高三数学同步辅导教材(第13讲)

高三数学总复习教程（第13讲）一、本讲内容 三角函数式的恒等变形本讲进度，两角和与差的三角函数，倍角公式及相应变形要熟记并灵活运用，半角公式和差化积，积化和差等公式，来作为公式出现，不要求记忆，也应有所涉猎，三角函数的应用问题。二、学习指导本讲公式较多，应搞清它们的来龙去脉和相互关系，以便于记忆和应用。 本讲的基础是两角和的余弦公式，在坐标平面的单位图中，利用+=()，从而使（0，0）与（cos(+)，sin(+)）两点间距离等于（cos，sin）与(cos()，sin()两点距离，推导而得，以代，即得两角差的余弦公式：利用诱导公式及余弦的两角和差公式，即可推出两角和，差的正弦公式；利用商数关系推得两角和、差的正切公式：在和角公式中，令=，即得倍角公式，由余弦的倍角公式，即得半角公式，（半角公式sin2=，cos2=，tan=应加记忆），把两角和、差的公式相加减，即得积化和差公式，在积化和差公式中进行变量代换：=，=，即是和差公积公式，两角和、差公式的另一个重要形式是asinx+bcosx=sin(x+)，其中tan=，（当然，根据需要，也可写为cos(x)的形式）三、典型例题讲评例1讨论函数f(x)=的性质。显然，要先进行化简，而化简过程中要注意“保真”即必须是恒等变形，任何微小差异都必须注明。本题中，角各不相同，（计有x、，+4种之多）函数名称不同。第一步用商数关系进行切、弦互化这一步为恒等变形：f(x)=tan ；第二步，诱导公工化去+x，半角公式，把向x推进：f(x)=.这一步亦为恒等变形，第三步，cos(x)即sinx，约去1sinx，这是否恒等变形？要看原式中sinx对x取值范围没有影响：f(x)=cta2x，至此，问题已大半解决了。例2化简：（1）+.（2）sin(+)cossin(2+)sin.第（1）小题为、的轮换对称式，故抓住一项变形，其余的进行轮换即可.第（2）小题中，把2+及改选为(+)+和(+)，按和角公式展开，问题即没到解决。例3求使f()=+值为4的最小正角.先化简可减少计算量，把1cos写为2sin2，1+cos=2cos2，sin=2sincos 原式可写为cattan原题就成为关于tan的二次方程，另应注意，2+，2分别是tan，tan的值.例4求值：（1） coscoscoscoscos（2）tan(150)tan(750)+tan(150)tan2+tan(750)tan2 本题体现了公式的活用，如第（1）题中cos=，第（2）小题中tan+tan=1tantan，等.例5求值域：（1）y= x0，（2）y=在第（1）小题中，用2yysinx=cosx+1，sin(x+)=2y1，1的办法求y的范围是不可取的。因为x0，故cosx，sinx取值都受限是否取满0，1是有疑问的，我们另辟蹊径：法一，看作(sinx，cosx)与（2，1）两点间连线斜率的取值范围，其中第一点轨道为单位圆的一部分（见图示）法二、记t=tan0，+1则y=，可先求出分取值范围，再求y的范围.在第（2）小题中，可以使用第（1）小题中的法二，也可改写为y=()2+()看作有条件的二次函数的值域.例6是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+a x0，的最大值为1？若存在，求出这个a；若不存在，说明理由. 这是一个关于cosx的二次函数，应根据cosx的取值范围与对称轴的位置关系，讨论其最大值的情况.例7已知cos(+x)=，x(，)，求的值. (，)横跨三、四象限，求x的三角函数值有诸多不便，而(+x)(，2)，故以(+x)为“基本角”较为方便，剩下的工作就是把往(+x) 的这角函数靠拢，切化弦，分子提取2sinx，出现原式=是很自然的，下面就要看你的经验了四、巩固练习1已知sin=，cos=，求cos()2已知tan=，tantan=，求cos()3求证：+=4不查表，求值：5一元二次方程mx2+(2m3)x+(m2)=0的两根为tan和tan，求tan(+)的取值范围.6一扇形半径为1，圆心角为，求其一边在一条半径上的内接矩形的最大面积。又若此矩形以扇形的对称轴为对称轴，则其最大面积是多少？7已知函数f(x)=asinx+bcosx.（1）若f()=，且f(x)的最大值为，求a、b的值；（2）若f()=1，且f(x)的最小值为k，求k的取值范围.8一段直河道宽1km，两岸边各有一镇A、B，已知两地间直线距离为4km，今欲在两镇间敷设电缆，已知陆上修建费用为2万元/km，水下修建费为4万元/km，为何设计，可使工程总费用最低？