高考数学冲刺之解答题概率统计 (985班)题目解析

【知识讲解】 未设置知识点 【典型例题】 例 1（2018 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） ：理数） 【所属试卷】 Tarzan 试卷 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） ：理数 【题目内容】 （本小题 12 分） 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值。 假设所有电影是否获得好评相互独立。 （）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的 概率； （）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率； （）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ” 表示第 ? 类电影得到人们喜欢，“ ”表示第 ? 类电影没有得到人们喜欢（ ? = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ） 。写出方差 ? ， ? ， ， ， ， 的大小关系。 例 2（2017 届湖南省郴州市高三第二次教学质量监测考试试卷：理数） 【所属试卷】 Tarzan 试卷 2017 届湖南省郴州市高三第二次教学质量监测考试试卷：理数 【题目内容】 （本小题满分 12 分） 某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方 图，如图所示： 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立。 （1）求未来 3 天内，连续 2 天日销售量不低于 8 吨，另一天日销售量低于 8 吨的概 率； （2）用 ? 表示未来 3 天内日销售量不低于 8 吨的天数，求随机变量 ? 的分布列及数 学期望。 例 3（2018 届广西壮族自治区梧州市、柳州市高三摸底调研考试：理数） 【所属试卷】 Tarzan 试卷 2018 届广西壮族自治区梧州市、柳州市高三摸底调研考试：理数 【题目内容】 在某校组织“歌咏比赛”活动中，甲、乙两班各有 6 名选手参赛，在第一轮唱歌环节 中，评委将他们的得分作为样本数据，绘制成如图所示的茎叶图，如果某位选手的成绩高 于 90 分（不含 90 分） ，则直接“晋级”。 （1）计算甲、乙两班参赛选手第一轮得分的平均分及方差，并说明哪班 6 名选手整体发 挥得较好。 （2）若主持人从甲乙两班选手中分别随机抽取 2 个，记抽取到“晋级”选手的总人数为 ? ，求 ? 的分布列及数学期望。 例 4（2018 届河北省衡水中学高三上学期第七次调研考试：理数） 【所属试卷】 Tarzan 试卷 2018 届河北省衡水中学高三上学期第七次调研考试：理数 【题目内容】 某保险公司针对企业职工推出一款意外保险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后 可一次性获赔 50 万元。保险公司把职工从事的所有岗位共分为 ? ， ? ， ? 三类工 种，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率） 。 （1）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的 20% ，试分别确定各类 工种每份保单保费的上限。 （2）某企业共有职工 20000 人，从事三类工种的人数分布比例如图所示，老板准备为全 体职工购买此种保险，并以（1）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易 中的期望利润。 例 5（2018 届四川省成都市高三摸底测试：理数） 【所属试卷】 Tarzan 试卷 2018 届四川省成都市高三摸底测试：理数 【题目内容】 某医疗科研项目对 5 只实验小白鼠体内 ? ， ? 两项指标数据进行收集和分析，得到的 数据如表所示。 （1）若通过数据分析，得知 ? 项指标数据与 ? 项指标数据具有线性相关关系。试根据 上表，求 ? 项指标数据 ? 关于 ? 项指标数据 ? 的线性回归方程 ? = ? ? ? ? 。 （2）现要从这 5 只小白鼠中随机抽取 3 只，求其中至少有一只 ? 项指标数据高于 3 的概率。 参考公式： ， ? = ? ? ? ? 。 例 6（2017 届河北省邯郸市高三上学期质量检测试卷：理数） 【所属试卷】 Tarzan 试卷 2017 届河北省邯郸市高三上学期质量检测试卷：理数 【题目内容】 （本小题满分 12 分） 已知某企业近 3 年的前 7 个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示： （1）试问这 3 年的前 7 个月中哪个月的平均利润最高？ （2）通过计算判断这 3 年的前 7 个月的总利润的发展趋势； （3）试以第 3 年的前 4 个月的数据（如下表） ，用线性回归的拟合模式估测第 3 年 8 月份的利润。 相关公式： ， ? = ? ? ? ? 。 例 7（2018 届广东省佛山市高三教学质量检测（一） ：理数） 【所属试卷】 Tarzan 试卷 2018 届广东省佛山市高三教学质量检测（一） ：理数 【题目内容】 有甲乙两家公司都愿意用某求职者，这两家公司的具体聘用信息如下： （1）根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由。 （2）某课外实习作业小组调查了 1000 名职场人士，就选择这两家公司的意愿做了统 计，得到以下数据分布： 若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的 ? 的观测值为 ? 5.5513 。请用 统计学知识分析：选择意愿与年龄变量和性别变量中哪一个关联性更大？ 附： ?= ?(?)? (?)(?)(?)(?) 例 8（2018 届四川省内江市高三第一次模拟考试：理数） 【所属试卷】 Tarzan 试卷 2018 届四川省内江市高三第一次模拟考试：理数 【题目内容】 某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两 套设备生产的大量产品中各抽取了 50 件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项指 标值落在 ?100,120) 内，则为合格品，否则为不合格品。表 1 是甲套设备的样本的频率 分布表，图 1 是乙套设备的样本的频率分布直方图。 表 1 ：甲套设备的样本的频数分布表 图 1 ：乙套设备的样本的频率分布直方图 （1）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 90% 的把握认为该企业生产的这种产品 的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关； （2）根据表 1 和图 1 ，对两套设备的优劣进行比较； （3）将频率视为概率。若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取 3 件产品，记抽到的 不合格品的个数为 ? ，求 ? 的期望 ?(?) 。 附： ?= ?(?)? (?)(?)(?)(?) 【知识讲解】 未设置知识点 【典型例题】 例 9（2017 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷） ：理数） 【所属试卷】 Tarzan 试卷 2017 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷） ：理数 【题目内容】 （12 分） 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位： kg ） ，其频率分布直方图如图所示。 （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 ? 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg ，新养殖法的箱产量不低于 50kg ”，估计 ? 的概率； （2）填写如表所示列联表，并根据列联表判断是否有 99% 的把握认为箱产量与养殖方法 有关： （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01 ） 。 附： ?= ?(?)? (?)(?)(?)(?) 。 例 10（2017 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷） ：理数） 【所属试卷】 Tarzan 试卷 2017 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷） ：理数 【题目内容】 （12 分） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零 件，并测量其尺寸（单位： cm ） ，根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下 生产的零件的尺寸服从正态分布 ?(?,?) 。 （1）假设生产状态正常，记 ? 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 (? ? 3?,? ? 3?) 之外的零件数，求 ?(? 1) 及 ? 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 (? ? 3?,? ? 3?) 之外的零件，就认为这条 生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查。 （i）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ii）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 经计算得 ? = ? ? ? ? ?= 9.97 ， ? = ? ? ? ? ? (? ?)? = ? ? ? ( ? ? ? ? ? 16?) ? 0.212 ，其中 ? 为抽取的第 ? 个零件的尺寸， ? = 1,2,16 。 用样本平均数 ? 作为 ? 的估计值 ? ，用样本标准差 ? 作为 ? 的估计值 ? ， 利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 (? ? 3? ,? ? 3? ) 之外的数据， 用剩下的数据估计 ? 和 ? （精确到 0.01 ） 。 附：若随机变量 ? 服从正态分布 ?(?,?) ，则 ?(? ? 3? ? ? ? 3?) = 0.997 4 ， 0.997 4? 0.959 2 ， 0.008 ? 0.09 。 例 11（2016 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷） ：理数） 【所属试卷】 Tarzan 试卷 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷） ：理数 【题目内容】 （本小题满分 12 分） 某险种的基本保费为 ? （单位：元） ，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年 度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： （1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； （2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60% 的概率； （3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值。 例 12（2016 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷） ：理数） 【所属试卷】 Tarzan 试卷 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷） ：理数 【题目内容】 （本小题满分 12 分） 某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购买 机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元。在机器使用期间，如果备件不 足再购买，则每个 500 元。现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集 并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率， 记 ? 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， ? 表示购买 2 台机器的同时购买的 易损零件数。 （1）求 ? 的分布列； （2）若要求 ?(? ?) 0.5 ，确定 ? 的最小值； （3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 ? = 19 和 ? = 20 之中选其一， 应选用哪个？ 例 13（2018 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷） ：理数） 【所属试卷】 Tarzan 试卷 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷） ：理数 【题目内容】 （12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产 品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取 20 件作 检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验。设每件产品为不合格品的概率 都为 ? （ 0 ? 1 ） ，且各件产品是否为不合格品相互独立。 （1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ?(?) ，求 ?(?) 的最大值点 ? 。 （2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 ? 作为 ? 的值。已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每 件不合格品支付 25 元的赔偿费用。 （ i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ? ， 求 ?