《数学归纳法》(课件).ppt

数学归纳法,一、归纳法对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。,一、归纳法对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。,归纳法,完全归纳法,不完全归纳法,一、归纳法对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。,归纳法,完全归纳法,不完全归纳法,一、归纳法对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。,归纳法,完全归纳法,不完全归纳法,a2=a1+d,a3=a1+2d,a4=a1+3d,an=a1+(n-1)d,自学教材P92-P93,二、数学归纳法的概念,二、数学归纳法的概念,证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,二、数学归纳法的概念,证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。,二、数学归纳法的概念,证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。,验证n=n0时命题成立,二、数学归纳法的概念,证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。,验证n=n0时命题成立,若当n=k(kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,二、数学归纳法的概念,证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。,验证n=n0时命题成立,若当n=k(kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,命题对从n0开始的所有正整数n都成立。,多米诺骨牌游戏的原理,这个猜想的证明方法,例1已知数列,多米诺骨牌游戏的原理,这个猜想的证明方法,(1)第一块骨牌倒下。,(2)若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。,根据(1)和(2)，可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。,例1已知数列,多米诺骨牌游戏的原理,这个猜想的证明方法,(1)第一块骨牌倒下。,(2)若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。,根据(1)和(2)，可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。,(1)当n=1时猜想成立。,例1已知数列,多米诺骨牌游戏的原理,这个猜想的证明方法,(1)第一块骨牌倒下。,(2)若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。,根据(1)和(2)，可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。,(1)当n=1时猜想成立。,(2)若当n=k时猜想成立，即，则当n=k+1时猜想也成立，即,例1已知数列,多米诺骨牌游戏的原理,这个猜想的证明方法,(1)第一块骨牌倒下。,(2)若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。,根据(1)和(2)，可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。,(1)当n=1时猜想成立。,(2)若当n=k时猜想成立，即，则当n=k+1时猜想也成立，即,根据(1)和(2)，可知对任意的正整数n，猜想都成立。,例1已知数列,注意1.,用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.,2.(1)(归纳奠基)是递推的基础.找准n0,(2)(归纳递推)是递推的依据nk时命题成立作为必用的条件运用，而nk+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明,例2：用数学归纳法证明1+3+5+（2n-1)=,所以等式也成立。综合(1)(2)等式对一切正整数n均成立,当n=k+1时,代入得,证明:(1)当n=1,左边=1，右边=12=1，等式成立,例2：用数学归纳法证明1+3+5+（2n-1)=,(2)假设当n=k时成立，即：,1+3+5+（2k-1)+(2k+1),当n=k+1时,代入得,证明:(1)当n=1,左边=1，右边=12=1，等式成立,例2：用数学归纳法证明1+3+5+（2n-1)=,(2)假设当n=k时成立，即：,所以等式也成立。综合(1)(2)等式对一切正整数n均成立,1+3+5+（2k-1)+(2k+1),当n=k+1时,代入得,证明:(1)当n=1,左边=1，右边=12=1，等式成立,例2：用数学归纳法证明1+3+5+（2n-1)=,(2)假设当n=k时成立，即：,所以等式也成立。综合(1)(2)等式对一切正整数n均成立,=k2+(2k+1),1+3+5+（2k-1)+(2k+1),=k2+(2k+1),=(k+1)2,当n=k+1时,代入得,证明:(1)当n=1,左边=1，右边=12=1，等式成立,例2：用数学归纳法证明1+3+5+（2n-1)=,(2)假设当n=k时成立，即：,所以等式也成立。综合(1)(2)等式对一切正整数n均成立,例4:已知数列计算S1,S2,S3,S4,根据计算的结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.,例4:已知数列计算S1,S2,S3,S4,根据计算的结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.,例4:已知数列计算S1,S2,S3,S4,根据计算的结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.,问题情境一,练习：1.某个命题当n=k(kN)时成立，可证得当n=k+1时也成立。现在已知当n=5时该命题不成立，那么可推得()A.n=6时该命题不成立B.n=6时该命题成立C.n=4时该命题不成立D.n=4时该命题成立,问题情境一,练习：1.某个命题当n=k(kN)时成立，可证得当n=k+1时也成立。现在已知当n=5时该命题不成立，那么可推得()A.n=6时该命题不成立B.n=6时该命题成立C.n=4时该命题不成立D.n=4时该命题成立,C,C,1.数学归纳法能够解决哪一类问题？,课堂小结,1.数学归纳法能够解决哪一类问题？一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题,课堂小结,1.数学归纳法能够解决哪一类问题？一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题2.数学归纳法证明命题的步骤是什么？,课堂小结,1.数学归纳法能够解决哪一类问题？一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题2.数学归纳法证明命题的步骤是什么？两个步骤和一个结论，缺一不可,课堂小结,1.数学归纳法能够解决哪一类问题？一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题2.数学归纳法证明命题的步骤是什么？两个步骤和一个结论，缺一不可3.数学归纳法证明命题的关键在哪里？,课堂小结,1.数学归纳法能够解决哪一类问题？一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题2.数学归纳法证明命题的步骤是什么？两个步骤和一个结论，缺一不可3.数学归纳法证明命题的关键在哪里？关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确,课堂小结,1.数学归纳法能够解决哪一类问题？一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题2.数学归纳法证明命题的步骤是什么？两个步骤和一个结论，缺一不可3.数学归纳法证明命题的关键在哪里？关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确4.数学归纳法体现的核心思想是什么？,课堂小结,1.数学归纳法能够解