高二数学同步辅导教材(第19讲)

高二数学同步辅导教材（第19讲）第七章 直线和圆的方程一、知识结构 二、学习指导 1、本章让学生初步接触解析几何的基本思想，即在坐标系这个工具之下，理解形与数（方程）的对应关系。从形到数，给出了两个最基本图形直线和圆对应的方程，在此基础上，将图形的几何位置关系研究通过数的知识来解决，如两条直线平行及垂直的关系，反映在它们对应的方程的系数关系上。从数到形，在二元一次方程（等量关系）的基础上，介绍了二元一次不等式的几何意义，并用这个几何意义解决一类二元函数的最值问题。以形助数的思想，既可以理解为解析几何的运用（方程的几何意义是曲线），又可以理解为是对解析几何的补充。从而说明了数和形之间是辩证统一的。2、倾斜角和斜率是描述直线方向的两个重要参数。倾斜角是区间角0，），倾斜角与斜率之间是正切函数的关系，斜率k（-，+）。直线方程的五种形式中，点斜式、斜截式、两点式、截距式都具有明确的几何意义，从几何条件看，主要是两种条件：两点及点斜。直线方程的一般式偏重于数，说明什么的二元方程与直线对应。求直线方程主要用待定系数法，关键是选择适当的形式，若选择k作为参数，应注意其不存在的情形。含参数的直线方程为直线系，直线系的特征无非是两种：平行直线系与旋转直线系。 3、在二元一次方程与直线对应的基础上，借助于分类讨论的思想，课本介绍了二元一次不等式的几何意义，利用它可以解决用数的方法（单调性及基本不等式）所不能解决的一类二元函数问题。作为这类二元函数的模型，课本介绍了运筹学中的重要分支简单线性规划，体现了学实用数字的新教材理念。4、圆是一种简单的图形，通过圆的学习，一方面体会曲线和方程的对应关系，另一方面通过在圆的解题过程中大量运用圆的几何性质，揭示了数与形的紧密联系。5、本章主要方法：坐标法，待定系数法，配方法，向量法；本章主要思想方法：数形结合，消元思想，分类讨论。三、典型例题例1、点A（1，0）到直线l的距离为2，点B（-4，0）到l的距离为3，求l的条数。解题思路分析：若用待定系数法，显然很复杂。考虑借助于几何性质，用轨迹的概念求解。以A为圆心，2为半径作圆，则直线l为A的切线；以B为圆心，3为半径作圆，则直线l为B的切线。则问题转化为判断圆A与圆B的公切线的条数。先判断A与B的位置关系 |AB|=5，r1+r2=5 A与B外切 A、B的公切线共有三条例2、圆M：2x2+2y2-8x-8y-1=0，直线l：x+y-9=0，过l上一点A作ABC，使AB边过圆心M，点B、C在圆M上，且BAC=，求：（1） 点A横坐标a=4时的直线AC方程；（2） 点A横坐标a的取值范围。 解题思路分析： （1）Al，x=4 yA=5 A(4，5)又圆M：x2+y2-4x-4y-=0配方得：(x-2)2+(y-2)2= 圆心M（2，2）， AB与AC夹角为450 tan450= ，或 直线AC方程为x-5y+21=0，或5x+y-25=0 （2）求a范围，实际上就是求点A在直线l运动的范围。过A作圆的切线AT，连MTRtMAT中 MATMAC= |AT|MT|=r当AC为圆的切线时，|AT|=|AC|=r 点A到圆的切线长r A（a，9-a） 切线长化简得：a2-9a+184=r1+r2 C1与C2外离 圆C1与圆C2的外公切线共有4条如图再分别求内、外公切线（1） 外公切线、延长两外公切线交于点M0，则M0、O1、O2三点共线 =-3设M0（x0，y0）则 M0（-3，-4）设外公切线方程为y+4=k(x+3)，即kx-y+3k-4=0 O1到公切线距离等于1 =|2k-1|，k2+1=(2k-1)2整理得：3k2-4k=0 k=0，k=当k=0时，外公切线方程为y=4当k=时，外公切线方程为4x-3y=0（2） 求内公切线当M为内公切线交点时， M分分比=3 M（0，）同（1）可得内公切线方程为3x+4y+10=0由图可知，y轴也是两圆的内公切线 两圆内公切线为x=0，3x+4y+10=0注：判断两圆位置关系求公切线的基础，很多同学总以为公切线是4条，在以k为参数时，应注意k不存在的情形，可画图。例4、已知对于圆x2+(y-1)2=1上任意一点P（x，y），不等式x+y+m0恒成立，求实数m的取值范围。解题思路分析：学了解析几何以后，二元问题既可以用数的知识，也可以用形的知识求解。法一：令x=cos，y=1+sin则x+y+m0恒成立m-(x+y)恒成立m-(sin+cos+1)恒成立m-(sin+cos+1)max -(sin+cos+1)=sin(+)+1=sin(+)-1-1当且仅当+，=时取得最大值 m-1法二：当直线x+y+m=0与圆相切时，直线的截距-m=+1，或-m=1- 直线l1：x+y-1-=0 直线l2：x+y+-1=0以圆上点（0，0）代入l1方程，不满足x+y+m0，直线l1向上平移均不满足。以（0，0）代入l2，满足x+y-m0，当l1向下平移时，圆周上的点均满足不等式 -m1- m-1例5、设圆满足：y轴截圆所得弦长为2，被x轴分成两段弧，其弧长之比为31，在满足的所有圆中，求圆心到直线l：x-2y=0的距离最小的圆的方程。