第三章 结构可靠性分析方法.ppt

3.1一次可靠度分析法,一次可靠度分析法(FirstOrderReliabilityMethod,FORM)计算结构构件可靠度的基本思路是：首先将结构构件功能函数Z=g(Xl，X2，Xn)展开成Taylor级数，忽略高阶项，仅保留线性项，再利用基本随机变量X=(Xl,X2,Xn)的一阶矩、二阶矩求取Z的均值z与标准差z，从而确定结构构件可靠指标。根据功能函数线性化点的取法不同以及是否考虑基本随机变量的分布类型，一次可靠度分析法分为：均值一次二阶矩法(中心点法)，改进的一次二阶矩法(验算点法)和JC法。,3.1一次可靠度分析法,泰勒(Taylor)中值定理(一元):如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到(n+1)阶导数，则当x在(a，b)时，f(x)可表示为(x-x0)的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和：,一元函数,3.1一次可靠度分析法,泰勒公式(二元):设z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内连续且有直到(n+1)阶导数，有：,一次可靠度分析常取前面两项。即线性项。可以推广至有n元情况,2.2.1均值一次二阶矩法,2.2一次可靠度分析法,1、均值一次二阶矩法(中心点法),当功能函数包含有多个相互独立的正态随机变量X=(Xl,X2,Xn)，状态函数为：Z=g(Xl，X2，Xn)。,随机变量标准差与其函数标准差的近似表达。,3.1.1均值一次二阶矩法,3.1一次可靠度分析法,1、均值一次二阶矩法(中心点法),计算步骤：,当功能函数包含有多个相互独立的正态随机变量X=(Xl,X2,Xn)，状态函数为：Z=g(Xl，X2，Xn)。(1)用各随机变量的均值代入功能函数，得出功能函数的均值Z；(2)求功能函数的标准差Z；(3)求和Pf。,将随机变量的均值代入,例题：可靠度分析,解：结构基本变量为fy和d，荷载极限状态方程：,右图所示圆截面直杆，承受拉力P=100KN，已知材料的强度设计值fy的均值fy=290MPa，标准差fy=25MPa，杆直径d的均值d=30mm，标准差d=3mm，求此杆的可靠指标。,例题：可靠度分析,解：结构基本变量为fy和d，应力极限状态方程：,右图所示圆截面直杆，承受拉力P=100KN，已知材料的强度设计值fy的均值fy=290MPa，标准差fy=25MPa，杆直径d的均值d=30mm，标准差d=3mm，求此杆的可靠指标。,均值一次二阶矩法简单，使用方便。但存在缺陷：其一是对同样条件下的同一结构，若采用不同的功能函数来描述结构的同一功能要求，将得出不同的值；其二是选取基本随机变量均值点作为功能函数的线性化点来求取将产生较大误差。,3.1.1均值一次二阶矩法,3.1一次可靠度分析法,2、可靠指标的几何意义,设Z=g(Xl，X2，Xn)是线性函数，极限状态方程为：,D(AX+BY)=A2D(X)+B2D(Y),3.1.1均值一次二阶矩法,3.1一次可靠度分析法,2、可靠指标的几何意义,将Xl，X2，Xn作标准化变换：,Ui在空间的均值为零，标准差为1。有：,原结构极限状态方程：,在空间极限状态方程：,3.1.1均值一次二阶矩法,3.1一次可靠度分析法,2、可靠指标的几何意义,该方程表示U空间中的一个超平面。由解析几何知识可知，在U空间中坐标原点(即中心点M)到此极限状态超平面的距离为：,在空间极限状态方程：,两维情况：Z=R-S,3.1.1均值一次二阶矩法,3.1一次可靠度分析法,2、可靠指标的几何意义,上式说明了可靠指标的几何意义：指在经过标准化变换得到的U空间中，从坐标原点(即中心点O)到相应的极限状态超平面的距离。当结构的功能函数为非线性函数时，可以得出相同的结论。中心点在可靠区内，它离开极限状态超平面越远，表明结果越可靠。