高三数学同步辅导教材(第10讲)

高三数学总复习教程（第10讲）一、本讲内容 等差数列 等比数列本讲进度：数列的概念，分类、表达、两种重要数列：等差数列与等比数列的定义，通项，前n项和、性质等。二、学习指导数列的特点是“有序”，数列的实质是函数定义域为N*或1，2，3，n的函数，故按定义域，数列分为有穷数列与无穷数列；按值域，数列分为有界数列与无界数列；按取值变化情况，分为常数列，单调数列，摆动数列，周期数列。数列的表达式一一顺序列出（也可用图、表）在可能的情况下，还可用通项公式或递推式（须加初始条件）表示，高中阶段接触的大都是后者。等差数列与等比数列是两个基础性的数列，对它们的定义、性质、公式，建议同学们进行对比性地理解和记忆，常数列必为 等差数列（公差d=0），非零常数列必同时也是等比数列（公比q=1），反之亦然，对等比数列求和。切记要分为q=1与q1两种情况，等比数列的公比q及任意一项均不能为零。任意两个数都有等差中项，而且是唯一的；在实数范围内，同号的两个数才有等比化中项，且为一对相反数，在实数范围内，等比数列的各奇数项符号相同，各偶数项符号相同。要注意可以化为等差，等比数列的转化技巧。三、典型例题讲评例1是否存在公差不为零的等左数列a2，使对任意正整数n，为常数？若存在，示出这个数列；若不存在，说明理由。存在性问题，往往先假设它存在，根据题设条件列式，若据此能求出欲求，则“事实胜于雄辩”不仅证明了“存在”，还解决了“是什么”；若据此推得矛盾，则说明假设错误，从而证明了“不存在”。若存在，记首项为a1，公差为d(0) ，据题设，应有A=要与n无关，应有2= 4(1)，求得a1=，说明存在。例2三个实数10a2+81a+207，a+2，262a经适当排列，它们的常用对数值构成公差为1的等差数列。求a的值。先扫清外围：证明三个数的常用对数构成公差为1的等差数列，它们本身必构成公比为10的等比数列。再考虑“适当排序”。（10a2+81a+207）（a+2）=10a2+80a+205=10(a+4)2+450，（10a2+81a+207）(262a)=10a2+83a+181=10(a+)2+0，故10a2+81a+207为最大项，又由各项为正数知a(2，13) 故10a2+81a+207=10(a+2)=100(262a)或10a2+81a+207=10(262a)=100(a+2)解出即可。例3数列a2的前n项之和为Sn，对任意正整数n，有an+Sn=n，数列bn中，b1=a1，bn+1=an+1an，求bn前n项之和Pn及通项bn。an与Sn间的关系要牢记：an= 由此我们不难得出a1=,an+1=an+至此，我们要把它与等比数列挂钩，有两种选择：（1）两边同减1： an+11=(an1) （此处1可用待定系数法确定），从而说明an1，（此外1可用待定系数法确定），从而说明an1构成以，且an=an1+，两式相减，得an+1an=(anan1)，说明了差数列构成公比为的等比数列。 例4已右曲线xy2kx+k2=0与xy+8=0有且只有一个为共点，数列an中，a1=2k，n2时，an1，an均在曲线xy2kx+k2=0上，数列bn中，bn=. （1）求证：bn是等差数列；（2）求an先由方程组解唯一，求出k与a1，再由逆推式an1an2kan1+k=0推及bn成等差，进而求出an，在对an1an4an1+4=0变化时，应把目标紧紧盯在an2，an12上。例5已知递增的等比数列an前三项之积为512，它们分别减去1，3，9后，又构成等差数列，则+1. 先由题设条件求出an，而+可看作等差数列，1，2，n与等比数列，对应项相来得到的新数列，要求它的前n项之和，一般把和式两边同来以公比q（或），错位相减（目的是列出“等比数列求和”）从而求出这个和。例6某企业在年初创办时投入资金1000万元，年资金增长率为50%，但每年年终要扣除消费基金x万元，其余校入再生产，要想经过5年扣除其金后的资金达到2000万元，消费基金x最多为多少万元（精确到万元）？