9已知sinA+sinB=sinC，且cosA+cosB=cosC. 求值：sin2A+sin2B+sin2C10求证：（1）=（2）=.11求证： =.12对于函数f(x)=x2+bx+c，无论、为何值，恒有f(sin)0，f(2+cos)0.（1）求证：b+c=1（2）求证：c 3（3）若f(sin)的最大值为8，求b、c的值.五、参考答案1(，)，(，)，sin=，cos=. (，)，(，)，cos= sin=.Cos()=+=.Cos()=2()21=.2tan(+)= 4， tan+tan= 4(1)=，即coscos=.sinsin=()=.Cos() =.3左=+ = =右4原式= = =.5一元二次方程有实根，解得m(，0).此时，tan(+)=m（，+）6设AOD=，则AD=sinAO=cos，从而OB=BC=AD=sin，矩形面积S=sin(cossin)=sin2(1cos2)=sin(2+)显然(0，)，2+(，)，故当2+=，即=时，矩形面积有最大值.若矩形一条对称轴与扇形的对称轴重合，（如图）记AOE=，则OE=cos，AB=CD=2sin，AD=EF=OEOF=cossincot=cos(+1)sin，矩形面积S=2sincos(+1)sin=sin2(+1)(1cos2)=sin2+arctan(+1)(+1).(0，)，2+arctan(+1)(arctan(+1)，+arctan(+1)而+arctan(+1)，故当=+arctan(+1)时S有最小值(+1).7（1）已知解得或（2）由已知a+b=1 k=8设过河电缆与河岸夹角当，则水中电缆线路长csc，陆上电缆线路长cot，则工程总费用S=2(cot)+4scs=2+2先求（）的取值范围，它是单位圆的同弧上的点与（0，2）连线斜率，取值范围为，故当=600时工程总费用最低，为2+2万元.故水下部为与河岸成600（西北，东南向）且在A、B间即可.9已知两式平方相加有2+2cos(AB)=1，平方相减，有cos2C=cos2A+cos2B+2cos(A+B) =2cos(A+B)cos(AB)+2cos(A+B) =cos(A+B)+2cos(A+B)=cos(A+B)sin2A+sin2B+sin2C=+=cos(A+B)cos(AB)=cos(A+B)()=10即证(1+tanAsecA)(1+tanA+secA)=(secA+tanA1)(secAtanA+1)亦即(1+tanA)2sec2A=sec2A(tanA1)2 2(1+tan2A)=2sec2A此式显然成立，故原式成立.左=右11=两式相减，右=左12（1）要f(2+cos)0恒成立，要f(sin)0恒成立，由上面已知0，故须或， 中f(1)是最小值，故f(1)也0，又由f(1)=0，即b+c=1（2）由9+3(b+c)2C， 即C3（3）C3，即1b3，b4，2，故f(sin)的最大值为f(1)=1b+c=8，与b+c=1联立，解得c=3，b=4. 六、附录 例1f(x)=tan() = =()=cot2x定义域：，值域R，T=，奇函数在（，）（kZ）单调递减.例2（1）=，轮换所得分两式为及显然，它们的和为0（上端打相同点的顶相互抵消） （2）原式sin(+)cossin(+)sin(+)=sin(+)cossin(+)cos+cos(+)sinsin(+)cos+cos(+)sin=sin(+)cos2cos(+)sin=sin(+)=sin例3=cot(k+)，f(0)=(cot+tan) 令f(0)=4，解得tan=2, 的最小正值为，最小正值为.例4（1）cos=.原式=（2）原式=tan(150)tan(750)+tan2a(tan(150)+tan(750)=tan(150)tan(750)+tan2tan(900)1tan(15)tan(750)=tan(150)tan(75)+tan2cot21tan150tan(750)=1例5（1）解法一，设P：(sinx，cosx)（x0，）为单位圆一段弧上的一点（如图）Q：(2，1) k切=，kQB=y，解法二，0，记t=tan0，+1y=，此时t2t+1，3+y，（2）解法一，y为两点P（cos2x，cosx），Q(1，1)两点间连接斜率取值范围，P在抛物线y2=(x+1)，x1，1上，y. 例6记cos=t0，1，则y=t2+