高考数学考点29 空间几何体的表面积与体积

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.一、柱体、锥体、台体的表面积1旋转体的表面积圆柱（底面半径为r，母线长为l）圆锥（底面半径为r，母线长为l）圆台（上、下底面半径分别为r,r,母线长为l）侧面展开图底面面积 侧面面积 表面积 2多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积.棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：二、柱体、锥体、台体的体积1柱体、锥体、台体的体积公式几何体体积柱体(S为底面面积，h为高),(r为底面半径，h为高)锥体(S为底面面积，h为高)， (r为底面半径，h为高)台体(S、S分别为上、下底面面积，h为高)，(r、r分别为上、下底面半径，h为高)2柱体、锥体、台体体积公式间的关系3必记结论（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差；（2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等.三、球的表面积和体积1球的表面积和体积公式设球的半径为R，它的体积与表面积都由半径R唯一确定，是以R为自变量的函数，其表面积公式为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为.2球的切、接问题（常见结论）（1）若正方体的棱长为，则正方体的内切球半径是；正方体的外接球半径是；与正方体所有棱相切的球的半径是（2）若长方体的长、宽、高分别为，则长方体的外接球半径是（3）若正四面体的棱长为，则正四面体的内切球半径是；正四面体的外接球半径是；与正四面体所有棱相切的球的半径是（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径（5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高考向一 柱体、锥体、台体的表面积1已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积2多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏.3求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.典例1 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A BC D【答案】D【名师点睛】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积时常会设计此种陷阱典例2 若正四棱柱的底边长为2，与底面成45角，则三棱锥的表面积为A BC D【答案】A【解析】由与底面成45角，且正四棱柱的底边长为2，可知棱柱的高为，故三棱锥的表面积为 故答案为A. 学#1某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为直角梯形，俯视图为两个正方形，则该几何体的表面积为A B61C62 D732榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为A192 B186C180 D198考向二 柱体、锥体、台体的体积空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易题. 求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.典例3 如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱得到的一个几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积比为ABCD【答案】A典例4 如图，几何体中，平面，是正方形，为直角梯形，是腰长为的等腰直角三角形（1）求证：；（2）求几何体的体积.【解析】（1）因为是腰长为的等腰直角三角形，所以.因为平面，所以.又，所以.又，所以平面.所以.（2）因为是腰长为的等腰直角三角形，所以，所以.所以，由勾股定理得，因为平面，所以.又，所以平面.所以.3甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为，则A BC D4如图，在斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，为棱的中点，. （1）求证：平面； （2）求斜三棱柱的体积. 考向三 球的表面积和体积1确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.2球与几种特殊几何体的关系：(1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；(2)正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为31；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；(5)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高3与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.4有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离与球的半径及截面圆的半径之间满足关系式：.典例5 九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥为鳖臑， 平面，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为ABCD【答案】C【解析】如图，由题可知，底面为直角三角形，且，则，则球的直径，则球的表面积.故选C.典例6 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为Acm3 Bcm3 Ccm3Dcm3【答案】A5一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的表面积是A BC D6三棱锥ABCD的所有顶点都在球的表面上，平面，则球的体积为A BC D考向四 空间几何体表面积和体积的最值求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路：一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决.典例7 如图,A1A是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于A,B的任意一点,A1A=AB=2.（1）求证：BC平面A1AC;（2）求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.【解析】（1）因为C是底面圆周上异于A,B的任意一点,且AB是圆柱底面圆的直径,所以BCAC.因为AA1平面ABC,BC平面ABC,所以AA1BC.又AA1AC=A,所以BC平面AA1C.（2）方法一：设AC=x(0x2),在中,BC=,故SABCAA1=ACBCAA1=x.因为0x2,0x24,所以当x2=2,即x=时,三棱锥A1-ABC的体积取得最大值.方法二：在中,AC2+BC2=AB2=4,从而SABCAA1=ACBCAA1=ACBC,当且仅当 AC=BC=时等号成立.所以三棱锥A1-ABC的体积的最大值为.7已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为A BC D1一个长方体共一顶点的三条棱长分别是，这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是A12 B18C36 D62某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A1B2C3D63如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A60B72C81D1144一个与球心距离为2的平面截球所得圆面面积为，则球的表面积为ABCD5我国古代数学名著孙子算经中有如下问题：“今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺.问：须工几何？”意思是：“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙，其中底面等腰梯形的上底为丈、下底为丈、高为丈，直棱柱的侧棱长为尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出立方尺，问：一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙？”（注：一丈等于十尺）A BC D6某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得，其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该几何体的表面积为A BC D7一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是，则该几何体的体积为A BC D8如图，直角梯形中，若将直角梯形绕边旋转一周，则所得几何体的表面积为_9将若干毫升水倒入底面半径为4cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为8cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是_cm.10正三棱锥的高为，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则此球的表面积是 11如图所示的几何体为一简单组合体，在底面中，.