高考数学考点04 函数及其表示

考点04 函数及其表示考纲原文（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.（3）了解简单的分段函数，并能简单应用.知识整合一、函数的概念1函数与映射的相关概念(1)函数与映射的概念函数映射两个集合A、B设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合对应关系按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)，xAf：AB注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点(2)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(3)构成函数的三要素函数的三要素为定义域、值域、对应关系.(4)函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；图象法：注意定义域对图象的影响.2必记结论(1)相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)2x1，g(t)2t1，h(m)2m1均表示相等函数.(2)映射的个数若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有个二、函数的三要素1函数的定义域函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)yx0的定义域是x|x0.(5)yax(a0且a1)，ysinx，ycosx的定义域均为R.(6)ylogax(a0且a1)的定义域为(0，).(7)ytanx的定义域为.2函数的解析式(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是yf(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.3函数的值域函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：(1)一次函数ykxb(k为常数且k0)的值域为R.(2)反比例函数(k为常数且k0)的值域为(，0)(0，)(3)二次函数yax2bxc(a，b，c为常数且a0)，当a0时，二次函数的值域为；当a0，b0)求最值若“和定”，则“积最大”，即已知abs，则，ab有最大值，当ab时取等号；若“积定”，则“和最小”，即已知abt，则，ab有最小值，当ab时取等号应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”9判别式法：将函数转化为二次方程：若函数yf(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2b(y)xc(y)0，则在a(y)0时，由于x，y为实数，故必须有b2(y)4a(y)c(y)0，由此确定函数的值域利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围.10有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.11导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.典例引领典例3 求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）0，8；（2）；（3）.【解析】（1），x1，x2，1(x2)29，则0(x2)28故函数的值域为0，8（2）f(x)的定义域为，令，得，故.（3）.当且仅当x2时“”成立.故的值域为.变式拓展3已知函数f(x)(x1)21的定义域与值域都是1，b(b1)，则实数b的值为 考向三 求函数的解析式求函数解析式常用的方法1换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；2配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；3待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；4方程组法：已知关于f(x)与或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x).典例引领典例4 已知，则ABCD【答案】A【名师点睛】在方法二中，用替换后，要注意的取值范围为，如果忽略了这一点，在求时就会出错.典例引领4已知，则的表达式为A B C D考向四 分段函数分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略：1求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算2求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小3求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式4解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提5求奇偶性、周期性：利用奇函数(偶函数)的定义判断，而周期性则由周期性的定义求解.典例引领典例5 已知，则等于A2B4C2D4【答案】B【解析】，f，4.故选B【名师点睛】分段函数的应用：设分段函数.(1)已知x0，求f(x0)：判断x0的范围，即看x0I1，还是x0I2；代入相应解析式求解(2)已知f(x0)a，求x0：当x0I1时，由f1(x0)a，求x0；验证x0是否属于I1，若是则留下，反之则舍去；当x0I2时，由f2(x0)a，求x0，判断是否属于I2，方法同上；写出结论(3)解不等式f(x)a：或.变式拓展5已知函数f(x)，若f(1)f(1)，则实数a的值等于A1B2C3D4典例引领典例6 已知函数，若，则实数的取值范围是A B C D【答案】A【解析】函数在上为减函数，函数的图象开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，且.所以函数在上为减函数.由得，解得.故选A【思路点拨】判断分段函数两段的单调性，当时，为指数函数，可判断函数在上为减函数；第二段函数的图象开口向下，对称轴为，可得函数在区间上为减函数.时，两段函数值相等.进而得函数在上为减函数.根据单调性将不等式变为，从而解得即可【名师点睛】（1）分段函数的单调性，应考虑各段的单调性，且要注意分解点出的函数值的大小；（2）抽象函数不等式，应根据函数的单调性去掉“”，转化成解不等式，要注意函数定义域的运用.变式拓展6已知函数，则下列结论正确的是Af(x)是偶函数 Bf(x)是增函数Cf(x)是周期函数 Df(x)的值域为1，)考点冲关1函数的定义域为A B C D2设函数，若，则A1 B C3 D1或3如图为函数的图象，则该函数可能为 A B C D4若函数yf(x)的定义域是0,2，则函数g(x)的定义域是A0,1 B0,1)C0,1)(1,4 D(0,1)5已知函数的值域是，则实数的取值范围是A B C D6已知函数满足，则A B C D7已知，记表示不超过的最大整数，如，则的值域为A B C D8函数的值域为_9已知函数,，则_10设函数则使得成立的的取值范围是_直通高考1（2017年高考山东卷理科）设函数的定义域为，函数的定义域为,则A（1,2） B C（2,1） D2,1)2（2017年高考天津卷理科）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是ABCD3（2018年高考江苏卷）函数的定义域为_4（2018年高考浙江卷）已知R，函数f(x)=，当=2时，不等式f(x)0的解集是_若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_5（2018年高考江苏卷）函数满足，且在区间上， 则的值为_6（2017年高考江苏卷）记函数的定义域为在区间上随机取一个数，则的概率是 7（2016年高考江苏卷）函数y=的定义域是_8（2017年高考新课标卷理科）设函数，则满足的x的取值范围是_.参考答案变式拓展【名师点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，根据函数的解析式列出满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力2【答案】【解析】由题意得，解得，即函数的定义域为3【答案】3【解析】f(x)(x1)21，x1，b，且b1，则f(1)(11)211，f(b)(b1)21，函数值域为1，(b1)21由已知得(b1)21b，解得b3(b1舍去)4【答案】A 【解析】，.故选A 5【答案】B 【解析】根据题意，由f(1)f(1)可得a1(1)2，故选B 考点冲关1【答案】D【解析】要使函数有意义，需满足，解得，即函数的定义域为，故选D2【答案】A【解析】当时，得，当时，得，这与矛盾，故此种情况下无解，由上知，故选A【名师点睛】该题考查的是分段函数中已知函数值求自变量的问题，在解题的过程中，需要时刻关注自变量的取值范围，在明显感觉解是不符合要求时可以不解确切值，只说无解即可.3【答案】B【解析】由图可知，时，而A，C，D此时对应的函数值，故选B.【名师点睛】识图常用的方法：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题4【答案】D【解析】f(x)的定义域为0,2，要使f(2x)有意义，必有02x2，0x1，要使g(x)有意义，应有，0x1，故选D5【答案】C【解析】当时，由解得要使函数在上的值域是则，故选C6【答案】C【解析】由,可得(2),将(1)+(2)得:,故选C7【答案】B【名师点睛】本题考查了函数的中心对称性，得到，从而可将函数的两个量转换为一个量的讨论，为整数时易得解，不为整数时，设为整数加小数部分的结构代入即可. 8【答案】【解析】由可得：，且，故函数的值域为.10【答案】.【解析】由，得或，得或，即的取值范围是，故答案为.【名师点睛】本题主要考查分段函数的解析式、由分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.直通高考1【答案】D【解析】由得，由得，故，选D2【答案】A【解析】不等式可化为 (*)，当时，(*)式即，即，又（当时取等号），（当时取等号），所以，当时，(*)式为，又（当时取等号），（当时取等号），所以综上，故选A【名师点睛】首先将转化为，涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的取值范围3【答案】2，+）【解析】要使函数有意义，则需，解得，即函数的定义域为.【名师点睛】求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.求解本题时，根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.4【答案】(1,4) 【解析】由题意得或，所以或，即，故不等式f(x)0的解集是当时，此时，即在上有两个零点；当时，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.【名师点睛】根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解5【答案】【解析】由得函数的周期为4，所以因此【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.！网(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数