解题思路分析：根据条件，选用圆的标准方程设圆心为（a，b），半径为r，则条件转化为：r2=a2+1条件转化为：圆被x轴截得的弦对圆心张角为900，从面有r2=2b2 2b2=a2=1，即2b2-a2=1（*）又圆心到直线l的的距离下求在（*）式条件下，该二元函数的最小值法一：用基本不等式，由得 5d2=(a-2b)2=a2+4b2-4ab a2+b22ab 5d2=a2+4b2-4aba2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1当且仅当，即或时，等号成立此时r2=2b2=2 所求圆方程为(x-1)2+9y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2法二：用形的知识求解方程2b2-a2=1表示aob坐标系下的双曲线，如图由得|a-2b|=d当a-2b=时，b=该方程表示aob坐标系下平行直线系显然当直线与双曲线下半支相切时，达到最大，从而d最小由得 由=得：d2= d0 d=此时直线b=在b轴上截距为，确实是与下半支相切 a=-1，b=-1，r2=2 所求圆方程为(x+1)2+(y+1)2=2同理当a-2b=d时，所求圆方程为(x-1)2+(y-1)2=2注：本题也可用三角换元求解四、单元测试（一） 选择题（每小题4分，共40分）1、 过点P（0，1），且倾斜角的余弦是的切线方程是A、4x+5y-5=0 B、3x+4y-4=0 C、4x+3y-3=0 D、3x+5y-5=02、 直线3x+ay+4=0平行于直线(a+5)x+2y+8=0，则实数a的值是A、-6 B、1 C、7 D、253、 过点（-1，）且与直线x-y+1=0的夹角是的直线方程是A、x-y+4=0 B、x+1=0，或x+y-2=0C、x+1=0，或x-y+4=0 D、y-=0，或x+y-2=0 4、已知A（-1，5），B（3，0），C（5，-4），则ABC中，BC边上的高所在直线方程是A、2x+y-3=0 B、2x-y+7=0 C、x-2y+11=0 D、x+2y-9=05、 直线l1与l2的斜率是方程6x2+x-1=0的两根，则l1与l2夹角是A、 B、 C、 D、 6、若不等式x+(m-3)y-7m3 B、m3 C、m=3 D、1m37、若三条直线x+2y-5=0，2x-3y+4=0和ax+y=0不能构成三角形，则不同的a值有A、1个 B、2个 C、3个 D、4个8、若直线ax+by=4与圆C：x2+y2=4有两个不同的交点，那么点P（a，b）与圆C的位置关系是A、在圆上 B、在圆内 C、在圆外 D、不确定9、与圆x2+y2-4x+2=0相切，且在x、y轴上截距相等的直线共有A、4条 B、3条 C、2条 D、1条10、若实数x、y满足x2+y2=1，则 的最大值是A、 B、 C、-1 D、不存在（二） 填空题（每小题5分，共25分）11、圆x2+y2=4上的点到直线4x+3y-12=0的距离最小值是_。12、如果直线l将圆x2+y2-2x-4y=0平分，且不通过第四象限，则l的斜率取值范围是_。13、已知x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值是_。14、从动点P（a，2）向圆(x+3)2+(y+3)2=1作切线，则切线长的最小值是_。15、若两直线11x-y+1=n和x-ny=-2n的交点在第二象限，则n的范围是_。（三） 解答题16、（10分）已知平行四边形ABCD的顶点A（4，8），B(0，4），D（8，0）（1） 求点C的坐标；（2） 若直线l的倾斜角为300，且将平行四边形ABCD的面积平分，求l方程。 X+y+z=117、（11分）设实数x、y、z满足 0x1，求F=2x+6y+4z的最值。 0y2 3y+z218、（12分）ABC的边长分别为3，4，5，M是它内切圆上一点，求|MA|2+|MB|2+|MC|2的最大值和最小值。19、（12分）已知圆C：(x-2)2+(y-3)2=4，直线l：(m+2)x+(2m+1)y=7m+8（1） 证明：不论m为何值，直线l与圆C恒相交；（2） 当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值。五、参考答案（一） 选择题1、B。 设倾斜角为，则0，），cos=，tan=，直线方程，即3x+4y-4=02、A。 a满足，a=-63、C。 注意斜率不存在情形，x=-14、C。 kBC=-2，BC边上高所在直线斜率k=5、B。 l1与l2的斜率k1、k2分别为、，6、B。 由x+(m-3)y-7m=0得（显然m-30），当，即mr，P在圆C外9、B。 对截距是否为零分类讨论，当截距不为零时，可设直线方程为x+y=a，由得a=0，a=4；当截距等于零时，设直线y=kx，由解之得k=1，直线共有x+y=0，x+y=4，x-y=0三条10、B。 用几何意义，或参数方程，或法（二） 填空题11、 圆心O到直线距离，故所求最小值为12、 0，2 画图即可13、 10 思路同上14、 圆心O(-3，-3)，|PO|2=(a+3)2+25 切线长当且仅当a=-3时，取得最小值15、 交点坐标为，由得0n（三） 解答题16、 解：（1）由得 C（4，-4） 4分 （2） 直线l平分平行四边形ABCD l过平行四边形ABCD中心（4，2） l方程：y-2=(x-4)，即 10分17、 解：由x+y+z=1得z=1-x-y 2分 0x1 条件化简为 0y2 x-2y0 目标函数为F=2x+2y+4 8分利用线性规划的图解法可解得Fmin=4，Fnax=8 11分18、 解；如图建立直角坐标系，设RtABC内切圆方程为（x-1)2+(y-1)2=1设M(1+cos，1+sin) 2分则|MA|2+|MB|2+|MC|2=(1+cos)2+(1+sin-3)2+ (1+cos-4)2+(1+sin)2+(1+cos)2+(1+s