(?) ； （ ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作 检验？ 例 14（2018 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） ：理数） 【所属试卷】 Tarzan 试卷 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） ：理数 【题目内容】 （本小题满分 13 分） 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24 ， 16 ， 16 。现采用分层抽样的 方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查。 （1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （2）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足， 3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人 做进一步的身体检查。 用 ? 表示抽取的 3 人中睡眠不足 的员工人数，求随机变量 ? 的分布列与数学期望； 设 ? 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 ? 发生的概率。 答案 【典型例题】 例 1 【答案】 （）电影公司收集的电影总部数为 （部） ， 获得好评的第四类电影有 （部） ， 所以随机选取 1 部电影，是获得好评的第四类电影的概率为 。 （）第四类电影获得好评的有 （部） ， 第五类电影获得好评的有 （部） 。 设事件 ? ：恰有一部获得好评， 所以 ?(?) = 。 （）由两点分布方差公式可知， ， 所以 ， ， ， ， ， ， 所以 。 【解析】 本题主要考查事件与概率。 （）求出收集的总电影部数以及第四类电影中获得好评的部数，即可求得随机 1 部电 影，是获得好评的第四类电影的概率为 。 （）求出第四类与第五类获得好评的电影数，计算选取“一部获得好评的第四类电影和 一部未获取好评的第五类电影”与选取“一部获得好评的第五类电影和一部未获得好评的 第四类电影”的概率，即为恰好抽得有一部电影获得好评的概率。 （）由两点分布方差公式可知， ，可求得 。 【备注】 无 例 2 【答案】 （1）由频率分布直方图可知，日销售量不低于 8 吨的频率为： ， 1 分 记未来 3 天内，第 ? 天日销售量不低于 8 吨为事件 ? （ ? = 1,2,3 ） ，则 ， 2 分 未来 3 天内，连续 2 天日销售不低于 8 吨，另一天日销量低于 8 吨包含两个互斥事件 和 ， 3 分 则： 4 分 。 6 分 （2） ? 的可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ，且 ， ，（7 分） ，（8 分） ，（9 分） ，（10 分） 所以 ? 的分布列为 11 分 所以 。 12 分 【解析】 本题主要考查随机变量及其分布。 （1）由频率分布直方图，得到日销售量不低于 8 吨的频率为 0.4 ，记未来 3 天内，第 ? 天日销售量不低于 8 吨为事件 ? （ ? = 1,2,3 ） ，则 ，未来 3 天内，连 续 2 天日销售不低于 8 吨，另一天日销量低于 8 吨包含两个互斥事件 和 ，由此能求出未来 3 天内，连续 2 天日销售不低于 8 吨，另一天日销量低于 8 吨的概率； （2）由题意，得 ? 的可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ，分别求出相应的概率，由此能求 出随机变量 ? 的分布列及期望。 【备注】 无 例 3 【答案】 （1）甲班 6 名选手得分的平均分 = ? ?(85 ? 89 ? 90 ? 91 ? 92 ? 93) = 90 ， 方差 ?甲 ? = ? ?(25 ? 1 ? 0 ? 1 ? 4 ? 9) ? 6.67 。 乙班 6 名选手得分的平均分 ?乙= ? ?(82 ? 86 ? 92 ? 91 ? 94 ? 95) = 90 ， 方差 ?乙 ? = ? ?(64 ? 16 ? 4 ? 1 ? 16 ? 25) = 21 。 因为 ?甲= ?乙 ， ?甲 ? ?乙 ? ， 所以甲班 6 名选手发挥得较好。 （2） ? 的可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， ?(? = 0) = ? ? ? ?= ? ? ， ?(? = 1) = ? ? ? ? = ? ? ， ?(? = 2) = ? ? ? ? = ? ? ， ?(? = 3) = ? ? ? ? = ? ? ， ?(? = 4) = ? ? ? ? = ? ? 。 所以 ? 的分布列如下， ?(?) = 0 ? ? ? ? 1 ? ? ? ?2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ?4 ? ? ? = ? ? 