第二章-随机向量PPT课件

.,1,随机向量,.,2,一、多元概率分布,一个向量，若它的分量都是随机变量，则称之为随机向量。随机变量x的分布函数：随机向量的分布函数：,.,3,三、多元概率密度函数,一元的情形：多元的情形：多元密度f(x1,xp)的性质：,.,4,四、边缘分布,设x是p维随机向量，由它的q(0。（2）设A为常数矩阵，b为常数向量，则当p=1时，上述等式就是我们熟知的如下等式：,.,15,例2.3.2设随机向量x=(x1,x2,x3)的数学期望和协方差矩阵分别为,令y1=2x1x2+4x3,y2=x2x3,y3=x1+3x22x3,试求y=(y1,y2,y3)的数学期望和协方差矩阵。,.,16,例2.3.3的分量之间存在线性关系（以概率1）。在实际问题中，有时|=0，其原因是指标之间存在着线性关系，如某一指标是其他一些指标的汇总值，这在一般数据报表中是常出现的。我们通常可以通过删去“多余”指标的办法来确保|0。因此，我们总假定0并不失一般性，这样可保证1存在，从而可使数学问题得以简化。,.,17,（3）设A和B为常数矩阵，则（4）设为常数矩阵，则,.,18,推论证明（先证推论，再证性质（4）,.,19,（5）设k1,k2,kn是n个常数，x1,x2,xn是n个相互独立的p维随机向量，则,.,20,三、相关矩阵,随机变量x和y的相关系数定义为的相关阵定义为,.,21,若(x,y)=0，则表明x和y不相关。x=y时的相关阵(x,x)称为x的相关阵，记作R=(ij)，这里ij=(xi,xj),ii=1。即R=(ij)和=(ij)之间有关系式：R=D1D1其中；R和的相应元素之间的关系式为,.,22,前述关系式即为,.,23,标准化变换,在数据处理时，常常因各变量的单位不完全相同而需要对每个变量作标准化变换，最常用的标准化变换是令记，于是即标准化后的协差阵正好是原始向量的相关阵。可见，相关阵R也是一个非负定阵。,.,24,矩阵代数的相关知识,.,25,1定义,pq矩阵：,p维列向量：,q维行向量：a=(a1,a2,aq),向量a的长度：,单位向量：,.,26,若A的所有元素全为零，则称A为零矩阵，记作A=0pq或A=0。若p=q，则称A为p阶方阵，a11,a22,app称为它的对角线元素，其他元素aij(ij)称为非对角线元素。若方阵A的对角线下方的元素全为零，则称A为上三角矩阵。显然，aij=0,ij。若方阵A的对角线上方的元素全为零，则称A为下三角矩阵。显然，aij=0,i0，则称A为正定矩阵，记作A0；若对一切x，有xAx0，则称A为非负定矩阵，记作A0。对非负定矩阵A和B，AB表示AB0；AB表示AB0。,.,37,正定矩阵和非负定矩阵的基本性质,(1)设A是对称矩阵，则A是正定(或非负定)矩阵，当且仅当A的所有特征值均为正(或非负)。(2)设A0，则A的秩等于A的正特征值个数。(3)若A0，则A10。(4)设A0，则A0，当且仅当|A|0。(5)若A0(或0)，则|A|0(或0)。(6)BB0，对一切矩阵B成立。(7)若A0(或0)，则存在矩阵L0(或0)，使得L称为A的平方根矩阵，记作。(8)设A0是p阶秩为r的矩阵，则存在一个秩为r(