《函数的极值和最值》PPT课件

1,第三章导数的应用,3.3函数的极值和最值,2,一、函数的极值及其求法,1.定义：,设,在点,的某一邻域内的有定义。,如果,对于这邻域内异于,的,恒有,(1),则称,为,的极大值.,-极大值点,(2),则称,为,的极小值.,-极小值点,3,极大值点,极小值点,极大值,极小值,4,注1,极值不一定是最值.,注2,函数的极大值和极小值是,局部性概念，极小值不一定比极大值小,极值点处的切线平行于,轴,但曲线上有水平,切线的点,不一定取得极值.如：,5,2.驻点:使,成立的点,定理,设函数,在点,处有导数,且在,处取得,极值,那么,这函数,在点,的导数,可导函数的极值点一定是驻点.,6,注1连续但不可导的点也可能是极值点,注2驻点不一定极值点,7,3.极值的第一种充分条件,设函数,在点,的一个邻域内可导,(1)如果当,取,左侧邻近的值时,当,取,右侧邻近的值时,那么,在点,处取得极大值.,+,_,(2)如果当,取,左侧邻近的值时,当,取,右侧邻近的值时,那么,在点,处取得极小值.,+,_,8,求函数的极值及增减区间的步骤：,（1）求函数的定义区间；,（2）求出函数的所有驻点及不可导点；,（4）写出结论。,（3）上述点将f(x)的定义区间分成单调区间，列表讨论；,9,+,+,_,极大值,极小值,例1,求,的极值.,解,定义域为,10,例2,求,的极值.,解,定义域为,+,_,极大值,使,无意义的点,11,例3,求,的极值.,解,定义域为,得,使,无意义的点,+,+,_,极大值,极小值,12,例4求函数,函数的定义区间,解,驻点：,不可导点,点-1，0，1划分定义区间，列表讨论。,单减区间：,单增区间：,极小值；,极大值：,的极值及增减区间。,+,+,13,第二充分条件设是函数的驻点且,如果（或），则是,例2求函数的极值,解,因为，,因为,所以极大值为,所以极小值为,的极小（大）值点.,14,（1）当函数有不可导点时，必须用第一,注意：,（2）当函数,常用第二种充分,充分条件求极值；,的计算不复杂时，通,条件求极值。,满足定理3的条件且,15,练习,1.如果函数,在点,的某邻域内处处可微,且,则函数,必在点,处取得极值.,2.如果函数,在区间,内仅有一个驻点,则该点一,定是函数的极值点.,3.设,分别是函数,的极大值和极小值,则必有,4.如果函数,在点,处取得极值,则曲线,在点,处必有平行于,轴的切线.,是非题:,16,函数的最值在驻点及端点处产生,二、最值,17,最值判别法：,条件：,在,上连续，,且至多在有限个点处,导数为,方法：,(1),在,内的驻点为,(2)求驻点及端点的函数值,(3)比较驻点及端点的函数值，即得最大值和最小值,18,例1求,在,上的最大值,和最小值,解(1),令,(2),(3),最大值,最大值,19,例2铁路线上段的距离为100km工厂距处为20km，垂直于为了运输需要，要在上线上选定一点向工厂修筑一条公路已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3:5为了使货物从供应站运到工厂的运费最省，问点应选在何处？,100km,C,20km,D,铁路运费km:公路运费km,=3:5,x,20,得,km,所以当15km时，总运费最少,21,例3甲船以20海里小时的速度向东航行，正午时其正北面82海里处有乙船正以16海里小时的速度向正南航行问两船何时距离最近？,设两船经过t小时距离最近,甲,乙,令,得,小时,22,在实际问题中，往往根据问题的实际意义就可断定函数f(x)必有最大值或最小值如果函数在定义区间内有只有一个驻点，x0则不必讨论f(x0)是不是极值，就可断定函数f(x0)是最大值或最小值,23,接受能力与讲授时间的关系,通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现接受能力（即学生掌握一个概念的能力）依赖于在概念引入之前老师提出和描述问题所用时间讲座开始时，学生的兴趣激增，但随着时间的延长，学生的注意力开始分散分析结果表明，学生掌握概念的能力由下式给出：,其中,是接受能力的一种度量，,是提出概念所用,时间（单位：min）,24,问题,(1)x为何值时，学生接受能力增强或降低？,(2)第十分钟时，学生的兴趣是增长还是注意力下降？,(3)最难的概念应该在何时讲授？,(4)一个概念需要55的接受能力，它适于对这组学生讲授吗？,25,解,令,得,+,所以当提出概念所用的时间小于13分钟，接受能力增强；当提出概念所用的时间大于13分钟时，接受能力降低。,(1)x为何值时，学生接受能力增强或降低？,26,单调上升，学生的兴趣在增长。,在,时，取极大值,所以最难的概念应,该提出问题后的13分钟讲授,因为,这个概念需要55的接受能力，,这个概念需要55的接受能力，所以可以对这组学生讲授该概念,(2)第十分钟时，学生的兴趣是增长还是注意力下降？,(3)最难的概念应该在何时讲授？,(4)一个概念需要55的接受能力，它适于对这组学生讲授吗？,27,磁盘的最大存储量,微型计算机把数据存储在磁盘上磁盘是带有磁性介质的园盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区磁道是指不同,半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分隔所成的扇形区域磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特(bit)磁盘的构造如图所示,28,r,为了保障磁盘的分辨率，磁道宽度必须大于,每比特所占,用的磁道长度不得小于,为了,数据检索的便利，磁盘格式化,时要求所有磁道要具有相同的比特数,现有一张半径为的磁盘，它的存储量是半径介于r与之间的环行区域，试确定r，使磁盘具有最大储存量,29,存储量磁道数每磁道的比特数,设存储区的半径介于r与之间，故磁道数最多可达,由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大,存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的,比特数可达到,所以，磁