高二数学同步辅导教材(第14讲)

高二数学同步辅导教材（第14讲）一、 本章主要内容8.3 双曲线及其标准方程课本第104页至第108页二、 本讲主要内容1、 双曲线的定义2、 双曲线的标准方程三、 学习指导1、双曲线的定义用集合表示为P|PF1|-|PF2|=2a，2a0，F1、F2是定点，2a|F1F2|。当2a=|F1F2|时，点P的轨迹是两条射线（线段F1F2的反向延长线）。当2a0，b0）。若记左焦点为F1（-c，0），右焦点为F2（c，0），则|PF1|PF2|时，点P在双曲线右支上；|PF1|0，b0），若记下焦点为F1（-c，0），上焦点为F2（c，0），则|PF1|PF2|时，点P在双曲线的上支上；|PF1|b，ac，b与c无大小关系；双曲线中，ca，cb，a与b无大小关系。3、求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程的方法完全类似。一般分两步：（1）选标准。判断焦点在哪根数轴上，还是两者均有可能；（2）定参数。途径一是待定系数法，即解方程组的思想；途径二是定义法。四、典型例题例1、 就实数k的取值范围，讨论方程表示的曲线。解题思路分析：关键是抓住椭圆及双曲线标准方程的特征，采用分类讨论的思想方法。当，3k6时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当，6k9时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；当，k=6时，方程表示圆心在原点，半径为6的圆。当，k9时，方程表示焦点在y轴上的双曲线。注：在判断方程表示的曲线时，应至少交代焦点的位置特征，在方程表示椭圆时，还应注意圆的情形是否存在。例2、 求过点E（5，0）且与圆F：(x+5)2+y2=36外切的圆的圆心P轨迹。解题思路分析：运用与圆有关的平面几何的性质寻找动圆圆心的几何等量关系。设动圆圆心为r，则由E在圆P上知，|PE|=r由圆P与圆F外切知，|PF|=r+6消去参数r得：|PF|-|PE|=6 点P在以F、E为焦点的双曲线的一支上。 2a=b，a=3又 c=5 b=4 所求双曲线的轨迹方程为（x3），轨迹为该双曲线的右支。注：利用双曲线的定义解题是解决双曲线问题的一个重要思想方法。本题利用定义求点P轨迹方程，免去了很多繁琐的方程化简过程，希望同学们引起重视。双曲线定义中的距离差含有绝对符号，本题没有，因此只表示双曲线的一支。例3、已知椭圆（mn0）和双曲线（s0，t0）有相同的焦点F1、F2，P是两条双曲线的一个交点，求|PF1|PF2|的值。解题思路分析：当题设涉及到焦点的距离时，一般考虑用定义解题，避免用两点间距离公式，增加计算的复杂程度。当P在椭圆上，|PF1|+|PF2|= 当点P在双曲线上，|PF1|-|PF2|= 、两式分别平方得： 两式相减得： 4|PF1|PF2|=4(m-s) |PF1|PF2|=m-s注：从计算的角度看，本题涉及到整体运算的思想，把|PF1|PF2|作为一个变量。例4、焦点在x轴上的双曲线过点P（，-3），且点Q（0，5）与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程。解题思路分析：用待定系数求标准方程。同时注意分析图形位置特征。 两焦点F1、F2关于y轴对称，点Q在y轴上 QF1F2为等腰直角三角形 c=|OF1|=|OF2|=|QA|（O为坐标原点） c=5设双曲线方程则 去分母，整理得 a4-66a2+800=0 a2=16，或a2=50（舍） b2=9 所求双曲线的标准方程为例5、若双曲线y2-x2=1上的点P与其焦点F1、F2的直线互相垂直，求点P坐标。解题思路分析：法一：不妨设F1（0，-），F2（0，），P（x0，y0），则 解之得： 点P坐标为法二：用轨迹的思想解题因点P对定线段F1、F2张角等于900故点P在圆x2+y2=2上又点P在双曲线y2-x2=1上 点P坐标为方程组的解解此方程组：，下略五、同步练习（一） 选择题 1、双曲线的两个焦点分别为F1、F2，双曲线上的点P到F1的距离为12，则P到F2的距离为A、17 B、7 C、7或17 D、2或222、在方程mx2-my2=n中，若mn0，则方程表示的曲线是A、焦点在x轴上的椭圆 B、焦点在x轴上的双曲线C、焦点在y轴上的双曲线 D、焦点在y轴上的椭圆3、方程表示A、椭圆 B、圆 C、双曲线 D、以上三种均有可能4、已知双曲线的焦距为26，则双曲线的标准方程是A、 