《分离变量》PPT课件

第二章分离变量法,本章重点：,（2）用分离变量法求解各种有界问题；,（3）用分离变量法求解各种有界问题的思路、步骤及其核心问题特征值（本征值或固有值）问题；,（1）用分离变量法又称特征函数展开法，是求解偏微分方程最常用的重要方法；,（5）分析解的物理意义；,（4）理解叠加原理的应用,其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题,二阶常系数微分方程：,特征方程：,根的三种情况：,得常系数微分方程的通解：,直角坐标系中的分离变量法,2.1分离变量法介绍,例1：具体考虑长为l两端固定的均匀弦的自由振动,泛定方程,（2.）,（2.）,初始条件,（2.）,边界条件,【解】,第一步：分离变量,用分离变量法求解定解问题，具体分如下四个步骤：,定解问题的泛定方程变为,偏微分方程分离成两个常微分方程:,(2.4),(2.5),(2.6),否则得零解，对于齐次微分方程是无意义我们所谓的求解是指的求出非零解,由齐次边界条件有,（2.7）,故得,边界条件是齐次的，才得出（2.）这样简单的结论，而非齐次边界条件需要转化为齐次边界条件,第二步：求解本征值（或称为固有值）问题,上面推导的方程,（2.5）,（2.7）,本征值不能任意取，只能根据边界条件（2.7）取某些特定值。本征函数不同（2.5）所对应的解本征值问题求齐次方程带有齐次边界条件的本征值和本征函数问题。,定义：,（2.5）的解为,（）,由此解出,被排除,（）、,方程（2.5）的解是,解出,也被排除,（2.5）的解,（）,只剩下一种可能性：,（2.8）,（2.9）,（2.9）正是傅里叶正弦级数的基本函数族,常数,的这种特定数值叫作本征值，相应的解叫作,本征函数方程（2.5）和条件（2.7）则构成,本征值问题或固有值问题,第三步：先求特解，再叠加求出通解,（2.10）,方程的解：,（2.11）,（2.12）,（2.9）和（2.11）代入到解,得到变量分离形式的特解,这就是满足(2.1)和条件（2.2）的通解,（2.13）,线性叠加后的解,初始条件(2.3)确定叠加系数,（2.14）,第四步:利用本征函数的正交归一性确定待定系数,至此，定解问题（2.1）-(2.3)的解已经求出,(2.15),可确定待定系数:,注意：,2.2.解的物理意义,特解(2.12)改写为,(2.16),分析的方法是：先固定时间t，看看在任一指定时刻波是什么形状；再固定弦上一点，看看该点的振动规律。,驻波叠加,振幅:,频率:,初位相:,波节:,波腹:,点数为2，3，4的驻波形状,图2.1,（成倍增长）、位相不同、振幅不同的驻波叠加而成的,所以分离变量法又称驻波法各驻波振幅的大小和位相,于是我们也可以说解,是由一系列频率不同,的差异，由初始条件决定，而圆频率,与初始条件无关，所以也称为弦的本征频率,中最小的一个,称为基频，,相应的,称为基波,称为谐频，,相应的,称为谐波,基波的作用往往最显著,解:设位移函数为u(x,t)，它是定解问题,直接应用已经得到的结果公式：,得到,因此，所求的解为,例2解定解问题,相应特征值问题为求,（2.5）,的非零解。,（2.6）,代入条件（2.6）得,由于B0，故cosl0，即,从而求得了一系列特征值与特征函数。,与这些特征值相对应的方程（2.4）的通解为,于是，所求定解问题的解可表示为,利用初始条件确定其中的任意常数Cn，Dn，得,故所求解为,2.2有限长杆上的热传导,首先求出满足边界条件而且是变量被分离形式的特解，设,代入方程（2.13）得,（2.16）,得到两个线性常微分方程,（2.16）,（2.16）,解方程（2.16）得,由边界条件（2.14）可知,（2.17）,（2.17）,为了求出，方程（2.17）可改写成,其中,于是得到特征值问题（2.16），（2.17）的无穷多个特征值,及相应的特征函数,（2.19）,再由（2.16）解得,（2.20）,由（2.19），（2.20）两式，我们得到方程（2.13）满足边界条件（2.14）的一组特解,（2.21）,其中,由于方程（2.13）与边界条件（2.14）都是齐次的，所以,（2.22）,仍满足方程与边界条件。最后考虑u(x,t)能否满足初始条件（2.15），从（2.22）式得,当然，这样求出的函数u(x,t)仍是形式解，要想它确实是（2.232.15）的解，还必须对(x)加上一定的光滑性和相容性条件。,通过上面两节的讨论，我们对分离变量法已经有了一个初步的了解，它的主要步骤大体为：,一、首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题，这对线性齐次偏微分方程来说是可以做到的。,二、确定特征值与特征函数。由于特征函数是要经过叠加的，所以确定特征函数的方程与条件，当函数经过叠加之后仍旧要满足。当边界条件是齐次时，求特征函数就是求一个常微分方程满足零边界条件的非零解。,三、定出特征值、特征函数后，再解其他的常微分方程，把得到的解与特征函数相乘成为un(x,t)，这时un(x,t)中还包含着任意常数。,四、最后为了使解满足其余的定解条件，需要把所有的un(x,t)叠加起来成为级数形式，这时级数中的一系列任意常数就由其余的条件确定。在这最后一步的工作中，需要把已知函数展开为特征