高考数学考点12 导数的应用

考点12 导数的应用1导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.2生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.一、导数与函数的单调性一般地，在某个区间(a,b)内：（1）如果，函数f (x)在这个区间内单调递增;（2）如果，函数f (x)在这个区间内单调递减;（3）如果，函数f (x)在这个区间内是常数函数注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；（2）在某个区间内，()是函数f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但.（3）函数f (x)在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是()在(a,b)内恒成立，且在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有,不影响函数f (x)在区间内的单调性.-网二、利用导数研究函数的极值和最值1函数的极值一般地，对于函数y=f (x)，（1）若在点x=a处有f (a)=0，且在点x=a附近的左侧，右侧，则称x=a为f (x)的极小值点，叫做函数f (x)的极小值.（2）若在点x=b处有=0，且在点x=b附近的左侧，右侧，则称x=b为f (x)的极大值点，叫做函数f (x)的极大值（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.2函数的最值函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：（1）求在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.三、生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有力工具.解决优化问题的基本思路是：考向一 利用导数研究函数的单调性1利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立一般步骤为：（1）求f (x)；（2）确认f (x)在(a,b)内的符号；（3）作出结论，时为增函数，时为减函数注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论2在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.3由函数的单调性求参数的取值范围的方法（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.4利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.典例1 已知函数，其中.（1）函数的图象能否与轴相切?若能，求出实数，若不能，请说明理由；（2）讨论函数的单调性.（2）由于，当时，当时，单调递增，当时，单调递减；当时，由得或，当时，当时，单调递增，当时，单调递减，当，单调递增；当时，单调递增；当时，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.综上，当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数；当时，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数.典例2 设函数.（1）讨论的导函数的零点的个数；（2）证明：当时，.（2）由（1），可设在上的唯一零点为.当时，;当时，.故在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.由于，所以（当且仅当，即时，等号成立）.故当时，.1已知函数.（1）当时，求在处的切线方程；（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.考向二 利用导数研究函数的极值和最值1函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号（2）求函数极值的方法：确定函数的定义域求导函数求方程的根检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.2求函数f (x)在a,b上最值的方法（1）若函数f (x)在a,b上单调递增或递减，f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值（2）若函数f (x)在区间(a,b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a,b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值（3）函数f (x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.3利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.典例3 已知函数（1）当时，试判断函数的单调性；（2）若，求证：函数在上的最小值小于（2）由（1）知在上单调递增，因为，所以，所以存在，使得，即，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，令，则恒成立，所以函数在上单调递减，所以，所以，即当时，故函数在上的最小值小于典例4 已知函数，.（1）若曲线与曲线在它们的交点处的公共切线为，求，的值；（2）当时，若，求的取值范围.【解析】（1）设它们的公共交点的横坐标为，则 .，则，；，则，.由得，由得.将，代入得，.（2）由，得，即在上恒成立，令 ，则 ，其中在上恒成立，在上单调递增，在上单调递减，则，.故的取值范围是.2已知函数，其中为实常数.（1）若是的极大值点，求的极小值；（2）若不等式对任意，恒成立，求的最小值.考向三 （导）函数图象与单调性、极值、最值的关系1导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.2导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点.学！典例 5 设函数（，），若函数在处取得极值，则下列图象不可能为的图象是【答案】D【解析】，因为函数在处取得极值，所以是的一个根，整理可得，所以，对称轴为.对于A,由图可得，适合题意；对于B,由图可得，适合题意；对于C,由图可得，适合题意；对于D,由图可得，不适合题意，故选D.3已知函数的导函数的图象如图所示，则函数 A有极大值，没有最大值 B没有极大值，没有最大值C有极大值，有最大值 D没有极大值，有最大值考向四 生活中的优化问题1实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值.若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值.2实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围典例6 如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.【解析】（1）由题意，所以，又，所以观光专线的总长度为 ，因为当时，所以在上单调递减，即观光专线的总长度随的增大而减小.答：当时，观光专线的修建总成本最低. 4某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元（为圆周率）（1）将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；（2）讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大1已知函数（e是自然对数的底数），则的极大值为A2e-1 BC1 D2ln22已知函数，则的单调递减区间为A BC和 D和3函数在闭区间上的最大值，最小值分别是A BC D4设定义在上的函数的导函数满足，则A BC D5若函数在上有最小值，则的取值范围为A BC D6已知函数，函数有两个零点，则实数的取值范围为A B C D7已知函数f (x)ax3bx2cx，其导函数yf (x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的序号是_学！