《变分问题6学时》PPT课件

变分问题,Outline,3.1泛函概念3.2变分及变分方程3.3变分问题及Euler边值问题3.4约束条件下的变分问题3.5线性算子方程化为变分方程3.6波动方程标准变分原理3.7波动方程修正变分原理3.8波动方程广义变分原理,泛函，简单地说，就是以整个函数为自变量的函数这个概念，可以看成是函数概念的推广,设对于(某一函数集合内的)任意一个函数y(x)，有另一个数Jy与之对应，则称Jy为y(x)的泛函,3.1泛函概念,泛函不同于复合函数，例如g=g(f(x)对于后者，给定一个x值，仍然是有一个g值与之对应；对于前者，则必须给出某一区间上的函数y(x)，才能得到一个泛函值Jy(定义在同一区间上的)函数不同，泛函值当然不同为了强调泛函值Jy与函数y(x)之间的依赖关系，常常又把函数y(x)称为变量函数,泛函是函数空间到数值空间的映射，取不同的函数形式，得到不同的泛函值。泛函一般都是取包含该函数的定积分形式。,U(x)是定义在x1,x2上的可取函数的集合。上式从积分的角度讲，J是x的积分函数，但从泛函的角度讲，J是变量x和U（x）可取形式的双变量函数,如果变量函数是二元函数u(x;y)，则泛函为,3.2变分原理或泛函极值问题,先回忆一下有关函数极值的概念,可以用同样的方法定义泛函的极值,泛函取极值等价于一阶变分等于零，与Euler微分方程等价,3.3变分问题及Euler边值问题,泛函取极值又称为泛函驻定，由于变分方程与Euler方程等价，所以可以通过求解变分方程获得Euler方程的解，所以可以通过求解Euler方程获得变分方程的解，为电磁场问题求解增添了新的方法。,1.首先，由于变分是对函数y进行的，独立于自变量x，所以，变分运算和微分或微商运算可交换次序，,2.变分运算也是一个线性运算，,3.直接计算，就可以得到函数乘积的变分法则,4.变分运算和积分(微分的逆运算)也可以交换次序，,5.复合函数的变分运算，其法则和微分运算完全相同，只要简单地将微分法则中的“d”换掉即可,这里注意，引起F变化的原因，是函数y的变化，而自变量x是不变化的所以，绝对不会出现项,一、简单泛函,边界条件：,二、含一阶导数的泛函,积分变换,等价Euler方程,附加边界条件,变分中，二阶边界条件无需强加，自然满足条件,三、含一阶偏导数的泛函,等价Euler方程,附加边界条件,变分中，二阶边界条件无需强加，自然满足条件,四、含二阶偏导数的泛函,等价Euler方程,附加边界条件,变分中，二阶边界条件无需强加，自然满足条件,例题,作为完整的泛函极值问题，在列出泛函取极值的必要条件、即EulerLagrange方程后，还需要在给定的定解条件下求解微分方程，才有可能求得极值函数需要注意，EulerLagrange方程只是泛函取极值的必要条件，并不是充分必要条件在给定的定解条件下，EulerLagrange方程的解可能不止一个，它们只是极值函数的候选者到底哪一(几)个解是要求的极值函数，还需要进一步加以甄别,和求函数极值的情形一样，甄别的方法有两种一种是直接比较所求得的解及其“附近”的函数的泛函值，根据泛函极值的定义加以判断这种方法不太实用，至少会涉及较多的计算另一种方法是计算泛函的二级变分2J，如果对于所求得的解，泛函的二级变分取正(负)值，则该解即为极值函数，泛函取极小(大)这种方法当然比较简便，但如果二级变分为0，则需要继续讨论高级变分实际问题往往又特别简单：这就是在给定的边界条件下，EulerLagrange方程只有一个解，同时，从物理或数学内容上又能判断，该泛函的极值一定存在，那么，这时求得的唯一解一定就是所要求的极值函数,3.4约束条件下的变分问题,如果实际应用场合，只允许泛函的可取函数值能从符合一定条件的子集中选取，并寻找泛函驻定的极值，问题就成为约束条件下的变分问题。类似于约束条件下的函数极值方法求解，通过Lagrange乘法求解,设有二元函数f(x;y)，它取极值的必要条件是,先回忆一下多元函数的极值问题,还有二元函数的条件极值问题，即在约束条件,常用Lagrange乘子法来处理多元函数的条件极值问题,下求函数f(x;y)的极值问题，就可以引进Lagrange乘子，而定义一个新的二元函数,在约束条件,由此可以求出,代回到约束条件中，定出Lagrange乘子的数值，就可以求出可能的极值点(x;y),仍将x和y看成是两个独立变量，这样，这个二元函数取极值的必要条件就是(容易看出，消去，这就能化为上面给出的必要条件),一、微分方程形式的约束条件,附带约束条件,设待求Lagrange乘子,新的泛函,新的被积函数,新的变分,新的变分对应Euler方程,例求泛函,在边界条件,和约束条件,下的极值曲线,采用上面描述的Lagrange乘子法，可以得到必要条件,一、泛函方程形式的约束条件,附带约束条件,设待求Lagrange乘子,新的泛函,新的变分对应Euler方程,3.5线性算子方程化为变分方程,泛函,等价Euler方程,微分算子,积分算子,矩阵算子,。,一、正算子的确定性问题,等价,证明,算子正性和对成性得,所以，当U满足算子方程时，JU=min,第一步,第二步,是复常数,可以得到,且算子必须是正算子,二、下有界算子的本征值方程,定理一，下有界算子特征值方程的所有特征值都是实数，且任何两个本征值对对应的本征函数正交,定理二，本征值的最小值定理，本征值的最小值满足,设本征值序列若已知方程的前n个特征值及其特征向量，则后续特征值是泛函在约束条件下的极小值，满足泛函,定理三，后序本征值定理,目前求解特征问题可以选择方法,同确定性问题,通过求解特征值方程，可以求得与算子的维数相同个数的特征值以及特征向量，但是特征值越大，计算精度越差（正交性难以有效保证）,三、正定算子的广义本征值方程,定理一，正定算子广义特征值方程的所有广义特征值都是实数，且任何两个本征值对对应的本征函数广义正交,定理二，广义本征值的最小值定理，本征值的最小值满足,设本征值序列若已知方程的前n个特征值及其特征向量，则后续特征值是泛函在约束条件下的极小值，满足泛函,定理三，后序广义本征值定理,四、SL方程的泛函,3.6波动方程标准变分原理,内积定义,如前面的讲述，在如上内积定义下，要求算子方程必须自伴、正定，但是由于我们只关心原来的算子方程的解，至于在此点泛函到底是取极大点、极小点还是拐点