《函数的极限与连续》PPT课件

第一章函数的极限与连续,1.1函数的极限1.2极限方法1.3无穷小的比较1.4函数的连续性1.5数学实验用Matlab求极限及案例分析,1.1函数的极限,一、初等函数二、极限的概念,1.1函数的极限,1、初等函数（1）复合函数的概念如果y是u的函数，而u又是x的函数，且的值域包含在函数的定义域内，那么y(通过u的关系)也是x的函数，我们称这样的函数为与复合而成的函数，简称复合函数，记作例1写出下列函数的复合函数解将代入可得复合函数为：将代入可得复合函数为：,例2指出下列复合函数的复合过程,（2）初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合运算所得到的函数统称为初等函数初等函数一般可以用一个解式子表示例如它们都是初等函数,2、极限的概念,（1）案例引入极限思想中国古代数学家刘徽在九章算术注中创造了“割圆术”来计算圆周率的方法。刘徽注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积，且当边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈接近圆的面积。“割之弥细，所失弥少。割之又割以至于不可割则与圆合体而无所失矣”。这几句话明确表明了刘徽的思想：当内接正多边形的边数n越大，多边形就越贴近圆周，也就是说当正多边形的边数n无限增大时，正多边形的周长就是圆周长。根据这一思想如何来计算圆周率的近似值？理论根据何在？写出你的推导过程。刘徽的思想中体现了极限的思想，也就是说极限是研究事物发展变化趋势的重要工具。下面我们将具体研究极限的概念。,定义：,定义：,定义：,定义：,这常被用来作为判断函数在某一点处极限是否存在的依据,函数的极限分几种情况，有的自变量趋向于无穷大，有的自变量趋向于一个确定的数；函数在某一点处极限存在的充要条件是左、右极限都存在且相等.掌握极限思想的形成过程，理解极限是研究事物发展变化趋势的重要工具,小结,1.2极限方法,一、无穷小与无穷大二、极限的运算法则三、两个重要极限,一、无穷小与无穷大,定义：,注意：,无穷小不能看作一个“很小的数“，它是一种特殊的以零为极限的函数。但如果一个函数取值恒为零，依定义它是一个无穷小。另外，无穷小是对自变量某一个变化过程来说的。,函数极限与无穷小的关系：,性质：1.有限个无穷小的代数和是无穷小2.有限个无穷小的乘积是无穷小3.有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论常数与无穷小的乘积是无穷小,定义：,注意：,无穷大是指绝对值无限增大的变量，不能将其与很大的常数相混淆，任何常数都不是无穷大。“极限为无穷大”说明极限不存在，但极限不存在不一定是“极限为无穷大”，也有可能是振荡无极限的，例如,二、极限运算法则,求极限应用举例,如果在上例中分母极限为零怎么办？,三、两个重要极限,3.其极限可以推广为,3.此式可以推广为,小结,求极限是一元函数微积分中最基本的一种运算，其方法较多。主要有以下几种：（1）利用极限的定义，通过函数图像，直观地求出其极限；（2）利用极限的运算法则；（3）利用重要极限(4）利用无穷小的性质,和,1.3无穷小的比较,一、无穷小的比较二、等价无穷小代换,定义:,一、无穷小的比较,例1,称,是x的二阶无穷小。,二、等价无穷小代换定理1在同一极限过程中，如果无穷小量,满足条件：,则,常用的等价无穷小量,1.4函数的连续性,一、函数的连续性的概念二、函数在区间内的连续性三、函数的间断点四、初等函数的连续性五、闭区间上连续函数的性质,一、函数的连续性的概念,1.函数的增量,2.连续的定义,例1,证,由定义2知,例2,解,右连续但不左连续,二.函数在区间内的连续性,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,例3,证,三、函数的间断点,1.跳跃间断点,例4,解,2.可去间断点,例5,解,注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,3.第二类间断点,例6,解,四、初等函数的连续性由于基本初等函数的图象在其定义区间内都是连续不断的曲线，故知：基本初等函数在其定义区间内都是连续的.,定理1,例如,定理2,例如,意义,1.极限符号可以与函数符号互换;,例1,解,例2,解,同理可得,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.,五、闭区间上连续函数的性质,定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,定义:,几何解释:,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.,例1,证,由零点定理,例2,证,由零点定理,1.5用Matlab求极限及案例分析,一、用Matlab求复合函数二、用Matlab求极限三、案例分析求解,一、求复合函数,若函数z=z(y)的自变量y又是x的函数，则求z对x的函数的过程称为复合函数运算。在MATLAB中，此过程可由功能函数compose来实现，命令常用格式为：compose(f,g)求当f=f(y)和g=g(x)时的复合函数fg(x).,例1设,求。解clearsymsxf=1/(1+2)；g=sin(sqrt();compose(f,g)ans=1/(sin(（1/2）)2+1)compose(g,f)ans=sin(1/(2+1)(1/2),二、求极限,在MATLAB中，可由limit函数求解极限。其格式为limit(F)表示findsym函数返回的独立变量趋向于0时符号表达式F的极限；limit(F,a)表示findsym函数返回的独立变量趋向于a时符号表达式F的极限；limit(F,x,a)表示符号表达式F在xa条件下的极限值；limit(F,x,a,right)表示指定变量xa+(从右边趋向于a)时符号表达式F的极限；limit(F,x,a,right)表示指定变量xa-(从左边趋向于a)时符号表达式F的极限。,例求下列极限：,（）（）,解clearsymsxs1s2s3s1=limit(sin(x)/x)%求极限（1）s1=%求极限（1）的答案1s2=limit(4*x3+x+3)/(2*x4+1),x,inf)%求极限（2）s2=0%求极限（2）的答案,三、案例分析求解,现在我们回到第一章中提出的案例“刘徽在九章算术注中创造了“割圆术”来计算圆周率的方法”。根据几何学知识，我们有半径为的圆内接正边形的边长