,3.2.1改进的一次二阶矩法,3.2一次可靠度分析法-(改进一次二阶矩法),针对均值一次二阶矩法将功能函数线性化点取作基本随机变量均值点带来的问题，改进的一次二阶矩法将功能函数线性化点取在设计验算点，从而提高了计算的精度，并保证了对同一结构问题的唯一性。改进的一次二阶矩法也称为验算点法。当极限状态方程中包含有多个相互独立的正态随机变量X=(Xl,X2,Xn)，假设方程为：Z=g(Xl，X2，Xn)=0，则此超曲面Z=0上距离中心点M=(X1，X2，Xn)最近的点P=(x1，x2，xn)为设计验算点，简称验算点。显然，xi(I=1，2，n)满足极限状态方程：,3.2.1改进的一次二阶矩法,3.2一次可靠度分析法,偏导数在验算点的值,3.2.1改进的一次二阶矩法,3.2一次可靠度分析法,结构可靠指标为：,引入灵敏系数i,灵敏系数i实际上是各基本变量的不定性对可靠度影响的“权”，有：,于是有：,上式展开：,3.2.1改进的一次二阶矩法,3.2一次可靠度分析法,上式展开：,g(xi*)0，必有：,有x1，x2，xn和的方程组(n+1)：,解方程组可得验算点P*=(x1，x2，xn)和值。但这仅是理论上的结论，实际上求解此方程组是相当困难的。通常在给定Xi的统计参数Xi，Xi后，进行迭代运算，求出xi*和的近似值。,3.2.1改进的一次二阶矩法,3.2一次可靠度分析法,改进的一次二阶矩法迭代步骤：(第1步：假定=2.0)；第2步：设验算点为xi*，i=1,2,n，第一步取基本变量平均值xi*=Xi；第3步：计算非正态随机变量的当量正态分布均值和标准差；第4步：计算偏导数在验算点xi*的值；第5步：计算灵敏系数i在验算点xi*的值；,第6步：计算验算点xi*新值重复步骤36，直到灵敏系数i收敛(前后两次的之差的绝对值小于0.005)。一旦i收敛，就把作为未知参数。如果不检验的收敛性，则删除第1步。第7步：将视为未知数，把xi*值代入极限状态方程，解方程得出值，并计算设计验算点xi*的新值。第8步：重复步骤27，直至前后两次算出的值之差小于允许误差(一般0.01),代入当量标准差。,代入当量均值。,3.2.2JC法,3.2一次可靠度分析法-JC法,1、当量正态化一次二阶矩法适用于结构功能函数所含随机变量为独立、正态变量情况。但在可靠性分析中，极限状态方程常常包含非正态分布的随机变量。JC法的基本思路是：对非正态变量当量正态化，将其转换为等效正态随机变量，即可利用一次二阶矩法求结构可靠指标。“当量正态化”的条件是：(1)在设计验算点xi处，非正态变量Xi(其均值为Xi，标准差为Xi)的分布函数值FXi(xi)与当量正态变量Xi(其均值为Xi，标准差为Xi)的分布函数值Fxi(xi)相等；(2)在设计验算点xi处，非正态变量Xi的概率密度函数值fXi(xi)与当量正态变量Xi的概率密度函数值fXi(xi)相等。根据以上两个条件可以计算出当量正态分布的均值和标准差。,3.3.1JC法,3.3一次可靠度分析法,1、当量正态化,非正态分布函数,当量正态分布函数,第一个条件：分布函数相等。,3.3.1JC法,3.3一次可靠度分析法,1、当量正态化,非正态分布密度函数,当量正态分布密度函数,第二个条件：分布密度函数相等。,3.3.1JC法,3.3一次可靠度分析法,1、当量正态化,非正态分布密度函数,当量正态分布密度函数,第二个条件：分布密度函数相等。,3.3.1JC法,3.3一次可靠度分析法,1、当量正态化,当量正态化分析步骤：,(1)根据分布密度函数相等得出当量正态分布的标准差。,(2)根据分布函数相等得出当量正态分布的均值。,将验算点xi代入非正态分布函数，得一计算值，反查正态分布表，将该值代入标准正态分布密度函数得分子值。将验算点xi代入非正态分布密度函数，得分母值。,(2)在极限状态方程中，非正态随机变量的当量正态的均值和标准差求得后，即将问题化为正态变量的情形。,前提条件是必须得出非正态分布的分布函数和分布密度函数。,3.3.1JC法,3.3一次可靠度分析法,1、当量正态化,对于对数正态分布变量Xi，其分布函数和分布密度函数为：,分布密度函数：,在正态分布公式中令z=(t-)/，可将随机变量X标准化，标准化后的随机变量z服从标准正态分布。