)， f -1(x)f(x) yf(x)与yf -1(x)的图像关于直线yx对称 yf(x)的图像关于直线yx对称例 (1) 已知f(x2)x24x6 (x2),求f -1(3)；(2) 已知点(2,3)在函数f(x)的图像上，又在其反函数的图像上，求f(x)的解析式解 (1) f(x2)(x2)22， x2 f(x)x22 （x）设f -1(3)x，则f(x)3.x223, x21. x0, x1,即f -1(3)1.(2) 由已知，得 3, 2ab9, 2, 3ab4. a5,b19， f(x).评析 (1) 本题(1)也可以先求出f -1(x)，再计算f -1(3)1.(2) 本题(2)中（2,3）在f -1(x)的图像上，即f -1(2)3,由此得出f(3)2.*3. 常见的几种图像变换(1) 平移变换 yf(xa)的图像，当a0时，可以由yf(x)的图像向右平移a个单位得到；当a0时，可以由yf(x)的图像向左平移|a|个单位得到 yf(x)b的图像，当b0时，可以由yf(x)的图像向上平移b个单位得到；当b0时，可以由yf(x)的图像向下平移|b|个单位得到(2) 对称变换 yf(x)的图像与yf(x)的图像关于x轴对称； yf(x)的图像与yf(x)的图像关于y轴对称； yf(x)的图像与yf(x)的图像关于原点对称； 若f -1(x)存在，yf -1(x)的图像与yf(x)的图像关于直线yx对称； 若对于定义域中的一切x，有f(ax)f(ax),yf(x)的图像关于直线xa对称； y|f(x)|的图像，是使yf(x)的图像在x轴上方部分及x轴上的点保持不变，将其在x轴下方部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方； yf(|x|)的图像，是除去yf(x)的图像在y轴左边部分，使该图像在y轴右边部分和y轴上的点保持不变，并根据偶函数的性质，再将yf(x)的图像在y轴右边部分以y轴为对称轴翻折到y轴左边.例 已知f(x)x22x，画出下列函数的图像：(1) yf(x1)； (2)yf(x)1； (3) yf(x)； (4) yf(x)； (5) y|f(x)|； (6) yf(|x|)分析 当然可以分别求出这些函数的解析式再画图像，这里运用图像变换画出它们的图像解 f(x)(x1)21，其图像是顶点在(1,1),开口向上的一条抛物线(-x) 图 122练 习 一、选择题 1. 若f(x)x22x4的定义域是0,),则f -1(x)的定义域是（ ） . 4,) . 3,) . 0,) . 1,) 2. 下列函数中,存在反函数的是（ ） . y .y2y . x21, (x0), .y5-3 2x3，（x0) 3. 函数f(x)3 （x1）的反函数是（ ） .y(x3)4 (x4) .y(x3)4 (x3) .y(x3)21 (x4) .y(x3)41 (x3) 4. 已知函数yf(x)存在反函数，则下列命题中假命题是（ ） . 函数yf(x)与xf -1(y)是同一个函数 . 若yf(x)是奇函数，则yf -1(x)也是奇函数 . yf(x)与xf(y)的图像关于直线yx对称 . 若yf(x)在0,)上是增函数，则yf -1(x)在0,)上也是增函数 5. 已知函数yf(x)的反函数为yg(x)，函数yj(x)的图像与yg(x)的图像关于 原点对称，则yj(x)的图像与yf(x)的图像（ ） . 关于直线xy0对称 . 关于直线xy0对称 . 关于x轴对称 . 关于y轴对称 6. y的图像可以由函数y的图像经过下面的变换得到（ ） . 沿x轴向右平移1个单位，再沿y轴向上平移2个单位 . 沿x轴向右平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位 . 沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移2个单位 . 沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位二、填空题 7. 若yxa与ybx2互为反函数，则a ,b . 8. 若yg(x)的图像与函数f(x)的图像关于直线yx对称，则g(x) 9. 函数f(x)2 (x0)的反函数是 10. 若点(1,0)在函数f(x)(xa)2b(xa)的图像上，又在它的反函数的图像 上，则f(x) 三、解答题 11. 已知函数yf(x)的图像如图123所示 求：(1) 函数yf(x)的解析式；(2) 函 数yf -1(x)的解析式；(3) yf -1(x)的 定义域和值域 图 123 12. 已知f(x) (x1)，求：(1) f -1(1),f -1(3)； (2) ff -1(3),f -1f(3)； (3) f f -1(x),f -1f(x).答 案 与 提 示答案一、 二、 7. 2, 1 8. 9. f -1(x)(x2)31 (x1) 10. x21 (x0)(1) f(x)(2) f -1(x)三、11. x， （2x0）, 2x， （1x0）, 22x， （0x1）, 1x,（0x2） (3) 定义域为1,2,值域为2,1.12. (1) f -1(1)0, f -1(3)2； (2) ff -1(3)3, f -1f(3)3； (3) ff -1(x)x (x2), f -1f(x)x (x1).提示一、 1. f(x)(x1)234 (x0) 4.