高考数学考点35 直线的位置关系

（1）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.（2）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.（3）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.一、两条直线的位置关系斜截式一般式与相交 与垂直与平行且或与重合且注意：（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况二、两条直线的交点对于直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，与的交点坐标就是方程组的解（1）方程组有唯一解与相交，交点坐标就是方程组的解；（2）方程组无解；（3）方程组有无数解与重合三、距离问题（1）平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|（2）点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d（3）两条平行线AxByC10与AxByC20(C1C2)间的距离d四、对称问题（1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为（2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则考向一 两直线平行与垂直的判断及应用由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.典例1 若直线与直线平行，则的值为A BC D2【答案】B【解析】直线化为，因为与直线平行，解得，故选B.【名师点睛】本题主要考查两直线平行的充要条件，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.直接根据两直线平行的充要条件，列出关于的方程求解即可.1“”是“直线和直线垂直”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件考向二 两直线的相交问题1两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交点的坐标.2求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程.典例2 已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点P,且垂直于直线2x+3y+5=0,求直线l的方程.【答案】直线l的方程为3x-2y-4=0. #网因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直,所以(-)=-1,解得=1.故直线l的方程为3x-2y-4=0.2已知直线和直线相交于点P(2,3)，则经过点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的直线方程是_.考向三 距离问题1.求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等.2.解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.3.求两条平行线间的距离，要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.典例3 （1）若点A(2，3)，B(4，5)到直线l的距离相等，且直线l过点P(1,2)，则直线l的方程为_；（2）若直线m被两直线l1：xy10与l2：xy30所截得的线段的长为，则直线m的倾斜角( 为锐角)为_ 【答案】（1）x3y50或x1；（2）15或75 学3若动点分别在直线上移动，则的中点到原点的距离的最小值是A BC D考向四 对称问题解决对称问题要抓住以下两点：（1）已知点与对称点的连线与对称轴垂直；（2）以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上典例4 已知直线l:3x-y+3=0,求:（1）点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标;（2）直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.【答案】（1）(-2,7)；（2）7x+y+22=0.【解析】设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P(x,y).kPPkl=1,4光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点.（1）求点关于直线对称点的坐标； 学（2）求反射光线所在直线的一般式方程考向五 直线过定点问题求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法：（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点.典例5 求证：不论m取什么实数，直线(2m1)x(m3)y(m11)0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标【答案】详见解析.5已知点，点，直线l：（其中）（1）求直线l所经过的定点P的坐标；（2）若分别过A，B且斜率为的两条平行直线截直线l所得线段的长为，求直线的方程1过两直线3xy1=0与x2y7=0的交点且与第一条直线垂直的直线方程是Ax3y7=0 Bx3y13=0C3xy7=0 D3xy5=02已知为实数,直线,则“”是“”的A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件3已知倾斜角为的直线l与直线x+2y-3=0垂直,则cos(-2)的值为AB-C2D-4若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则两直线间的距离为A2B2CD5直线与直线垂直，垂足为，则A BC D6若点到直线的距离为，则A BC D7设两条直线的方程分别为，已知a，b是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是A， B，C， D，8设直线与直线的交点为，分别为上任意两点，点为的中点，若，则的值为A BC D9已知三条直线，不能构成三角形，则实数的取值集合为A BC D10已知点P(m,n)到点A(0,4)和B(-8,0)的距离相等,则()m+()n的最小值为A-3B3C16D411若直线与直线互相垂直，则实数 .12若直线与直线关于直线对称，则直线恒过定点_13若直线与直线的倾斜角相等，则实数 .14已知，若直线与直线互相垂直，则的最大值是_15若直线与直线之间的距离是，则_.16设是函数图象上的动点，当点到直线的距离最小时，_.17一条光线从)发出，到轴上的点后，经轴反射通过点，则反射光线所在直线的斜率为_18已知l1,l2是分别经过A(2,1),B(0,2)两点的两条平行直线,当l1,l2之间的距离最大时,直线l1的方程是 .19已知直线与相交于点（1）求交点的坐标；（2）设直线，分别求过点且与直线平行和垂直的直线方程.20已知直线.