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Cauchy收敛原理“单调有界数列必有极限。”与“夹逼定理：设有三个数列满足，且，则。”给出了数列收敛的充分条件而不是必要条件，经过许多数学家的努力，终于由法国数学家Cauchy获得了完善的结论Cauchy收敛原理，它从数列本身找到了能够判断数列收敛性的充分必要条件。 定理5 （Cauchy收敛原理）数列收敛的充分必要条件是：对任意的，都存在正整数，当时，有 证明 必要性：设，则对，存在正整数，当时，有 从而当时，有 必要性得证。充分性先证明数列有界。取，由题设，必存在正整数，当时，有 因而当时，有当令，数列有界。由致密性定理，数列存在收敛的子列，设，即对，存在正整数，当时，有令。则，且，故当时，有，从而 即 充分性得证。例4 设，求。解 明显，故由递推公式及，有 （361） 这里。对，由（361）式，有要使，只须取，当时，成立。由Cauchy收敛原理知，数列收敛。不妨设，则 即，解之得，由题意知，故。因此 Cauchy收敛原理说明：若数列收敛，则对任意，必存在正整数，在这一项以后的任意两项之差的绝对值小于。反过来，如果对任意的正整数，在这一项以后存在两项，他们之差的绝对值大于某个常数，则可判定该数列发散。例5 设，证明数列发散。证明 对任意正整数，令，有 因此，取，则对任意的正整数，都存在大于的正整数，有由Cauchy收敛原理知，数列发散。习 题 1 设，证明数列发散。2 利用柯西收敛原理分析下列数列的收敛性。 （1）； （2） （3）
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