高考数学考点45 变量间的相关关系

变量的相关性（1）会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.（2）了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.回归分析了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.1相关关系当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则这两个变量之间的关系叫做相关关系即相关关系是一种非确定性关系当一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，则这两个变量正相关；当一个变量的值由小变大时，而另一个变量的值由大变小，则这两个变量负相关.【注意】相关关系与函数关系的异同点：共同点：二者都是指两个变量间的关系不同点：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系；而相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，可能是伴随关系2散点图将样本中的n个数据点描在平面直角坐标系中，所得图形叫做散点图从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关具有正相关关系的两个变量的散点图如图1，具有负相关关系的两个变量的散点图如图2.3回归分析如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，则这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线回归直线对应的方程叫做回归直线方程(简称回归方程)4回归方程的求解（1）求回归方程的方法是最小二乘法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据，则回归方程中，.其中，称为样本点的中心（2）线性回归模型，其中称为随机误差，自变量称为解释变量，因变量称为预报变量【注意】回归直线必过样本点的中心，这个结论既是检验所求回归直线方程是否准确的依据，也是求参数的一个依据利用回归直线方程不但可以预测在x取某一个值时，y的估计值，同时也能知道x每增加1个单位，的变化量在回归直线方程中，既表示直线的斜率，又表示自变量x的取值每增加一个单位时，函数y的改变量5相关系数（1）样本相关系数r的计算公式我们可以利用相关系数来定量地衡量两个变量之间的线性相关关系，计算公式为.（2）样本相关系数r的性质；当r0时，表明两个变量正相关；当r0时，正相关；r0时，负相关；(3)线性回归方程中：时，正相关；时，负相关典例1 给出下列有关线性回归分析的四个命题：线性回归直线未必过样本数据点的中心；回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；当相关系数时，两个变量正相关；如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于.其中真命题的个数为ABCD【答案】A1对两个变量进行线性回归分析，计算得到相关系数，则下列说法中正确的是A与正相关B与具有较强的线性相关关系C与几乎不具有线性相关关系D与的线性相关关系还需进一步确定2某国际控股有限公司20122017年的年广告支出y(单位:百万元)与年利润x(单位:百万元)的统计资料如表所示:年份201220132014201520162017支出y0.640.720.790.850.981.06利润x11.913.115.717.119.621.5根据统计资料,则A利润的中位数是15.7,y与x为正相关关系B利润的中位数是16.4,y与x为正相关关系C利润的中位数是17.1,y与x为负相关关系D利润的中位数是16.4,y与x为负相关关系考向二 线性回归方程及应用求回归直线方程的一般步骤：（1）作出散点图，依据问题所给的数据在平面直角坐标系中描点，观察点的分布是否呈条状分布，即是否在一条直线附近，从而判断两变量是否具有线性相关关系 #网（2）当两变量具有线性相关关系时，求回归系数，写出回归直线方程（3）根据方程进行估计.典例2 某车间加工的零件数与加工时间的统计数据如下表：零件数(个)102030加工时间(分钟)213039现已求得上表数据的回归方程中的值为，则据此回归模型可以预测，加工个零件所需要的加工时间约为A分钟B分钟C分钟D分钟【答案】C 典例3 一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图，并由散点图判断销售件数与进店人数是否线性相关？（给出判断即可，不必说明理由）（2）建立关于的回归方程（系数精确到0.01），并预测进店人数为80时，商品销售的件数（结果保留整数）.参考数据：，.参考公式：回归方程，其中，.【解析】（1）散点图如图所示：由散点图可以判断，商品件数与进店人数线性相关.（2）因为，所以，.所以回归方程为，当时，.所以预测进店人数为80时，商品销售的件数为58.3已知线性回归方程，当变量每增加一个单位时，则的变化情况正确的是A平均增加约1.2个单位 B平均增加约3个单位C平均减少约1.2个单位 D平均减少约3个单位4炼钢是一个氧化降碳的过程，由于钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，因此必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.现已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量与冶炼时间（从炉料熔化完毕到出钢的时间）的一组数据，如下表所示：1234567891010418019017714713415019120412110020021018515513517020523512510400360003990032745227851809025500391554794015125（1）据统计表明，与之间具有线性相关关系，请用相关系数加以说明（，则认为与有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系，精确到0.001）；（2）建立关于的回归方程（回归系数的结果精确到0.01）；（3）根据（2）中的结论，预测钢水含碳量为160个0.01%的冶炼时间（取整数）.