《函数的微分》PPT课件

,问题的提出,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,2.5函数的微分,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,一、微分的定义,定义:设函数y=f(x)在某区间I内有定义,x0及x0+x在区间I内,如果存在与x无关的常数A,使得y=f(x0+x)f(x0)=Ax+o(x)成立,则称函数y=f(x)在点x0处可微,并且称Ax为函数y=f(x)在点x0处相应于自变量增量x的微分,记作,dy,即dy=Ax.,微分dy叫作函数增量y的线性主部微分的实质.,由定义知:,(1)dy是自变量的改变量x的线性函数;(2)当时，ydy=o(x)是x的高阶无穷小;(3)当A0时,当时，y与dy是等价无穷小;实际上,(4)A是与x无关的常数,但与f(x0)和x0有关;(5)当|x|很小时,ydy=Ax(线性主部).,二、可微的条件,定理:函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数f(x)在点x0处可导,且dy=f(x0)x.,定理表明:可导可微,且f(x0)=A.,在f(x0)0的条件下,当x0时,ydy,且ydy既是x的高阶无穷小,又是dy的高阶无穷小.因此dy也是y的主要部分.,由于自变量对自己的导数等于1,所以通常把自变量的增量x称为自变量的微分,记作dx,即dx=x.,所以,dy=f(x)dx.从而,即函数的微分dy与自变量的微分dx之商就等于该函数的导数,因此导数也叫做“微商”.,三、微分的几何意义,M,),N,则y是曲线C上关于点M的纵坐标的增量,当|x|很小时,在点M的附近用切线的增量近似代替曲线的增量.,设曲线C的方程为y=f(x),曲线C上的点M处有切线.,M点处的切线对应点M的纵坐标的增量.,而dy是曲线C在,四、微分的求法,求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式,2.函数和、差、积、商的微分法则,3.复合函数的微分法则,结论:无论x是自变量还是中间变量,函数y=f(x)的微分形式总有:,一阶微分形式的不变性,例3:,例4:,例5:,例6:,例1:,例2:,1.函数的近似计算,（3）计算附近的函数值,（2）计算增量的函数值,即,(4)在(3)式中取,且x接近0,于是得,五、微分在近似计算中的应用,（1）计算增量,应用(4)式可得以下公式(下面都假定是较小的数值),六、小结,微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,导数的概念,函数的增量问题,微分的概念,求导数与微分的方法,叫做微分法.,导数与微分的联系:可导可微,1.函数f(x)在点x0处的导数是一个数值f(x0);而函数f(x)在点x0处的微分dy=f(x0)x=f(x0)(xx0)是x或x的一个线性函数.2.从几何意义上看,导数f(x0)是曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0)处切线的斜率;而微分dy=f(x0)x是曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0)处切线上纵坐标的增量.,导数与微分的区别:,思考题,因为一元函数y=f(x)在点x0的可微性与可导性是等价的,所以有人说“微分就是导数,导数就是微分”,这种说法对吗？,思考题解答,说法不对.,从概念上讲,微分是从求函数增量引出线性主部而得到的,导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限,它们是完全不同的概念.,一、主要内容,导数,基本公式,求导法则,高阶导数,高阶微分,习题课,二、典型例题,例1:,例2:,例3:求下列函数的导数,例4:设f(x)可导,F(x)=f(x)(1+|sinx|),则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的_条件.,A.充分必要;B.充分非必要;C.必要非充分;D.非充分非必要.,例5:设函数y=y(x)由方程y=tan(x+y)确定,求,例6: