第8章阻抗与导纳

第8章阻抗和导纳,第三篇动态电路的相量分析法,第9章正弦稳态功率和能量,第10章频率响应多频正弦稳态电路,第11章耦合电感和理想变压器,第12章拉普拉斯变换在电路分析中的应用,第八章阻抗和导纳,8-1变换方法的概念,8-4相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式,8-6VCR相量形式的统一阻抗和导纳的引入,8-7正弦电路与电阻电路的类比相量模型的引入,8-5三种基本电路元件VCR的相量形式,8-8正弦稳态混联电路的分析,8-10相量模型的等效,8-11有效值有效值相量,8-12两类特殊问题相量图法,8-2复数,8-3振幅相量和有效值相量,8-9相量模型的网孔分析和节点分析,正弦交流电路是指含有正弦电源(激励)而且电路各部分所产生的电压和电流(稳态响应)均按正弦规律变化的电路。,正弦交流电路(稳态电路)的基本概念,在生产和生活中普遍应用正弦交流电，特别是三相电路应用更为广泛。,本章和下一章将介绍正弦稳态电路的一些基本概念、基本理论和基本分析方法。,交流电路具有用直流电路的概念无法理解和分析的物理现象，因此在学习时注意建立交流的概念，以免引起错误。,正弦电压与电流,直流电路在稳定状态下电流、电压的大小和方向是不随时间变化的，如图所示。,t,IU,0,正弦电压和电流是按正弦规律周期性变化的，其波形如图所示。,正半周,负半周,电路图上所标的方向是指它们的参考方向，即代表正半周的方向。,负半周时，由于电压（或电流）为负值，所以其实际方向与参考方向相反。,+,一、周期电压和电流按周期变化，即经过相等的时间重复出现的电压和电流。,u(t)=Umcost,u(t)=Umsin(t+/2),Um振幅角频率,i(t)=Imcos(t+),二、正弦电压和电流随时间按正弦（余弦）规律变化的电压和电流。,正弦量的三要素,1.频率与周期,T,周期T：正弦量变化一周所需要的时间；,角频率:,例我国和大多数国家的电力标准频率是50Hz，试求其周期和角频率。,解,=2f=23.1450=314rad/s,Im,t,i,0,频率f：正弦量每秒内变化的次数；,Im,交流电每交变一个周期便变化了2弧度，即T=2,2.幅值与有效值,t,Im,i,0,Im,同理可得,当电流为正弦量时,瞬时值是交流电任一时刻的值。用小写字母表示如:i,u,e分别表示电流、电压电动势的瞬时值。,最大值是交流电的幅值。用大写字母加下标表示,如:Im,Um,Em,有效值交流电流通过一个电阻时在一个周期内消耗的电能,与某直流电流在同一电阻、相同时间内消耗的电能相等,这一直流电流的数值定义为交流电的有效值，用大写字母表示,如:I、U、E。,i(t)=Imcos(t+i),Ri2dt=RI2T,(t+)称为正弦量的相位角或相位。它反映出正弦量变化的进程。,3.初相位,对于正弦量而言，所取计时起点不同，其初始值(t=0时的值)就不同，到达某一特定值（如0值）所需的时间也就不同。,例如:,t=0时的相位角称为初相位角或初相位。,若所取计时起点不同，则正弦量初相位不同。,i(t)=Imcost,i(t)=Imcos(t+),t=0时，i(0)=Im,i(0)=Imcos,4.相位差,i2超前i1,i2滞后i1,t,i1,0,t,i1,0,t,i1,0,t,i1,0,t,i1,0,i1与i2反相,i1与i2同相,i1与i2正交,在一个交流电路中，通常各支路电流(电压)的频率相同，而相位常不相同。,8.1变换方法的概念,正弦电量（时间函数）,正弦量运算,所求正弦量,变换,相量（复数）,相量结果,反变换,相量运算(复数运算),正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素,它们除了用三角函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同频率的正弦量。,正弦量的相量表示法就是用复数来表示正弦量。,相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学工具，应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。,例如：已知两个支路电流i1=I1mcos(t+i1)i2=I2mcos(t+i2)若求：i1+i2,有向线段可用复数表示,8.2复数,设A1=a1+jb1=r11,复数运算,A2=a2+jb2=r22,则A1A2=(a1a2)+j(b1b2),A1A2=r1r2(1+2),代数式,极坐标式,或指数式,cos+jsin=ej,由欧拉公式：,A=a+jb=r(cos+jsin)=rej=r,代数式,三角式,指数式,极坐标式,a=rcos,b=rsin,辐角,模,a,A,0,b,r,8-3振幅相量和有效值相量,由欧拉恒等式，ej=cos+jsin,令=t+,Imej(t+)=Imcos(t+)+jImsin(t+),设i(t)=Imcos(t+),ReImej(t+)=Imcos(t+)=i(t),ImImej(t+)=Imsin(t+),Re(ej)=cos,Im(ej)=sin,Imej(t+)=Imcos(t+)+jImsin(t+),设i(t)=Imcos(t+),i(t)=Imcos(t+)=ReImej(t+)=ReImejejt,由欧拉恒等式ej=cos+jsin,式中,称为正弦电流i(t)的振幅相量或幅值相量,称为正弦电流i(t)的有效值相量,8-3振幅相量和有效值相量,+1,+j,0,t1+,Im,t,i,0,t1,A,t2,A,i=Imsin(t+),i,t,t1,有向线段长度是Im，t=0时，与横轴的夹角是，以角速度逆时针方向旋转，它在实轴上的投影，即为正弦电流的瞬时值i=Imcos(t+),t=t1时，i(t1)=Imcos(t1+),i=Imcos(t+),0,t2,由以上分析可知，一个复数由模和辐角两个特征量确定。而正弦量具有幅值、初相位角和频率三个要素。但在分析线性电路时，电路中各部分电压和电流都是与电源同频率的正弦量，因此，频率是已知的，可不必考虑。