,对数正态分布的密度函数为：,正态分布的密度函数为：,3.3.1JC法,3.3一次可靠度分析法,1、当量正态化,对于对数正态分布的分布函数和分布密度函数：,由公式，当量标准差为：,由公式，当量均值为：,正态与对数正态分布转换P29页。,关键的两个公式：,例题：当量正态化,解：从前面的分析中得到如下公式：,设某随机变量服从对数正态分布，其样本均值和方差分别为：试求其当量正态分布的均值Xi和标准差Xi。,验算点xi即为均值点。题目已知的是样本的均值和方差，但公式中为样本取对数后的均值X和方差X。由P29页：,解方程组，可得均值X和标准差X。,对数当量正态化公式,Xi为样本的均值，X为样本的变异系数xi为验算点，Xi为当量正态分布的均值，Xi为当量正态分布的标准差。,例题：改进一次二阶矩法,解：1第一次迭代,已知极限状态方程Z=g(B,W)=BW-1140=0，随机变量B服从对数正态分布，平均值B=38，标准差B=3.8；随机变量W服从正态分布，平均值W=54，标准差W=2.7。求可靠指标值。,(2)取验算点x1=b=38，x2=W=54(为均值点)。,(3)对于B随机变量当量正态化，B=3.8/38=0.1。,对数正态分布当量正态化公式,(1)设=3。,(4),例题：改进一次二阶矩法,(6)计算设计验算点xi的新值：,(5)计算灵敏系数i在设计验算点的值xi。,重复步骤(3)(6)，直到灵敏系数i收敛(前后两次的i之差的绝对值小于允许误差(一般0.005)经过三次迭代，B和W的值收敛为0.8800674和0.4748486。此时计算的BN=36.698103，标准差BN=2.8942793；,例题：改进一次二阶矩法,(7)将视为未知数，把代入极限状态方程，解方程计算值，并计算设计验算点xi的新值。,(8)重复(2)(7)步，直到前后两次计算得到的相差小于0.01。,3.262-184.36+841.7=0两个解：一个为5.002，另一个为51.543，取第一个解,例题：,对于这种比较复杂的迭代计算，一般习惯于将计算结果列成一个表格。,3.3.2JC法,3.3一次可靠度分析法,2、相关随机变量的处理,对于随机变量相关的情形，需将它们先变换为相互独立的变量，然后再运用一次二阶矩法或改进的一次二阶矩法求可靠指标和失效概率。将相关变量变换为不相关变量的方法是：通过正交变换。(1)相关正态随机变量的情况假设相关正态基本随机变量Xi=(X1,X2,Xn)，其协方差矩阵为：,3.3.2JC法,3.3一次可靠度分析法,2、相关随机变量的处理,相关正态基本随机变量Xi=(X1,X2,Xn)，其协方差矩阵为：,如果Xi=(X1,X2,Xn)是不相关正态基本随机变量，其协方差矩阵为：,3.3.2JC法,3.3一次可靠度分析法,2、相关随机变量的处理,若Xi=(X1,X2,Xn)转换为不相关随机变量Yi=(Y1,Y2,Yn)，令：,将X值代入极限状态方程Z=g(X1,X2,Xn)=0，得:Z=f(Y1,Y2,Yn)=0式中：A是正交矩阵，表示D=ATCXAD矩阵为特征向量构成的矩阵，其对角上的值为对应不相关随机变量的方差。D即为不相关随机变量的协方差矩阵。,Matlab求解式为：V,D=eig(C)C=361;640;102A,D=eig(C),3.3.2JC法,3.3一次可靠度分析法,2、相关随机变量的处理,由Xi=(X1,X2,Xn)相关随机变量转换为不相关随机变量Yi=(Y1,Y2,Yn)的方法与步骤：,(1)根据相关随机变量Xi的协方差矩阵CX，求得特征值矩阵D(即不相关随机变量办方差矩阵)和正交矩阵A，由D可求得不相关随机变量的方差。由可得不相关随机变量的均值。(2)由X=(AT)-1Y，可得出Xi，将其代入极限状态方程Z=g(X1,X2,Xn)=0，得:Z=f(Y1,Y2,Yn)=0Z即为由不相关随机变量构成的极限状态方程。