欧几里德空间知识点总结PPT课件

.,1,计算题1、求正交矩阵2、对称矩阵正交对角化3、正交变换求二次型的标准形证明题1、正次矩阵与正交变换的相关性质2、对称矩阵与对称变换的相关性质3、实对称矩阵的定性,主要题型,.,2,一、正交矩阵,1、设,则下列条件等价:,A为正交矩阵,A可以看作是两组标准正交基的过渡矩阵.,.,3,A为正交矩阵,A为正交矩阵,A为正交矩阵,2正交矩阵的判定方法,.,4,3、运算性质,正交矩阵的转置/逆为正交矩阵,正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵,正交矩阵之积/幂为正交矩阵,例2、证明上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上元素为1或1。,例1、P193-194习题1、2、3、4、11,.,5,例3、（1）设A为一个阶实矩阵且，证明A可以分解成，其中是正交阵，为上三角阵，且，并证明这个分解是唯一的。,（2）设A为n阶正定矩阵，证明存在一上三角形矩阵P，使。,（P188习题7）,（R称为正线上三角）,.,6,二、正交变换,1.定义,欧氏空间V的线性变换如果保持向量的内积不变，,则称为正交变换.,1）正交变换的逆变换是正交变换；,2）正交变换的乘积还是正交变换,注.n维欧氏空间V的正交变换是V到自身的同构映射,.,7,下述命题是等价的：,2、设是n维欧氏空间V的一个线性变换.,4）保持向量间的距离不变，即,3）保持向量长度不变，即,1）是正交变换；,5）把标准正交基变成标准正交基；,6）在任一标准正交基下的矩阵为正交矩阵；,保持向量的内积不变,即,2）,.,8,注维欧氏空间中正交变换的分类：,设维欧氏空间V中的线性变换在标准正交基,1）如果则称为第一类的（旋转）;,2）如果则称为第二类的（反射）,下的矩阵是正交矩阵A，则,则是第二类正交交换(称之为镜面反射)（P194习题6）,如:设是欧氏空间V中的一个单位向量，定义,.,9,例2、证明第二类正交变换必有特征值1。（利用正交变换与正交矩阵的对应关系）,例1、P194习题5、6、8、,.,10,三、实对称矩阵与对称变换,1.实对称矩阵的标准形,1）实对称矩阵的特征值为实数；实反对称阵的特征值为0或纯虚数;,2）实对称矩阵不同特征值的特征向量正交；,3）,(定理)对总有正交矩阵P，使,4)正定的充要条件是A的特征根全大于0.,.,11,(i)求出A的所有不同的特征值：,其重数必满足;,(ii)对每个，解齐次线性方程组,求解步骤,求出它的一个基础解系：,它是A的属于特征值的特征子空间的一组基,正交基,把它们按正交化过程化成的一组标准,.,12,(iii)因为互不相同，,且,就是V的一组,所以,矩阵P的第1，2，n列，,使为对角形,标准正交基,.,13,2.对称变换定义,欧氏空间V的线性变换，如果,则称为对称变换.,注.,对称变换的特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量正交；,.,14,下述命题是等价的：,3、设是n维欧氏空间V的一个线性变换.,1）是对称变换；,3）在任一标准正交基下的矩阵是对称矩阵；,2）,4、设为欧氏空间V上的一个对称变换，则在V中必存在一组标准正交基使得在这组基下的矩阵的对角矩阵。,.,15,例1、P199习题1、2、3、,例2、设A的特征值为1，1,0对应1，1的特征向量依次为求A。(类似P198例3、P199习题4),例3、P199习题4,.,16,思考：,证明存在可逆阵P,使得,.,17,例6、（1）设为反对称矩阵，证明：,可逆，且,是正交矩阵.,（注意：反对称实矩阵的特征值只能是0或纯虚数）,（P395习题16）,（2）设,.,18,例7、设是维欧氏空间的一个对称变换,证明：是的正交补。P199习题8,例8、P199习题10,.,19,例9、设是维欧氏空间的一个线性变换。证明如果满足下列三个条件中的任意两个，那么,它必然满足第三个：,（1）,（2）,（3）,是单位变换.,是对称变换;,是正交变换;,.,20,例10、(1)证明：两个对称变换的和还是对称变换。,(2)两个对称变换的乘积是不是对称变换？(3)找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.,.,21,定理任一n元实二次型,都可以通过正交的线性替换变成平方和,其中平方项的系数为A的全部特征值,四、二次型的标准形及实对称阵的定性,.,22,设为实对称矩阵A的所有特征值,(i)A为正定的,(ii)A为半正定的,(iii)A为负定（半负定）的,(v)实对称矩阵A的正、负惯性指数分别为正、负特,特征值的个数（重根按重数计）,(vi)当A退化时,n秩(A)是0为A的特征值的重数.,.,23,例1、设二次型通过正交线性替换化为标准形求a,b及所用的正交线性替换。,（类似P199习题5）,例2、设A是正定实对称矩阵，证明：,.,24,例3、设都是实对称矩阵，