。 【解析】 本题主要考查随机变量及其分布。 （1）根据茎叶图所给数据分别计算两组选手得分的平均值和方差，计算得两组选手得分的 平均值相等，但甲班得分的方差较小，所以甲班选手发挥得更好。 （2）由题知甲、乙两组各有“晋级”选手 3 名、 4 名，则各抽取 2 名选手，抽到的 “晋级”选手的人数可能为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，计算各种可能的概率得到随机变 量 ? 的分布列以及期望。 【备注】 无 例 4 【答案】 （1）由题意，保费 ? 元与保单的期望利润 ?(?) 元的关系为： ?(1 ? ?赔付) ? (? ? 500000)?赔付= ?(?) ， 则分别设 ? 、 ? 、 ? 三类工种的保费上限分别为 ? ， ? ， ? 元。则可得： ? ?(1 ? ? ?) ? (? ? 500000) ? ? ? = 0.2? ?(1 ? ? ?) ? (? ? 500000) ? ? ? = 0.2? ?(1 ? ? ?) ? (? ? 500000) ? ? ? = 0.2? ， 解得 ? ? = 6.25 ? = 12.5 ? = 62.5 。 故 ? 、 ? 、 ? 三类工种的保费上限分别为 6.25 元， 12.5 元， 62.5 元。 （2）若按（1）中计算的各类上限购买： 则保险公司获得期望利润为所售出保险总价格的 20% ， 该企业购买保险需花费： 20000 ? 60% ? 6.25 ?20000 ? 30% ? 12.5 ?20000 ? 10% ? 62.5 = 275000 （元） 。 故保险公司获得期望利润为： 275000 ? 20% = 55000 （元） 即保险公司在这宗交易中的期望利润为 55000 元。 【解析】 本题主要考查随机变量及其分布和用样本估计总体。 （1）根据赔付概率可以列出保费与获利期望之间的关系式，当获利最大时为保费的 20% ，利用此关系设保费为未知数代入求解即可。 （2）若按（1）中计算的各类上限购买，则保险公司获得期望利润为所售出保险总价格的 20% 。此时计算总保费，乘以 20% 即可。 【备注】 无 例 5 【答案】 （1）由题意可知 ? = ? ? = 7 ， ? = ? ? = 3 ， 又因为 ? ? ?= 5 ? 2 ? 7 ? 2 ? 6 ? 3 ?9 ? 4 ? 8 ? 4 = 110 ， ? ? ? ? = 5? ? 7? 6? 9? 8? = 255 ， 所以 ， 又因为 ? = ? ? ? ? = 3 ? ? ? ? 7 = ? ? ? ， 所以所求线性回归方程为 ? = ? ? ? ? ? 。 （2）记这 3 只小白鼠中至少有一只 ? 项指标高于 3 为事件 ? ， 记这 3 只小白鼠中没有一只 ? 项指标高于 3 为事件 ? ， 事件 ? 和事件 ? 互为对立事件， 由表中数据可知事件 ? 仅有一种可能，即抽取 1 号小白鼠、 2 号小白鼠和 3 号小白 鼠， 所以 ?(?) = ? ? ? ?= ? ? ， 所以 ?(?) = 1 ? ? ? = ? ? ， 所以这 3 只小白鼠中至少有一只 ? 项指标高于 3 的概率为 ? ? 。 【解析】 本题主要考查事件与概率、排列与组合以及统计案例 。 （1）根据参考公式代入数值计算即可。 （2）运用组合的思想，先求出 3 只小白鼠中没有一只 ? 项指标高于 3 的可能，和取出 3 只小白鼠的所有情况，根据古典概型概率公式求出其概率，然后根据对立事件的概率和 为 1 即可得到所求。 【备注】 无 例 6 【答案】 （1）由折线图可知 5 月的平均利润为： ? ? = 6 （百万元） ， 6 月的平均利润为： ? ? = 6 （百万元） ， 7 月的平均利润为： ? ? = ? ? 6 （百万元） ，故 5 月和 6 月的平均利润最高； （2）第 1 年前 7 个月的总利润为 1 ? 2 ? 3 ? 5 ? 6 ? 7 ? 4 = 28 （百万元） ； 第 2 年前 7 个月的总利润为 2 ? 5 ? 5 ? 4 ? 5 ? 5 ? 5 = 31 （百万元） ； 第 3 年前 7 个月的总利润为 4 ? 4 ? 6 ? 6 ? 7 ? 6 ? 8 = 41 （百万元） ，所以这 3 年 的前 7 个月的总利润呈上升趋势； （3）因为 ? = 2.5 ， ? = 5 ， 1? 2? 3? 4?= 30 ， 1 ? 4 ? 2 ? 4 ? 3 ? 6 ? 4 ? 6 = 54 ，所以 ? = ?.? ?.? = 0.8 ， ? = 5 ? 2.5 ? 0.8 = 3 ，所以回归方程为 ? = 0.8? ? 3 ，当 ? = 8 时， ? = 0.8 ? 8 ? 3 = 9.4 （百万元） ，所以估计 8 月份的利润为 940 万元。 【解析】 本题主要考查统计案例。 （1）由折线图，通过计算可得； （2）分别计算出第 1 、 2 、 3 年前七个月的总利润，由计算结果即可分析趋势； （3）由题意将数据代入公式，列出回归方程求解即可。 【备注】 无 例 7 【答案】 （1）设甲、乙两公司的月薪分别为随机变量 ? ， ? ， 则 ?(?) = 6000 ? 