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关系数.参考数据：，.考向三 非线性回归方程及应用求非线性回归方程的步骤：1确定变量，作出散点图2根据散点图，选择恰当的拟合函数3变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程4分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果5根据相应的变换，写出非线性回归方程 学#典例4 某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间的一组数据，且作了一定的数据处理(如下表)，得到了散点图(如下图).1.4720.60.782.350.8119.316.2表中.（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型?(不必说明理由)（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；（3）若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量成正比，那么为多少时，烧开一壶水最省煤气?附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.5近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如下表所示：根据以上数据，绘制了如图所示的散点图（1）根据散点图判断，在推广期内，(c，d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)（2）根据（1）的判断结果及表中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.参考数据：其中.参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.1在一组样本数据不全相等)的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为A1 B0C D12废品率x%与每吨生铁成本y(元)之间的回归直线方程为2343x，表明A废品率每增加1%，生铁成本增加3x元B废品率每增加1%，生铁成本每吨平均增加3元C废品率每增加1%，生铁成本增加234元D废品率不变，生铁成本为234元3已知5个学生的数学和英语成绩如下表:学生ABCDE数学8075706560英语7066686462则数学与英语成绩之间A是函数关系B是相关关系,但相关性很弱C具有较好的相关关系,且是正相关D具有较好的相关关系,且是负相关4已知变量与负相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是A BC D5变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4)(11.8,3),(12.5,2),(13,1),r1表示变量Y与X之间的线性相关系数,r2表示变量V与U之间的线性相关系数,则Ar2r10B0r2r1Cr20100. 学#￥11【答案】D 13【答案】不一定【解析】由回归分析可知，体重为41.638kg的人的身高多数在150cm左右故答案为：不一定.14【答案】【解析】把代入，得，所以残差.15【答案】D【解析】由散点图知呈带状区域时有较强的线性相关关系，故去掉D.16【答案】5【解析】一组数据确定的回归直线方程为，且，解得，原样本点的中心为(2,4)17【解析】（1）散点图如图:（2）计算得， ，所以，故关于的线性回归方程为.由上述回归方程可得高考应该是第六次考试,故，则 (分),故净提高分为(分)，且，计算得 ，z关于x的线性回归方程是， 又，y关于x的回归方程是.令，解得，即预测当某辆A型号二手车使用年数为9年时，售价约1.46万元 （2）当时，解得，因此预测在收购该型号二手车时，车辆的使用年数不得超过11年20【解析】（1）记事件“获得台历的三人中至少有一人的红包超过5元”为事件，5名顾客中红包超过5元的两人分别记为，不足5元的三人分别记为，从这5名顾客中随机抽取3人，共有抽取情况如下：，共10种. 计算得 ， 则，则关于的线性回归方程为， 当时,，即2018年5月份参与竞拍的人数估计为2万人.（2）（i）由，解得.由频率和为1，得，解得， 则200位竞拍人员报价大于5万元的人数为.（ii）2018年5月份实际发放车牌数量为3000，根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数比例为.又由频率分布直方图知竞拍报价大于6万元的频率为，所以根据统计思想（样本估计总体）可预测2018年5月份竞拍的最低成交价为6万元.1【答案】C元)，故，所以回归直线方程为， 学#当社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(万元)，故选B4【答案】A 【解析】因为变量与正相关，所以排除选项C，D，又因为回归直线必过样本点的中心，代入检验知，直线过点，故选A.5【答案】B【解析】依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以，.选B.可靠7【解析】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得，. 因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系. （2）由及（1）得，.