《向量组线性相关性》PPT课件

线性表示的定义回顾,4.2向量组的线性相关性,线性相关的定义1,定义1设有m个n维向量1，2，m，如果存在一组不全为零的数使,则称向量组1，2，m线性相关；否则，称向量组线性无关,线性相关两种定义的等价性向量组a1，a2，am线性相关的充要条件是：向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。,必要性：因为a1，a2，am线性相关，故存在不全为零的数l1，l2，lm，使l1a1l2a2lmamo。不妨设l10，于是,即a1为a2，a3，am的线性组合。,充分性：不妨设a1可由其余向量线性表示：a1=l2a2l3a3lmam，则存在不全为零的数1，l2，l3，lm，使(1)a1+l2a2l3a3lmam=o，即a1，a2，am线性相关。,证明：,1.含有零向量的向量组一定线性相关。,2.由一个向量构成的向量组线性相关当且仅当该向量为零向量。,3.由两个向量构成的向量组线性相关当且仅当这两个向量的分量对应成比例。,4.n维基本单位向量e1，e2，en是线性无关的。,5.几何意义,定义1设有m个n维向量1，2，m，如果存在一组不全为零的数使,则称向量组1，2，m线性相关；否则，称向量组线性无关,思考题：给出线性无关的直接定义,证明向量组线性无关.,证,(1)式成为,(2),(2)式左乘,同理推出,例3,例2,设向量可由线性无关的向量组,线性表示,证明表法是唯一的.(p99定理3.2.2),证设有两种表示方法,由线性无关,所以方程组有非零解。,得方程组,由于,解:设,使,所以线性相关。,例1讨论向量组的线性相关性,即存在一组不全为零0的数,易见向量组a1，a2，am线性相关的充分必要条件是：以x1，x2，xm为未知量的齐次线性方程组x1a1x2a2xmamo有非零解。,而上述方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知量的个数m，即,由此即得：,存在不全为零的数使,(按定义),(转化为方程组),齐次方程组,(用矩阵的秩),把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性无关，否则如果矩阵的秩小于向量的个数就线性相关。,证明向量组线性相关性的基本方法,（向量方程）,思考题：如向量个数=向量维数，向量组线性相关及线性无关的条件是什么？,答案：线性相关当且仅当其构造的矩阵对应行列式的值为0；,线性无关当且仅当其构造的矩阵对应行列式的值不为0。,例3t取何值时向量组线性无关、线性相关？,1=（3，2，0），2=（5，4，-1）3=（3，1，t）,解由于,当2t-30，即t3/2时，1，2，3线性无关,当2t-3=0，即t=3/2时，1，2，3线性相关,例2、已知,讨论向量组a1，a2，a3及向量组a1，a2的线性相关性,解：,A=（a1，a2，a3）=,R（A）=2n,由表示不等式,从而B必相关.,P.107引理1,练习题,一填空题在一向量组，n中，如果有部分向量组线性相关，则向量组必（）,二、多选题：下列命题中正确的有（）非零向量组成的向量组一定线性无关含零向量的向量组一定线性相关由一个零向量组成的向量组一定线性无关由零向量组成的向量组一定线性相关线性相关的向量组一定含有零向量。,三、分析判断题：若不能被，r线性表出，