《函数的导数与微分》PPT课件

第二章一元函数的导数与微分,本章简介导数与微分是微分学中的两个基本概念。其中导数是研究函数相对于自变量的变化的快慢程度，即函数的变化率；而微分则是指当自变量有微小变化时，函数改变量的近似值。,本章重点导数与微分的概念；基本初等函数的求导公式；求导法则。本章难点导数与微分的概念；复合函数的求导法则。,第一节导数的概念,一、两个引例,二、导数的定义,三、求导举例,四、导数的几何意义,五、函数的可导性与连续性的关系,本节内容提要,本节重点导数的概念；左，右导数的概念：导数的几何意义；函数可导与连续的关系。本节难点导数概念的理解；可导的充要条件；利用导数几何意义求切线（法线）方程；判断函数在一点处是否可导和连续；利用导数定义求导；教学方法启发式教学手段多媒体课件和面授讲解相结合教学课时3课时,一、两个引例,1、变速直线运动的速度设动点在时刻t在某一直线上的位置坐标为s，于是该动点的运动规律可由函数s=s(t)确定。我们要求在某一t0时刻的瞬时速度v（t0）。在时间段t0,t0+内，动点经过的路程为于是即为该时间段内动点的平均速度。它并不是t0时刻的瞬时速度v（t0），但是如果时间间隔较短，则有。显然，时间间隔越短，平均速度与瞬时速度v（t0）的近似程度就越好。也就是说，当,无限缩短时，平均速度就会无限接近于瞬时速度v（t0），而运用我们第一章所学的极限概念，就有这样，该极限值就是t0时刻的瞬时速度v（t0）。,2、曲线的切线设有曲线C及C上一点M，在点M外另取C上一点N做割线MN。当N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN的极限位置为MT，则称直线MT为曲线C在点M处的切线。设割线MN与X轴的夹角为切线MT与X轴的夹角为。曲线方程为y=f(x),点M的坐标为(x0，y0)，点N的坐标为。于是，割线MN的斜率为：。当点N沿曲线C趋向点M时，就有，割线的斜率就会无限接近切线的斜率,又由极限的定义，,有即为切线的斜率。,二、导数的定义,上面所讨论的两个问题，一个是物理问题，一个是几何问题。但是当我们抛开它们的具体意义而只考虑其中的数量关系时，就会发现本质上完全相同的一个极限：即因变量的改变量与自变量的改变量之比，当自变量的改变量趋于0时的极限。这就是导数。,1、定义设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量时，相应的函数y取得增量,在x0点处的导数，称为x0点的导数值。注：导数的定义也可取如下两种形式：,2、区间可导和导函数(1)如果函数y=f(x)在某个开区间（a,b）内每一点x处均可导，则称函数y=f(x)在区间（a,b）内可导。,(2)若函数y=f(x)在某一范围内每一点均可导，则在该范围内每取一个自变量x的值，就可得到一个唯一对应的导数值，这就构成了一个新的函数，称为原函数y=f(x)的导函数，记做导函数往往简称为导数。用极限表示为：,3、左右导数(1)称左极限为函数f(x)在x0点的左导数，记做。,(2)称右极限为函数f(x)在x0点的右导数，记做。,4、可导的充要条件函数y=f(x)在点x0处可导的充要条件是左右导数都存在且相等。,三、求导举例,根据导数定义求导，可分为如下三个步骤：,四、导数的几何意义,函数y=f(x)在处的导数在几何上表示曲线y=f(x)在处的切线的斜率，即,为切线与x轴正向的夹角。根据点斜式直线方程，可得处的切线方程为：相应点处