,例题：JC法,有一极限状态方程为：Z=50+5X1-4X2-2X3+X4，四个变量均为正态分布，X1，X2，X3为相关变量且协方差矩阵为：,均值标准差X1153.5X2103.0X3152.5X451.5,协方差矩阵：X1X2X3X112.25-52X2-59-4X32-46.25,求系统可靠性指标：(1)假设没有相关影响；(2)考虑相关影响。,解：(1)假设没有相关影响：用yi=(Xi-Xi)/Xi进行标准化处理。Z=50+5(y11+1)-4(y22+2)-2(y33+3)+(y44+4)=60+17.5y1-12y2-5y3+1.5y4,可靠指标的迭代过程为：y1y2y3y4Z100000602-2.201.510.63-0.192.750.03-2.21.510.63-0.192.750.0,例题：JC法,解：(2)考虑相关影响由协方差矩阵可得A和D,协方差矩阵：X1X2X3X112.25-52X2-59-4X32-46.25,C=12.2552;-594;2-46.25A,D=eig(C),D=3.12330007.028000017.3487,A=0.20680.6596-0.72260.66460.44730.59850.7180-0.6040-0.3459,EX=15;10;15EY=A*EX,EY=20.5178;5.3071;-10.0427,将Y标准化yi=(Yi-Yi)/Yi:,例题：JC法,将X代入至极限状态方程：,得Z=50+5X1-4X2-2X3+X4=60+21.96y1+7.072y2-5.33y3+1.5y4,Z极限状态方程中yi各变量不相关，且得出了其均值与方差，可用均值一次二阶矩法求解可靠指标。,可靠指标的迭代过程为：y1y2y3y4Z100000602-2.340.750.57-0.162.530.03-2.340.750.57-0.162.530.0,可以看出，考虑相关影响时，可靠指标为2.53，不考虑相关影响时，可靠指标增加，为2.75,3.4混沌优化可靠度分析法,3.4.1混沌优化混沌优化是利用Logistic迭代方程Xn+1=uXn(1-Xn)遍历(0,1)区间的混沌特性，用来搜索最优解的方法。Logistic迭代方程中u=4时，系统进入完全混沌状态。,Matlab模拟程序x1=0.8u=4fori=1:100 x1=u*x1*(1-x1)y(i)=x1endplot(1:100,y,*)holdonplot(1:100,y,-),3.4混沌优化可靠度分析法,3.4.1混沌优化迭代方程Xn+1=4Xn(1-Xn)遍历(0,1)区间的混沌特性，用来搜索最优解的方法。如求方程：f1=x2-32X+10的极小值。步骤：1)赋初值wmin=10000;2)迭代初值x1=0.82；3)混沌搜索区间10,20，xx1=a1+(a2-a1)*x1；4)搜索最优解200次；当计算f1wmin侧放弃记录；直到搜索达到200次。,%搜索最优解wmin=1000000 x1=0.82a1=10a2=20forii=1:200 x1=x1*4*(1-x1)xx1=a1+(a2-a1)*x1f1=xx1.2-32*xx1+10iff1wminrx=xx1wmin=f1endend,%画图fori=1:160 xx2=i*0.2ff1(i)=xx2.2-32*xx2+10j(i)=xx2endplot(j,ff1,-),设功能函数Z=R-S，R和S均为正态分布，R均值为3，方差为1，S均值为2，方差为1。值的几何意义是中心点M至P*点的最近距离。,2,2,3,S,R,1,P*,3.4混沌优化可靠度分析法,3.4.2混沌优化计算结构可靠度,%搜索最优解bt=10000 x1=0.512a1=0a2=4forii=1:200 x1=x1*4*(1-x1)xx1=a1+(a2-a1)*x1f1=sqrt(xx1-2)2+(xx1-3)2)iff1btrx=xx1bt=f1endend,M,计算方法与步骤：(1)取初始值wmin，迭代x0值(有m随机变量取m-1个初始值)，搜索范围，迭代次数N；(2)设Z=g(X1,X2,Xm)=0，有m个随机变量，将方程变为Xm=g(X1,X2,Xm-1)，确保搜索在超平面上进行。