（1）求证：平面；（2）求该组合体的体积.1（2018年浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A2B4C6D82（2018年高考新课标理科）设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为ABCD 3（2017新课标全国理科）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为ABCD4（2017新课标全国理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A B C D5（2017浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是ABC D6（2016新课标全国理科）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是A17B18C20D28 7（2016山东理科）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为ABCD8（2016四川理科）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .9（2016浙江理科）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm3.10（2017山东理科）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 .11（2017天津理科）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_12（2017江苏）如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是 .13（2018江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_14（2018天津卷理）已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为 .15（2018新课标II理科）已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_1【答案】C2【答案】A【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上部分是长方体，棱长分别为，下部分为长方体，棱长分别为，其表面积为.故选A.【名师点睛】本题考查了求组合体的表面积问题，关键是由三视图还原几何体图形，注意题目中的计算.3【答案】D【名师点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体的三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.4【解析】（1）如图，连接，因为底面是边长为的正三角形，所以，且，因为，【名师点睛】本题考查了立体几何中线面垂直的证明，几何体体积的求法，熟练掌握线面关系的证明原理非常重要，属于基础题.（1）根据底面为正三角形，易得；由各边长度，结合余弦定理，可求得的值，再根据勾股定理逆定理可得，从而可证平面；（2）将斜棱柱的体积，转化为棱锥的体积，结合三角形面积公式可求解. 学#5【答案】A【解析】由三视图知：几何体是球体切去后余下的部分，球的半径为2，几何体的表面积S=（1）422+22=16故答案为A.【名师点睛】(1)本题主要考查由三视图找到几何体原图，考查几何体的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象推理能力.(2)通过三视图找几何体原图的方法有两种：直接法和模型法.6【答案】D【解析】因为，所以，因此三角形BCD的外接圆半径为,设外接球的半径为R，则故选D.【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.先确定三角形BCD外接圆的半径，再解方程得外接球半径，最后根据球的体积公式得结果.7【答案】B【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点，即为三棱锥，且长方体的长、宽、高分别为，故选B【名师点睛】根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的表面积后可求出最小值（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题考点冲关1【答案】A【解析】长方体的体对角线的长是，所以球的半径是，所以该球的表面积是，故选A.【名师点睛】该题考查的是有关长方体的外接球的表面积问题，在解题的过程中，首先要明确长方体的外接球的球心应在长方体的中心处，即长方体的体对角线是其外接球的直径，从而求得结果.2【答案】B【解析】由题意可知该几何体的形状如图：，四边形BCDE是矩形，所以该几何体的体积为：故选B【名师点睛】本题考查几何体的体积的求法，画出几何体的图形，利用三视图的数据求解几何体的体积即可三视图与几何体的对应关系的判断是解题的关键3【答案】B【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，底面面积为12，底面周长为16，棱柱的高为3，故柱体的表面积S=212+163=72.6【答案】B【解析】该图形的表面积为圆柱的侧面积、圆锥的侧面积、球的表面积一半，其面积分别为：圆柱侧面积：，圆锥侧面积：，半个球面的面积：，所以表面积为.故选B.【名师点睛】本题主要考查表面积的计算，通过三视图确定表面积，注意熟练掌握面积公式，还原时注意部分面已经不存在，不要多求面积.根据题意可知该图形的表面积应包含圆柱的侧面积、圆锥的侧面积、球的表面积一半，共三部分，分别根据相应的面积公式即可求出结果.7【答案】B【解析】如图所示，该几何体为四棱锥，其中底面，底面是正方形，所以该几何体的表面积为，解得，所以该几何体的体积，故选B.【名师点睛】该题考查的是有关应用几何体的三视图求其体积的问题，解题的思路就是根据三视图还原几何体，利用其表面积公式求得对应的高，之后借助于椎体的体积公式求得结果.8【答案】【解析】由题意知所得几何体为一个圆锥与圆柱的组合体，则表面积为9【答案】4【解析】设倒圆锥形器皿中水面的高为h cm,则水面圆的半径为htan30=,则由428=()2h,解得h=4.10【答案】【名师点评】球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径来求出，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法 11【解析】（1），又，又，又，平面.（2）连接，过作于，平面，又，是等边三角形，1【答案】C【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上、下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.【名师点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.2【答案】B【名师点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当点在平面上的射影为三角形ABC的重心时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型. #网3【答案】B【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积，故该组合体的体积故选B【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解4【答案】B【名师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.5【答案】A【解析】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以，几何体的体积为，选A【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽由三视图画出直观图的步骤和思考方法：（1）首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；（2）观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；（3）画出整体，然后再根据三视图进行调整6【答案】A 【解析】该几何体的直观图如图所示.该几何体是一个球被切掉左上角的后剩余的部分,设球的半径为,则,解得,所以它的表面积是的球面面积与三个扇形面积之和,即故选A7【答案】C 【解析】由已知及三视图可得，半球的直径为，正四棱锥的底面边长为1，高为1，所以其体积为，选C.8【答案】【解析】由三棱锥的正视图知，三棱锥的高为，底面边长为，2,2，所以，该三棱锥的体积为.【名师点睛】本题考查三视图和几何体的体积，考查学生的识图能力解题时要求我们根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体（柱、锥、台、球）的三视图以及各种组合