0.4 ? 7000 ? 0.3 ?8000 ? 0.2 ? 9000 ? 0.1 = 7000 ， ?(?) = 5000 ? 0.4 ? 7000 ? 0.3 ? 9000 ? 0.2 ?11000 ? 0.1 = 7000 ， ?(?) = (6000 ? 7000)? 0.4 ? (8000 ? 7000)? 0.2 ?(9000 ? 7000)? 0.1 = 1000? ， ?(?) = (5000 ? 7000)? 0.4 ? (9000 ? 7000)? 0.2 ?(11000 ? 7000)? 0.1 = 2000? ， 即 ?(?) = ?(?) ， ?(?) ?(?) ，说明甲乙两家公司的期望月薪相同，甲公司不同职位 月薪相对集中，乙公司不同职位月薪相对分散，我希望不同职位的月薪差异小一些，因而 选择甲公司（或者我希望不同职位的月薪差异大一些，因而选择乙公司） 。 （2）因为 ? 5.5513 ? 5.024 ，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结 论犯错的概率的上限是 0.025 。 由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的 2 ? 2 列联表： 计算 ?= ?(?)? ? = ? ? ? 6.734 ， 查表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错概率上限为 0.01 ， 由 0.01 0.025 ，所以与年龄变量相比，选择意愿与性别变量关联性更大。 【解析】 本题主要考查变量的相关性和随机变量及其分布。 （1）通过求出离散型随机变量的数字特征来比较甲、乙两公司的薪资情况，从而做出判 断。 （2）通过计算相关系数，然后查表得出犯错概率上限，从而做出判断。 【备注】 无 例 8 【答案】 （1）根据题目所给的指标值落在 ?100,120) 内的产品视为合格，可得到： 甲套设备的合格品数为 4 ? 19 ? 20 ? 5 = 48 甲套设备的不合格品数为 50 ? 48 = 2 乙套设备的合格品数为 (0.036 ? 0.044 ? 0.056 ? 0.036) ? 5 ? 50 乙套设备的不合格品数为 50 ? 43 = 7 即可将题中的直方图和表格转化成如下表格： 将上述表格的数据代入题中所给的 ? 的公式，得到： ?= ?(?)? ? ? 3.053 ， 因为 3.053 ? 2.706 ，所以有 90% 的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选 择有关。 （2）根据图 1 和表 1 中的数据， 甲套设备生产的合格品的概率约为 ? ? ， 乙套设备生产的合格品的概率约为 ? ? ， 甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在 ?105,115) 之间，乙套设备生产的产品的质 量指标值与甲套设备相比较为分散。因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高， 且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备。 （3）由表 1 可知，甲产品不合格的概率为 ? ? = ? ? ， 从大量产品中随机抽取 3 件产品， ? 服从二项分布： ? ?(3, ? ?) ， 由二项分布的期望公式 ?(?) = ? 可知， ?(?) = 3 ? ? ? = ? ? 。 【解析】 本题主要考查随机抽样、古典概型以及随机变量及其分布。 （1）由图 1 、表 1 的数据可以直接加减得到甲、乙合格和不合格的产品数量，将表格 的数据代入 ? 的公式，比较 ? 和 ? 的值从而的得到结论。 （2）根据图 1 和表 1 中的数据，分别求出甲、乙的合格品率，再比较合格品率大小以 及各区间产品分布情况即可。 （3）求出抽到不合格产品的概率，确定随机变量 ? 的分布类型为二项分布，根据二项分 布的期望公式代入数据即可求出期望。 【备注】 无 【典型例题】 例 9 【答案】 （1）设 ? 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg ”， ? 表示事件“新养殖法的箱产 量不低于 50kg ”，由已知的频率直方图得： ?(?) = (0.040 ? 0.034 ? 0.024 ?0.014 ? 0.012) ? 5 = 0.62 ， ?(?) = (0.068 ? 0.046 ?0.010 ? 0.008) ? 5 = 0.66 ，因为两事件 是相互独立的，所以 ?(?) = ?(?)?(?) = 0.62 ? 0.66 = 0.4092 。 （2）由（1）可填写列联表如表所示。 由上表可得， ? = ?(?)? (?)(?)(?)(?) ? 15.705 ，因为 15.705 ? 6.635 ， 所以有 99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关。 （3）由图可知，中位数位于 50 55 kg 之间，首先计算小于 50 kg 之前的频率为： (0.004 ? 0.020 ? 0.044) ? 5 = 0.340 ，设中位数为 ?kg ，则 (? ? 50) ? 0.068 = 0.5 ? 0.340 = 0.16 ，解之得： ? = 52.35 。 【解析】 本题主要考查事件与概率及统计案例。 （1）根据旧养殖法的频率分布直方图即可计算出事件概率； （2）根据图中数据填写列联表，求出 ? 的值，再与 99% 的把握对应的数值 6.635 比 较大小，得出是否有 99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关的结论即可； （3）首先计算判断得到中位数所在区间，再根据中位数左右两边直方图的面积相等，列出 方程即可。 【备注】 无 例 10 【答案】 （1）根据题意，可知， ? 服从二项分布，即 ? ?(?,?) ，其中 ? = 1 ? 0.997 4 = 0.002 6 ， ? = 16 ，因此 ?(? 1) = 1 ? ?(? = 0) = 1 ? 0.997 4? 0.040 8 ， ?(?) = ? = 16 ? 0.002 6 = 0.041 6 。 （2） （i）出现尺寸在 (? ? 3?,? ? 3?) 之外的零件的概率为 0.040 8 ，如此小的概率在 一次实验中发生了，有理由相信出现了异常情况。 （ii） ? ? 3? = 9.97 ? 3 ? 0.212 = 9.334 ? ? 3? = 9.97 ? 3 ? 0.212 = 10.606 (? ? 3?，? ? 3?) = (9.334，10.606) 因为 9.22 (9.334,10.606) 所以需要对当天的生产过程检查。 ? ? 3? = 9.97 ? 0.636 = 9.334 ， ? ? 3? = 9.97 ? 0.636 = 10.606 ，剔除 9.22 ，剔除 后 ? = ?.?.? ? = 10.02 ， ? ? ? ? = 0.212? 16 ? 16? 1591.13 ? = ?.?.? ?.? ? ? 0.09 【解析】 本题主要考查随机变量及其分布。 （1）根据题意 ?(? ? 3? ? ? ? 3?) = 0.997 4 可得 ?(? = 0) = 0.997 4? 0.959 2 ，即可求出 ?(? 1) = 1 ? ?(? = 0) = 1 ? 0.997 4? 0.040 8 ，分析可知 ? ?(16,0.002 6) ，利用二项分布的性质即可得到期望。 （2） （i）正态总体几乎总取值于 (? ? 3?,? ? 3?) 之间，落在该区间外的概率只有 0.002 6 ，通常认为这种情况在一次实验中几乎不可能发生。利用小概率在一次实验中很 难发生可以判定生产过程出现了异常状况。 （ii）由题意计算出 (? ? 3? ,? ? 3? ) ，剔除范围外的数据，重新根据公式计算 ? 和 ? 即可。 【备注】 无 例 11 【答案】 （1）设出险次数为事件 ? ，一续保人本年度的保费为事件 ? ，则续保人本年度保费高 于基本保费为事件 ? ，则 ?(?) = ?(? ? ?) 。 = 0.20 ? 0.20 ? 0.10 ? 0.05 = 0.55 ； （2）设保费比基本保费高出 60% 为事件 ? ， 则 ?(?|?) = ?(?) ?(?) = ?(?)?(?) ?(?) = ?.?.? ?.? = ? ? ； （3）平均保费 ?(?) = 0.85? ? 0.3 ? 0.15? ? 0.2 ? 1.25? ? 0.2 ? 1.5? ?0.1 ? 1.75? ? 2? ? 0.05 = 1.23? ，因为基本保费为 ? ，所以平均保费与基本保费的比值为 1.23 。 【解析】 本题主要考查事件与概率。 （1）将本年度保费高于基本保费 ? 的所有事件的概率相加； （2）利用条件概率公式求解； （3）求出续保人本年度保费的期望与基本保费的比值即可。 【备注】 无 例 12 【答案】 （1）由题意知， 1 台机器更换的易损零件数为 8 ， 9 ， 10 ， 11 的概率分别为 ? ? ， ? ? ， ? ? ， ? ? ，且 ? 的可能取值为 16 ， 17 ， 18 ， 19 ， 20 ， 21 ， 22 ，所以 ?(? = 16) = ?(8,8) = ? ? ? ? ? = ? ? ； ?(? = 17) = ?(8,9) ? ?(9,8) = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ； ?(? = 18) = ?(8,10) ? ?(10,8) ? ?(9,9) = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ； ?(? = 19) = ?(8,11) ? ?(11,8) ? ?(9,10) ? ?(10,9) = 2 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? = ? ? ； ?(? = 20) = ?(9,11) ? ?(11,9) ? ?(10,10)