随机数的生成方法ppt课件

随机数的产生,对随机系统进行模拟，需要产生服从某种分布的一系列随机数.,?,定义,设随机变量X（总体）服从某种随机分布，对其进行了n次独立观察,得到一组简单随机样本X1，X2，Xn,满足,1）X1，X2，Xn相互独立；,2）每一个X1，X2，Xn都与总体X同分布.,利用某种方法得到一串数列r1,r2,rn,一随机数的概念,1,在一定的统计意义下可作为随机样本X1，X2，Xn的一组样本值，称r1,r2,rn一组具有与X相同分布的随机数.,例1,设随机变量XB(1,0.5),模拟该随机变量X的一组样本值.一种简单的方法是,抛一枚均匀硬币，观察出现正反面的情况，出现正面记为数值“1”,否则记为“0”得：0，0，1，0，1，1，1，0，1，0，0，0，0，1，1，0，1，0,可看成总体X的一系列样本值,或称产生了一系列具有两点分布的随机数.,2,需要寻求一种简便、经济、可靠,并能在计算机上实现的产生随机数的方法.,数学软件有产生常用分布随机数的功能,对特殊分布,需要数据量很大时,不太有效,3,二.均匀分布随机数的产生,最常用、最基础的随机数是在（0,1）区间内均匀分布的随机数(简记为RND),理解为：随机变量XU(0,1)的一组样本值的模拟值,一般采用某种数值计算方法产生随机数序列，在计算机上运算来得到.,通常是利用递推公式：,给定k个初始值1,2,k,利用递推公式递推出一系列随机数1,2,，n,4,乘同余法,混合同余法,常用方法,具有较好的统计性质,1乘同余法递推公式为,用M除xn后得到的余数记为xn+1,其中是乘因子,M为模数(modulus),第一式是以M为模数的同余式.,给定初值x0(称为种子),递推计算出,5,r1，r2，即在(0,1)上均匀分布的随机数序列.,例2取x0=1，=7，M=103，有,x0=71=7，x1=7，r1=7/1000=0.007,x1=77=49，x2=49，r2=49/1000=0.049,x2=749=343，x3=343，r3=343/1000=0.343,x3=7343=2401,x4=401,r4=401/1000=0.401,x4=7401=2807,x5=807,r5=807/1000=0.807,其余类推.,6,2混合同余法递推公式为,用模M去除xn+C的余数,其中，C是非负整数.,例3：选=97，C=3，M=1000，得递推公式,取定种子x0=71，得,97x03=6890，x1=890，r1=0.890,97x13=86333，x2=333，r2=0.333,7,97x23=32304，x3=304，r3=0.304,97x33=29491，x4=491，r4=0.491,97x43=47830，x5=630，r5=0.630,余类推，接下来的随机数是：0.113，0.964，0.511，0.570，0.293，0.424，0.131，0.710，0.873，0.684，0.351，0.050，0.853,有下述问题：,1.数列rn是有周期的，周期LM（模数）；,因0xnM，数列xn最多有M个相异值,从而rn也同样如此.,8,2.数列rn本质上是实数列,给定初始值由递推公式计算出的一串确定的数列.,不能简单等同于真正意义的随机数.,解决方法与思路：,1.选择模拟参数,2.对数列进行统计检验,从计算机中直接调用某种分布的随机数同样存在类似问题.,9,x。=1，=513，M=236（L=23421010）,1）周期的长度取决于参数x0,入,M的选择；,2）通过适当选取参数可以改善随机数的统计性质.,几组供参考的参数值：,x。=1，=7，M=1010（L=5107）,1.选择模拟参数,在计算机上编程产生随机数还应注意浮点运算对周期的影响,x。=1，=517，M=212（L=2401012）,10,2.