写出递推式，并把递推式改造为等比数列是这一类问题的通常解法，如本题中，第一年底记为a1，则a1=10001.5x，an+1=1.5anx，进而写为an+12x=1.5(an2x)四、巩固练习1数列an中，a1=3，对一切正整数n，关于x的方程anx22an+1x+1=0的两实数、都是满足(1)(1)=2（1）求证：数列an是等比数列；（2）求数列an的通项公式。2已知数列an是各项均为正数的等比数列，bn=lga1+lga2+lgan1+lg(kan)，问是否存在正数k，使bn是等差数列？若存在，求出这样的k，若不存在，说明理由。3设数列an前n项和Sn= 4ana1n（1）求an+1与an的关系（2）求通项an4Sn为数列a2的前n项之和，a1=3，2an=SnSn1（a2）（1）求证：是等差数列，并求出公差。（2）求an的通项公式（3）是否存在正整数k，使akak+1，ak+1ak+2，都成立（亦即从从第k项起单调递减）？若存在，求出最小的k值，若不存在，说明理由。5等差数列an与bn的前n项和分别记为Sn、Tn.（1）若=，求；（2）若=，求.6是否存在常数k和等差数列an，使得ka1=S2nSn+1，对任意正整数n都成立？7已知数列an是等差数列，bn是等比数列，且a1=b1=1，a2+a4=b3，b2b4=a3，Cn=anbn，求an前n项之和8一个水池有几个相同的进水龙头，如果全部打开，24分钟可注满水池；如果开始到此时所用的时间，恰为关闭第一个水龙头所用时间的5倍，问整个过程一共花费了多长时间？9等比数列an的各项均为正数，Sn为其前n项之和.（1）求证：lgSn+1.（2）是否存在正的常数C，使=lg(Sn+1C)成立？证明你的结论。10招来20名新工人，随着对工作熟练程度的提高，从第二周起每周工效都比前一周提高10%，但由于各种原因，每周减员1人。（1）第几周他们完成的周工作量最大？（2）他们总共完成了多少工作量？（以招工后第一周每人每周工作量为1计算）11已知等比数列an的公比q1，且a=a15，且前n项之和为Sn，前n项倒数之和为Tn，求满足SnTn的最小正整数n。12等差数列an不是常数列，从中抽取一些项，按它们原先的相对顺序排列的新数列ak1，ak2，akn，构成等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17。（1）求的公比q；（2）记kn=f(n)，求f(n)的解析式。参考答案1由已知(+)=1，即=1，即an+1=an+，亦即an+1=(an)，又a1=0 an是首次，公比的等比数列.an=()n1，an=+()n12bn=lg(ka1a2an)= lglkaq=+lga1+(n1) .故存在k=1，使bn=lga1+(n1) ，从而使bn构成首项lga1，公差的等差数列.3Sn+1=4an+12n，Sn=4ana1n，两式相减，有an+1= 4an+14an+，即3an+1= 4an2n+1an+1=(2nam). （2n+1an+1）=(2nan)，说明2nan构成首项，2a1，公比的等比数列，而S1=a1= 4a11，a1= 2nan=()()n1.an=21n+()n4（1）当n2时，2(SnSn1)=SnSn1，即=.构成首次，公差的等差数列.（2）=， Sn=.当n2时，an=SnSn1=. 当n取值1时，值恰为3=a=1an=.（3）令. k(，)（，+）要从k项后这样的式子都成立，k，又kN+ k3，最小的k为3.5（1）=（2）由知=，=6若存在，则有ka1+(n1)d21=2na1+d(n+1)a1+dkd2n2+2kd(a1d)n+k(a1d)21=dn2+(a1)na1 kd2=d 2kd(a1d)=a1 k(a1d)21=a1 由，d=0，或kd=.若d=0. 则、式即a1=0，ka121=a1，两式矛盾，若kd=，则即a1=d0，即k(d)21=d，d1=d. d=1. d=. a1=. k=.7由已知，a3=b2b4=b=(a2+a4)2= 4a. 