（1）若，求实数的值；（2）当时，求直线与之间的距离.21已知的三个顶点为、.（1）求过点A且平行于BC的直线方程；（2）求过点B且与A、C距离相等的直线方程.22已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y-b=0.（1）若l1l2,且l1过点(-3,-1),求实数a,b的值.（2）是否存在实数a,b,使得l1l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等?并说明理由.23已知两条直线l1:(a-1)x-2y+b=0,l2:ax+(b-4)y+3=0,其中a0.若l1l2,且l1过点(1,3).（1）求l1,l2的方程;（2）若光线沿直线l1射入,遇到直线x=0后反射,求反射光线所在的直线方程.24已知三条直线l1:2xy+a=0(a0)，直线l2:4x2y1=0和直线l3:x+y1=0，且l1和l2的距离是.（1）求a的值.（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：P是第一象限的点；P点到l1的距离是P点到l2的距离的；P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是?若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，两条直线垂直与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.2【答案】2x3y1 ￥网【解析】因为P(2,3)在直线l1和l2上，所以，则点和的坐标是方程2x3y1的解，所以经过点和的直线方程是2x3y1.3【答案】A【解析】因为,所以的中点的轨迹为直线：，即，因此到原点的距离的最小值是，故选A.4【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设点关于直线l的对称点为，则，解得，即点关于直线l的对称点为 （2）由于反射光线所在直线经过点和，所以反射光线所在直线的方程为即.5【答案】（1）直线l过定点；（2）或则所求直线为或【名师点睛】本题考查了直线方程过定点问题，平行线间距离及夹角问题，主要是依据图象判断各条直线的位置关系，属于中档题.（1）根据直线过定点，化简直线方程，得到关于 的表达式，令系数与常数分别为0即可求得过定点的坐标.（2）根据平行线间距离公式，求得平行线间距离；由倾斜角与直线的夹角关系，求得直线的方程.1【答案】B【解析】由，得，即交点为(1,4)第一条直线的斜率为3，且与所求直线垂直，所求直线的斜率为.由点斜式方程得所求直线方程是y4=(x1)，即x3y13=0.2【答案】A【名师点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. #网（2）本题也可以利用下面的结论解答，直线和直线平行，则且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.3【答案】B【解析】由题意可知tan =2,所以cos(-2)=cos(1 008+-2)=-sin 2=-=-=-.4【答案】C【解析】由l1l2知,解得a=-1,所以l1:x-y+6=0,l2:x-y+=0,两条平行直线l1与l2间的距离d=.故选C.5【答案】B【解析】直线与直线垂直，直线即为将点的坐标代入上式可得，解得将点的坐标代入方程得，解得故选B【名师点睛】本题考查两直线的位置关系及其应用，考查学生的应用意识及运算能力，解题的关键是灵活运用所学知识解题，即明确点是两直线的交点根据两直线垂直可得，然后将点的坐标代入直线可得，同理可得，于是可得的值6【答案】B【解析】由题意得.故选B.7【答案】A【名师点睛】本题考查了平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查了计算能力，注意之间的关系，利用其关系进行转化，属于中档题.8【答案】A【解析】根据题意画出图形，如图所示：直线与直线的交点为，为的中点，若，则即解得 学故选A9【答案】D10【答案】C【解析】因为点P(m,n)到点A(0,4)和B(-8,0)的距离相等,所以=,即2m+n=-6,又()m0,()n0,所以()m+()n2=2=2=16,当且仅当,即2m=n=-3时取等号.11【答案】【解析】由题得，,解得.故答案为.12【答案】【解析】直线经过定点，点关于直线对称的点为，点在直线上，即直线恒过定点，故答案为.13【答案】1【解析】直线的倾斜角相等，则两直线平行或重合，据此有：，求解关于实数的方程可得：.14【答案】【名师点睛】本题主要考查了两直线垂直的条件以及基本不等式，属于中档题.本题使用基本不等式时，注意凑项，方便使用基本不等式.15【答案】0【解析】直线与直线之间的距离是，解得，（负值舍去），则.故答案为.【名师点睛】本题主要考查了两条平行直线间的距离公式，理解题目意思，运用公式来求解即可，较为基础.16【答案】【解析】是函数图象上的动点，则点到直线的距离为 当时，取得最小值故答案为【名师点睛】本题考查了点到直线的距离公式应用问题，是基础题由点到直线的距离公式求得的关系式，从而求得距离最小时n的值17【答案】2【解析】如图所示：【名师点睛】本题考查的是反射定律，以镜面反射为背景的问题，实质就是对称问题，求解这类问题一般要转化为求对称点的问题，判断点在直线上，是解题的关键. 网18【答案】2x-y-3=0【解析】由平面几何知识,得当l1AB时,l1,l2之间的距离最大.A(2,1),B(0,2),kAB=-,=2.则直线l1的方程是y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.19【答案】（1）；（2），.【解析】（1）由，得， .（2）与平行直线方程，即.与垂直的直线方程，即.20【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由知，解得.（2）当时，有,解得，即，所求距离为=.【名师点睛】本题考查直线与直线之间的位置关系.解答本题时要注意：（1）利用直线垂直，结合斜率之间的关系，建立方程，求解实数的值；（2）利用直线平行，确定参数的值，利用平行直线之间的距离公式，求值计算.21【答案】（1）；（2）或.【名师点睛】本题考查直线的点斜式，考查平行关系的应用，考查分类讨论思想与逻辑思维能力，属于中档题22【答案】（1）a=2,b=2；（2）不存在.【解析】（1）由已知可得l2的斜率存在,为k2=1-a.若k2=0,则1-a=0,a=1.l1l2,直线l1的斜率必不存在,即b=0.又l1过点(-3,-1),-3a+4=0,即a=(矛盾).此种情况不存在,不存在满足条件的实数a,b，使得l1l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.23【答案】（1）l1,l2的方程分别为l1:x-2y+5=0,l2:2x+y+3=0；（2）x+2y-5=0. 学【解析】（1）l1过点(1,3),(a-1)-6+b=0.由l1l2,得(a-1)a-2(b-4)=0.联立,得a2+a-6=0a=2或a=-3(舍去),a=2,b=5.l1,l2的方程分别为l1:x-2y+5=0,l2:2x+y+3=0.（2）由,