对数列进行统计检验,无论用哪一种方法产生的随机数序列(实数列)RND,都存在问题：,能否将其看着是在(0,1)上均匀分布的连续型随机变量X的独立样本值？,对应的样本是否可以看成X的简单随机样本：,1）X1，X2，Xn相互独立；,2）XiU(0,1),(i=1,2，n),需判断是否具有较好的统计性质：,独立性均匀性,进行统计检验,11,三.任意分布随机数的模拟,l离散型随机数的模拟,设随机变量X的分布律为,将P(n)作为区间(0,1)的分点:,P(0),P(1),P(2),P(3),0,1,12,若随机变量RU(0,1),有,产生X的随机数的算法步骤：,(1)产生一个(0,1)区间上均匀分布随机数r(RND);,(2)若P(n1)rP(n)，则令X取值为xn.,例3离散型随机变量X的分布律如下,13,设r1，r2，rN是RND随机数，令,x1，x2，xN即具有X的分布律的随机数.,从理论上讲,已解决了产生具有任何离散型分布的随机数的问题.,具体执行仍有困难,如X的取值是无穷多个的情况.,可利用分布的自身特点,采用其他的模拟方法.,14,例4随机变量XB(n,p)，其分布律为,随机变量X是n次独立贝努里试验中,事件A发生的总次数,其中p=P(A).,在计算机上模拟n重贝努里试验来产生二项分布的随机数.,当p较大而计算精度要求较高时,15,2）统计ri（i=1，2，n）中使得,重复循环得到:n1，n2，nk即所求随机数列.,练习题：(1)生成100个服从B(20,0.3)的随机数(2)如何模拟参数为的泊松分布随机数？,rip的个数ni.,算法步骤：,1）产生n个RNDr1，r2，rn；,16,2连续型随机数的模拟,利用在(0,1)区间上均匀分布的随机数来模拟具有给定分布的连续型随机数.,两种方法,反函数法,舍选法,1)反函数法,设连续型随机变量Y的概率函数为f(x),需产生给定分布的随机数.,算法:1）产生n个RND随机数r1，r2，rn；,所得yi,i=1,2,n即所求.,17,基本原理：设随机变量Y的分布函数F(y)是连续函数，而且随机变量XU(0,1)，令Z=F1(X)。则Z与Y有相同分布.,18,例5模拟服从参数为的指数分布的随机数，其概率密度函数为,若随机变量)XU(0,1),1XU(0,1),19,(1ri)与ri均为RND随机数,模拟公式可改写为,问题：请考虑如何利用此公式模拟泊松流？,优点：一种普通而适用的方法；,缺点:当反函数不存在或难以求出时,不宜于使用.,练习：生成100服从参数为10的指数分布的随机数。,20,2）舍选法,基本思想：实质上是从许多RND随机数中选出一部分,使之成为具有给定分布的随机数.,算法步骤：,(1)选取常数，使f(x)1，x(a,b)；,(2)产生两个RND随机数r1、r2，令y=a(ba)ri；,(3)若r2f(y)，则令x=y,设随机变量X的概率密度函数为f(x)，存在实数ab，使PaXb=1，,否则剔除r1和r2,重返步骤(2).,21,重复循环,产生的随机数x1，x2，xN的分布由概率函数f(x)确定.,舍选法算法原理分析：设PaZb=1，Z的概率密度为f(z),选常数，使f(z)1，z(a，b)；随机变量X1，X2相互独立XiU(0,1),令Y1=a+(ba)X1U(a,b);若X2f(Y1)，则令X=Y1，否则剔除X1，X2重复到(2)。则随机变量X的分布与Z相同。,22,注,可选取有限区间(a1,b1)，使得,是很小的正数.,例如取a1=3,b1=3，有,在区间(a1,b1)上应用舍选法,不会出现较大的系统误差.,23,3正态随机数的模拟,产生正态分布随机数的方法,反函数法,舍选法,坐标变换法,中心极限定理,1）坐标变换法,设r1，r2是RND随机数，令,则x1,x2是相互独立的标准正态分布的随机数.,练习：用舍选取法生成100个服从以期望=20，标准差=10的正态分布的随机数。,24,2）利用中心极限定理,