B、C、 D、5、F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且F1PF2=900，则F1PF2的面积是A、2 B、4 C、8 D、166、双曲线焦点在y轴上，且它的一个焦点在直线5x-2y+20=0上，两焦点关于原点对称，则此双曲线方程是A、 B、 C、 D、7、双曲线8mx2x-my2=8的焦点为6，则m的值是A、1 B、-1 C、1 D、88、设是第三象限角，方程x2+y2sin=cos表示的曲线是A、焦点在x轴上的椭圆 B、焦点在y轴上的椭圆C、焦点在x轴上的双曲线 D、焦点在y轴上的双曲线9、双曲线中，且双曲线与椭圆4x2+9y2=36有公共焦点，则双曲线的方程是A、 B、 C、 D、10、过（1，1）且的双曲线的标准方程为A、 B、 C、 D、或（二） 填空题11、是三角形的一个内角，若方程x2+y2cos=1表示双曲线，则的取值范围是 _。12、以椭圆的顶点为焦点，且过椭圆焦点的双曲线方程是_。 13、已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点（0，3），则k=_。14、双曲线ax2-ay2=b（ab0）的焦点坐标是_。15、若双曲线与圆x2+y2=1无公共点，则实数k的取值范围是_。（三） 解答题16、已知F1、F2是双曲线的两个焦点，|F1F2|=10，过F2的直线交双曲线一支于A、B两点，若|AB|=5，AF1B的周长等于26，求双曲线方程。17、已知定点A（3，0）和定圆C：(x+3)2+y2=16，动圆和圆C相外切，并经过点A，求动圆圆心P的轨迹方程。18、一炮弹在某处爆炸，在F1（-5000，0）处听到爆炸声的时间比在F2（5000，0）处晚秒，已知坐标轴的单位长度为1m，声速为340m/s，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在曲线方程。19、一动圆C与两定圆C1：x2+(y-1)2=1和圆C2：x2+(y+1)2=4都外切，求动圆圆心C的轨迹方程。20、已知双曲线的焦点在y轴上，且双曲线过P1（-2，），P2（，4），求双曲线的标准方程。六、参考答案（一） 选择题1、D。 不妨设F1为左焦点，F2为右焦点。当点P在双曲线左支时，|PF2|-|PF1|=10，|PF2|=22；当点P在双曲线右支时，|PF1|-|PF2|=10，|PF2|=2。2、C。 首先将方程变形为，mn03、D。 当 k-30 ,3k9且k6，方程表示椭圆； 9-kk-3 当，k=6时，方程表示圆当（9-k)(k-3)9，或k0时，标准方程为=1，m=1。当m0时，标准方程为，m=-1。8、D。 ，sin0，cos0，标准方程为=1，表示焦点在y轴上的双曲线。9、B。 椭圆标准方程为，焦点（，0），c=，a=2，b2=c2-a2=1，焦点在x轴上。10、D。 设b=k，a=k，当焦点在x轴上时，设双曲线方程，令x=1，y=1，则，双曲线方程为；当焦点在y轴上时，双曲线方程为（二） 填空题11、 。cos1，或。 （三）解答题16、解 |AF1|+|BF2|+|AB|=26 |AF1|+|BF2|=5 -得：(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)=16 4a=16，a=4又 c=5 b=4 所求双曲线方程为或。17、解：圆心C（-3，0），设动圆半径为r则 |PC|-|PA|=4 点P轨道为双曲线的一支 a=2，c=3 b= 所求轨迹方程为（x0）。18、解：设爆炸点为P，则|PF1|-|PF2|=6000|F1F2| 点害以F1、F2为焦点，2a=6000的双曲线上 a=3000，c=5000 b2=16106 爆炸点在双曲线上，其方程为。19、解： |cc2|-|cc1|=10，b0）则 解之得： 双曲线方程为七、附录例1的解：当3kk-30，方程表示焦点在x轴上椭圆；当6k9-k0，方程表示焦点在y轴上椭圆；当k=6时，方程为x2+y2=6，表示圆心在原点，半径为的圆；当k0k-3，方程表示焦点在x轴上的双曲线；当k9时，k-309-k，方程表示焦点在y轴上的双曲线。例2的解：设动圆P的半径为r，则 |PF|-|PE|=6 点P的轨迹是以F、E为焦点的双曲线的一支，2a=6，c=5，b=4 点P的轨迹方程为（x3）例3的解： |PF1|+|PF2|= |PF1|-|PF2|=