又a3=b2b40. 故a3=. d=. an=+(n3)()=. 此时, b3=2a3=. q=. bn=()1nCn=()1n当q=时，Sn=1+()n1 Sn=+()n2 (1)Sn=(1+()n2)()n1 =()n1 Sn=+()n1类似地可求及当q=时，Sn=1+()n1Sn=+()n1)Sn=4+(20233(1)n) ()n18从开始到最后所用时间为关闭第一个所用时间的5倍，故进水龙头的人数为5，每个水龙头十分钟可注水池容量的：(5+4+3+2+1)=1，t=8，总共用了40分钟9（1）原不等式等价于SnSn+2S若公式q=1，则即证na1(n+z)a1(n+1)2a，左右=a0；原不等式成立；若q0且q1，则即证亦即(qn1)(qn+21)(qn+11)2左右=2qn+1qnqn+2=qn(q1)20，原不等式成立。（2）若存在这样的C， 则SnC0，（nN+）且(SnC)(Sn+2C)=(Sn+1C)2. SnSn+2S2n+1+C(2Sn+1SnSn+2)=0。若q=1，则n(n+2)a12(n+1)2a12+C2(n+1)a1na1(n+2)a1=0即a12=0，a1=0，C0，从而S1C0，不合题意，若q1，则+C2=0，亦即a12(2qn+1qnqn+2)+a1C(q1)2qn+1qnqn+2=0，a1qn(q1)2a1+C(q1)=0 a1qn(q1)20，C=，此时SnC=0 （C0，q1亦不合题意这样的正数C不存在。10第k周完成的工作量为ak=20(k1)1.1k1。 （k1，2，20）当n2时，=令1，有k11，a11=a10=101.110最大。S=20+191.1+181.12+11.1191.1S= 201.1+191.12+21.119+1.120两式相减，0.1S=20+1.1+1.12+1.119+1.120 =20+=101.12131 S=1001.121310答：第十、十一两周完成工作量最大，他们共完成工作量为1001.12131011由已知，a=a15=a10q5， a10=q5， an=a10qn10=qn5。Sn=，Tn=，令SaTn. 解得qn91。n9，n最小值为1012由已知a=a1a17，即(a1+4d)2=a1(a1+16d)。 又d0，故a1=2d， an=(n+1)d，q=3.是原数列的第kn项，是新数列的第n项，故=(kn+1)d=2d3n1，f(n)=kn=23n11.六、附录例1若这样的等差数列存在，记首项为a1，公差d0，则有A=.需为与n无关的常数，须2= 4()，解得a1=，此时A=，满足题设条件.a2：an=(2n1)d （d0）例2若lgb=lga+1，则b=10a，故知x适当排序后三数应成公比为10的等比数列。又因（10a2+81a+201）(a+2)=10(a+4)2+450及(10a2+81a+201)(26a)=10(a+)2+0，知10a2+81a+201为最大数故10a2+81a+201=10(a+2)=100(262a)0或10a2+81a+201=10(262a)=100(a+2)0分别解得a 及a=a=例3当n=1时，a1=S1，由已知，2a1=1，a1=.当n2时，把an+1+Sn+1=n+1与an+Sn=n两式相减，得an+1=an+ 于是a2=+=，a2a1=.把an+1=an+与an=an1+ （n2）两式相减，得an+1an=(anan1)Pn=b1+(a2a1)+(anan1)=1()n。bn= 即bn=()n也可由式得an+11=(an1)，又a11= an1构成首项，公比之等比数列，an=1+()()n1=1()nPn=(anan1)+(an2an3)+(a2a1)+a1=an=1()n从而bn n=1 PnPn1=()n n2， 即bn=()n.例4 消去y，x2+(82k)x+k2=0有且只有一个解，=(82k)24k