(3)进行混沌迭代，Vn+1,i=4*Vn,i(1-Vn,i)，i=1,2,(m-1)(4)将搜索值映射到搜索范围，VVi=a1+(a2-a1)*Vn+1,i；i=1,2,(m-1)(5)根据VVi值，计算Xm=g(X1,X2,Xm-1)，得到曲平面上的搜索点P*(VV1，VV1，VVm-1，Xm)(6)计算均值点M点至P*点的距离，得wz，如果wzwmin，放弃wz，转步(3)，继续迭代；(7)如果迭代达到规定的次数N，wmin即为M点至P*点的最小距离，即=wmin。,3.4混沌优化可靠度分析法,3.4.2混沌优化计算结构可靠度,例题：混沌优化可靠度分析方法,有一极限状态方程为：Z=50+5X1-4X2-2X3+X4，四个变量均为正态分布，X1，X2，X3为不相关随机变量，求系统可靠性指标。,均值标准差X1153.5X2103.0X3152.5X451.5,解：用yi=(Xi-Xi)/Xi进行标准化处理。Z=50+5(y11+1)-4(y22+2)-2(y33+3)+(y44+4)=60+17.5y1-12y2-5y3+1.5y4则中心点座标为(0,0,0,0)，搜索范围(-3,2)，计算程序如右侧：,可靠指标的迭代计算结果为：y1y2y3y4Z100000602-2.201.510.63-0.192.750.03-2.21.510.63-0.192.750.0,wmin=100 x1=0.512;x2=0.485;x3=0.31a1=-3;b1=2;forii=1:1000 x1=x1*4*(1-x1)xx1=a1+(b1-a1)*x1x2=4*x2*(1-x2)xx2=a1+(b1-a1)*x2x3=4*x3*(1-x3)xx3=a1+(b1-a1)*x3xx4=-(60+17.5*xx1-12*xx2-5*xx3)/1.5f1=sqrt(xx12+xx22+xx32+xx42)iff1wminrx=xx1xx2xx3xx4wmin=f1endendz=60+17.5*xx1-12*xx2-5*xx3+1.5*xx4,蒙特卡洛(MonteCarl)法又称随机模拟法或统计试验法，它源于第二次世界大战期间，VonNeuman和Ulam在对裂变物质的中子随机扩散进行直接模拟中，以世界闻名的赌城蒙特卡洛作为该研究的秘密称呼而得名。设功能函数Z=g(X1,X2,Xn)，式中：Xi(i=1,2,n)为具有任意分布的随机变量。对Xi进行N次抽样，得N组Xij(i=1,2,n；j=1,2,N)随机变量样本。将第j组的Xij(i=1,2,n)的值代入功能函数Zj=g(X1,X2,Xn)，如果N个Zj值中有Nf个Zj0，则结构失效的概率为：,3.5蒙特卡洛模拟,3.5.1蒙特卡洛模拟的基本原理,当N时，根据伯努利大数定理，Pf=Nf/N。与其它可靠性分析方法相比，蒙特卡罗模拟应重点解决两个基本问题：一是模拟的精度和效率，这主要涉及随机抽样数N，二是任意分布随机变量的随机抽样方法。,由于随机抽样试验是概率为p的伯努利试验，所以估计值Pf的期望为：,3.5蒙特卡洛模拟,3.5.2蒙特卡洛模拟的精度和效率,K/2为标准正态分布的百分位值，K/2与的关系为：K/20.012.57580.022.32630.051.96,Pf的方差为：,Pf的标准差为：,是伯努利试验的方差。,根据概率统计检验，显著水平为的置信区间为,3.5蒙特卡洛模拟,3.5.2蒙特卡洛模拟的精度和效率,由,误差为：,需要的试验次数为,当p较小时，所需的试验次数N较大，随着N的增大，误差减小并趋于收敛。当p=0.001，=20，K/2=1.962时,当p=0.1，=20，K/2=1.962时,3.5蒙特卡洛模拟,3.5.3蒙特卡洛模拟的随机变量抽样方法,随机变量的抽样是通过产生随机数的方法来完成。通常要分两步进行：(1)产生在区间0,1上的均匀分布随机数；(2)变换成给定分布的随机数。人们已提出了各种数学方法产生均匀分布随机数，例如取中法、加同余法、乘同余法、混合同余法和组合同余法。