当x时函数取得极小值；f(x)有两个极值点；当x2时函数取得极小值；当x1时函数取得极大值8已知函数若函数在定义域内不是单调函数，则实数的取值范围是_9定义在上的函数满足，则当时，与的大小关系为_.(其中为自然对数的底数)10用一张的长方形纸片，经过折叠以后，糊成了一个无盖的长方体形纸盒，则这个纸盒的最大容积是_.11已知函数在处取得极值.（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最小值. 12如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD及其矩形附属设施EFGH，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化其中半圆的圆心为O，半径为R，矩形的一边AB在直径上，点C、D、G、H在圆周上，E、F在边CD上，且，设.（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为，求的表达式；（2）当为何值时，能符合园林局的要求？13设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，且在区间上恒成立，求的取值范围.14设.（1）在上单调，求的取值范围；（2）已知在处取得极小值，求的取值范围. 15已知函数（1）若曲线的切线经过点，求的方程；（2）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围1（2017新课标全国理科）若是函数的极值点，则的极小值为ABCD12（2017浙江）函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是3（2017新课标全国理科）已知函数有唯一零点，则a=A BC D14（2018新课标全国理科）已知函数，则的最小值是_5（2017浙江）已知函数f(x)=（x）（）（1）求f(x)的导函数；（2）求f(x)在区间上的取值范围6（2018新课标全国理科）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：7（2018新课标全国理科）已知函数（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求8（2018新课标全国理科）已知函数（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求9（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形ABCD，大棚内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上设OC与MN所成的角为（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大参考答案变式拓展1【解析】（1），.，在处的切线方程为，即.（2），在上单调递减，在上恒成立，即在上恒成立，记，恒成立，且显然不是常数函数，在上单调递减， ，实数的取值范围是.（2）不等式即为，所以.若，则，.当，时取等号；若，则，.由（1）可知在上为减函数.所以当时，.因为，所以.于是.3【答案】A【解析】由题意，函数的图象可知，当时，函数先增后减；当时，函数先减后增，所以函数有极大值，没有最大值，故选A（2）因为V(r)(300r4r3)，故V(r)(30012r2)令，解得r15，r25(因为r25不在定义域内，舍去)当r(0,5)时，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,)时，V(r)0，故V(r)在(5,)上为减函数由此可知，在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大考点冲关1【答案】D【解析】，令得，故的极大值为，选D2【答案】C【解析】由题得，解不等式得xe.x0，x1，0x1和1xe.函数的单调递减区间为和.3【答案】D【解析】由，得x=1，当时，；当时，当x1时，故的极小值、极大值分别为，而，故函数在-3，0上的最大值、最小值分别是3、-17.4【答案】A【解析】由定义在上的函数的导函数满足，则，即，设，则，所以函数在上为单调递增函数，则，即，所以，故选A5【答案】A【解析】函数，当时，即函数在上为减函数；当时，即函数在上为增函数.函数在上有最小值，.故选A6【答案】C【解析】当时，设，则，易知当时，即是减函数，时，又时，且，而时，是增函数，有两个零点，即的图象与直线有两个交点，所以，故选C7【答案】【解析】由图可知1为极大值点，2是极小值点，故正确，错.9【答案】【解析】由题得，即，所以函数在R上单调递减，因为m0,所以，故填.10【答案】【解析】设剪下的四个正方形的边长为，则经过折叠以后，糊成的长方体形纸盒是一个底面是长为，宽为长方形，其面积为，长方体的高为，体积为,，由 得函数在上单调递增，由得函数在上单调递减，所以这个纸盒的最大容积是.11【解析】（1）因为，所以.由于在点处取得极值，故有，即，化简得，解得.（2）由（1）知，.令，得.当时，故在上为增函数；当时，故在上为减函数；当时，故在上为增函数.由此可知在处取得极大值，在处取得极小值.由题设条件知，得，此时，因此在上的最小值为.12【解析】（1）由题意，且为等边三角形，所以， ， （2）要符合园林局的要求，只要最小，由（1）知，令，即，解得或（舍去），令 .当时，是单调减函数，当时，是单调增函数，所以当时，取得最小值. 故当满足时，符合园林局要求.13【解析】（1）函数的定义域为，当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，函数在上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）若，且在区间上恒成立，等价于在区间上.由（1）中的讨论，知当时，函数在区间上单调递减，,即，从而得；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，即只需，即，由于，从而得.综上，的取值范围为.（2）由（1）知，在上单调递增，时，单调递减，时，单调递增，在处取得极小值，符合题意；时，又在上单调递增，时，时，在上单调递减，在上单调递增，则在处取得极小值，符合题意；时，在上单调递增，在上单调递减，又，时，单调递减，不合题意；时，当时，单调递增，当时，单调递减，在处取得极大值，不符合题意.综上所述，可得.15【解析】（1）设切点为，因为，所以.由斜率知：，即，可得，即，所以或.当时，切线的方程为，即；当时，切线的方程为，即.综上所述，所求切线的方程为或.（2）由得，代入整理得，设，则，由题意得函数有两个零点当时，此时只有一个零点当时，由得，由得，即在上为减函数，在上为增函数，而，所以在上有唯一的零点，且该零点在上若，则，取，则，所以在上有唯一零点，且该零点在上；若，则，所以在上有唯一零点，所以时，有两个零点当时，由，得或，若，则，所以至多有一个零点若，则，易知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，又，所以至多有一个零点若，则，易知在上单调递增，在和上单调递减，又，所以至多有一个零点综上所述，的取值范围为直通高考1【答案】A【解析】由题可得，因为，所以，故，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，故选A【名师点睛】（1）可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f (x0)0，且在x0左侧与右侧f (x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值2【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间3【答案】C【解析】函数的零点满足，设，则，当时，；当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，当时，函数取得最小值，为.设，当时，函数取得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数和有一个交点，即，解得.故选C.【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.4【答案】【解析】，所以当时函数单调递减，当时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为，函数的递增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数