《图形及37曲率》PPT课件

第一充分条件:,在,内可导,极值的必要条件:,若,是函数f(x)的极值,则,或,不存在.,极值的充分条件,则,不是极值,设函数f(x)在,上连续,3.5内容回顾,第二充分条件:,二阶导数,且,则在点取极大值;,则在点取极小值.,第三充分条件,则:,数,且,1)当为偶数时,是极小点;,是极大点.,2)当为奇数时,为极值点,不是极值点.,是拐点.,不是拐点.,(拐点的第二充分条件):,当在区间I上连续且只有一个极值点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大值,则也是最大值.,(小),对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大值点或最小值点.,(小),闭区间上连续函数的最值:,一、曲线的渐近线,二、函数图形的描绘,3.6函数图形的描绘,第三章,1.水平与铅直渐近线,若,则曲线,有水平渐近线,若,则曲线,有铅直渐近线,一、曲线的渐近线,2.斜渐近线,斜渐近线,若,(P75题13),二、函数图形的描绘,步骤:,1.确定函数,的定义域,2.求,并求出,及,3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;,4.求渐近线;,5.作图,为0和不存在的点;,并考察其对称性及周期性;,(2)画出渐近线,(3)描点:首先是表中的特殊点,(4)结合单调性与凹凸性及渐近线分段连线作图,(必要时补充一些关键点),(1)画出坐标系(适当确定两轴的单位),例1.描绘,的图形.,解:1)定义域为,无对称性及周期性.,2),3),(拐点）,4),无渐近线,补充点(-1,2/3)、(3,2),5)描点作图,例2.描绘函数,的图形.,解:1)定义域为,图形对称于y轴.,2),3),(极大),(拐点),(极大),(拐点),为水平渐近线,5)作图,4)求渐近线,例3.描绘函数,解,非奇非偶函数,且无对称性.,的图形.,3).列表,拐点,极值点,4)求渐近线,补充点:,(-2,-3),5)作图：,.,D,例4.求曲线,的渐近线.,解:,又因,为曲线的斜渐近线.,(无水平渐近线),水平渐近线;铅直渐近线;,内容小结,1.曲线渐近线的求法,斜渐近线,按作图步骤进行,2.函数图形的描绘,拐点为,凸区间是,曲线,的凹区间是,提示:,及,渐近线.,单增区间,单减区间.,0,+),(-,0,P7614(2);P1692;5,作业,曲线的弯曲程度,与切线的转角有关,与曲线的弧长有关,主要内容:,一、弧微分,二、曲率及其计算公式,三、曲率圆与曲率半径,3.7平面曲线的曲率,第三章,一、弧微分,设,在(a,b)内有连续导数,其图形为AB,弧长,(增函数),表示有向弧的值,则弧长微分公式为,或,若曲线由参数方程表示:,又s=s(x)是增函数,则,若曲线由极坐标方程表示:,代入参数方程时的弧微分公式得,请记住三个弧微分公式!,二、曲率及其计算公式,在光滑弧上自点M开始取弧段,其长为,对应切线,定义,弧段上的平均曲率,点M处的曲率,注意:直线上任意点处的曲率为0!,转角为,例1.求半径为R的圆上任意点处的曲率.,解:如图所示,可见:R愈小,则K愈大,圆弧弯曲得愈厉害;,R愈大,则K愈小,圆弧弯曲得愈小.,有曲率近似计算公式,故曲率计算公式为,又,曲率K的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,两边微分得:,三、曲率圆与曲率半径,设M为曲线C上任一点,在点,在曲线,把以D为中心,R为半径的圆叫做曲线在点M处的,曲率圆,(密切圆),R叫做曲率半径,D叫做,曲率中心.,在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系:,(1)有公切线;,(2)凹向一致;,(3)曲率相同.,M处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点D使,设曲线方程为,且,求曲线上点M处的,曲率半径及曲率中心,设点M处的曲率圆方程为,故曲率半径公式为,满足方程组,的坐标公式.,由此可得曲率中心公式,95年考研题：推导曲率中心的坐标公式,例2.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨,削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?,解:设椭圆方程为,显然,椭圆在,处曲率最大,即曲率半径最小,且为,则选择砂轮半径不超过,(想一想怎样求?),=0,内容小结,1.弧长微分,或,2.曲率公式,3.曲率圆,曲率半径