1、混合同余法产生伪随机数的方法为：,3.5蒙特卡洛模拟,3.5.3蒙特卡洛模拟的随机变量抽样方法,1、混合同余法产生伪随机数的方法为：,如果M=16,a=5,c=2,x0=7ixiaxi+cmod(axi+c,16)ui173866/16263311/1631888/1648431111/16.,要求c与M互为质数；若M能被4整除，则a-1也能被4整除。,x1=7;a=5;c=3;m=16fori=1:40 x1=mod(x1*a+c),m)xx(i)=x1jj(i)=iendplot(jj,xx,-)holdonplot(jj,xx,*),3.5蒙特卡洛模拟,3.5.3蒙特卡洛模拟的随机变量抽样方法,2、正态分布随机数产生,如果M=16,a=5,c=3,x0=7,x1=7;a=5;c=3;m=16fori=1:40 x1=mod(x1*a+c),m)ifx11x1=7endxx(i)=x1jj(i)=iendu=xx/16fori=1:2:30 x(i)=(sqrt(-2.0*log(u(i)*cos(2*pi*u(i+1)x(i+1)=(sqrt(-2.0*log(u(i)*sin(2*pi*u(i+1)j(i)=ij(i+1)=i+1endplot(j,x,-)holdonplot(j,x,*),产生40个标准正态随机数,3.5蒙特卡洛模拟,3.5.3蒙特卡洛模拟的随机变量抽样方法,2、正态分布随机数产生,如果M=16,a=5,c=3,x0=7正态分布均值为100,标准差为20,x1=7;a=5;c=3;m=16fori=1:40 x1=mod(x1*a+c),m)ifx11x1=7endxx(i)=x1jj(i)=iendu=xx/16fori=1:2:30 x(i)=(sqrt(-2.0*log(u(i)*cos(2*pi*u(i+1)*20+100 x(i+1)=(sqrt(-2.0*log(u(i)*sin(2*pi*u(i+1)*20+100j(i)=ij(i+1)=i+1endplot(j,x,-)holdonplot(j,x,*),产生30个一般正态分布随机数,在正态分布公式中令z=(t-)/，可将随机变量X标准化，标准化后的随机变量z服从标准正态分布。则：t=+z,3.5蒙特卡洛模拟,3.5.3蒙特卡洛模拟的随机变量抽样方法,3、对数正态分布随机数产生对数正态分布随机数可以由正态分布随机数转化而来。假设随机变量X服从对数正态分布，则随机变量Y=lnX服从正态分布。Y的标准差和变异系数可以由X的标准差和变异系数求得：然后根据正态分布随机数产生的方法求得Y的随机数yi，则xi服从对数正态分布的随机数为xi=exp(yi)。,3.5蒙特卡洛模拟,3.5.3蒙特卡洛模拟的随机变量抽样方法,3、对数正态分布随机数产生,对数正态分布随机数产生随机数方法如下：(1)首先求相应正态分布的均值和标准差。,(3)xi服从对数正态分布的随机数为xi=exp(yi)。,(2)产生正态分布随机变量,一般正态分布,3.5蒙特卡洛模拟,3.5.3蒙特卡洛模拟的随机变量抽样方法,2、对数正态分布随机数与正态分布随机数产生的区别,如果M=16,a=5,c=3,x0=7，样本均值为100，标准差为20,x1=7;a=5;c=3;m=16fori=1:40 x1=mod(x1*a+c),m)ifx11x1=7endxx(i)=x1jj(i)=iendu=xx/16fori=1:2:30 x(i)=(sqrt(-2.0*log(u(i)*cos(2*pi*u(i+1)*20+100 x(i+1)=(sqrt(-2.0*log(u(i)*sin(2*pi*u(i+1)*20+100j(i)=ij(i+1)=i+1endplot(j,x,-)holdonplot(j,x,*),产生30个一般正态分布随机数,x1=7;a=5;c=3;m=16fori=1:40 x1=mod(x1*a+c),m)ifx11x1=7endxx(i)=x1jj(i)=iendu=xx/16d=0.1;mu=log(100/sqrt(1+0.22);m=log(1+0.22)fori=1:2:30 x(i)=(sqrt(-2.0*l