故一个正弦量可以由幅值和初相位两个特征量来确定。,比较复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为正弦量的幅值(或有效值)，复数的辐角即为正弦量的初相位。,为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量，用在大写字母上打一“”的符号表示。,8-3振幅相量和有效值相量,=Ia+jIb=Icos+jIsin=Iej=I,=Iam+jIbm=Imcos+jImsin=Imej=Im,相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流电是时间的函数，所以二者之间并不相等。,正弦量用旋转有向线段表示用复函数表示。同频率正弦量可以用复数来表示，称之为相量。用大写字母上打“”表示。,i=Imcos(t+),最大值相量,有效值相量,0,相量图,例：已知某正弦电压Um=311V，f=50Hz，u=30,试写出此电压的瞬时值表达式、最大值相量和有效值相量，画出相量图，求出t=0.01s时电压的瞬时值。,解：,瞬时值u=311cos(100t+30)V,u(0.01)=311cos(1000.01+30),=269.3V,有效值相量,最大值相量,有效值,电压的瞬时值,相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流电是时间的函数，二者之间并不相等。,按照正弦量的大小和相位关系画出的若干个相量的图形，称为相量图。,结论,只有正弦量才能用相量表示；,只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上；,相量图,i1,i2,例若i1=I1mcos(t+i1)i2=I2mcos(t+i2)，已知:i1=30，i2=65，I1m=2I2m试:画出相量图。,i3(t)=7cos(314t+60)A,写出相量，绘相量图,=7cos(314t120)A,例:,i3(t)=7cos(314t+60),解：,8-4相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式,1.相量的线性性质,表示若干个同频率正弦量(可带有实系数)线性组合的相量等于表示各个正弦量的相量的同一线性组合。,如设两个正弦量分别为：,i1(t)=Im1cos(t+1),设k1和k2为两个实数，则正弦量i(t)=k1i1(t)+k2i2(t)可用相量表示。,i2(t)=Im2cos(t+2),例若已知i1=I1mcos(t+1)=100cos(t+45)A，i2=I2mcos(t+2)=60cos(t30)A，试求i=i1+i2。,解,于是得i2=129cos(t+18.33)A,正弦电量的运算可按下列步骤进行,例若已知i1=I1mcos(t+i1)、i2=I2mcos(t+i2)，用相量图求解i1+i2。,i=Imcos(t+i),解：（1）用相量图法求解,i1,i2,i,（2）用复数式求解,2.相量的微分性质,这一性质包含两个内容：,8-4相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式,i1=I1mcos(t+1),i2=I2mcos(t+2),i3=I3mcos(t+3),由KCL，对结点Ai1+i2i3=0,结点A的电流相量表达式为,基尔霍夫定律相量形式KCL,注意,KVL,Im0，即,I1m+I2mI3m0,i=0,u=0,8-4相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式,I0，即,电路分析是确定电路中电压与电流关系及能量的转换问题。,8.6.1电阻元件的交流电路,本节从电阻、电容、电感两端电压与电流一般关系式入手，介绍在正弦交流电路中这些理想元件的电压与电流之间的关系，为分析交流电路奠定基础。第九章再讨论功率和能量转换问题。,电压与电流的关系,在电阻元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图所示。,根据欧姆定律,设,则,式中,或,可见，R等于电压与电流最大值或有效值之比。,8-5三种基本电路元件VCR的相量形式,i(t)=Imcos(t+),u(t)=RImcos(t+)=Umcos(t+),电压与电流同频率、同相位；,电压与电流的关系,电压与电流大小关系,电压与电流相量表达式,相量图,8.6.1电阻元件的交流电路,i(t)=Imcos(t+),u(t)=RImcos(t+)=Umcos(t+),设,XL,感抗,电压与电流的关系,由,，有,感抗与频率f和L成正比。因此，电感线圈对高频电流的阻碍作用很大，而对直流可视为短路。,8.6.2电感元件的交流电路,设在电感元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。,XL与f的关系,i=Imcost,u=LImsint=Umcos(t+90),单位：,（1）u和i的频率相同；,（2）u在相位上超前于i90；,（3）u和i的最大值和有效值之间的关系为：Um=XLImU=XLI,用相量法可以把电感的电压和电流的以上三方面关系的(2)和(3)统一用相量表示：,即:jI=Iej90=Iejej90=Iej(+90),由上面的分析可知电感的电压和电流的关系为,电压与电流的关系,电压超前电流90；,相量图,电压与电流大小关系,8.6.2电感元件的交流电路,i=Imcost,u=Umcos(t+90),波形图,t,0,Um=XLIm,解：,XL2=2f2L=3140,=0.31860A,=,=0.0031860A,XL1=2f1L=31.4,30,60,=3.1860mA,容抗,设,电压与电流的关系,得,由,8.6.3电容元件的交流电路,XC与f的关系,设在电容元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。,式中,容抗与频率f，电容C成反比。因此，电容元件对高频电流所呈现的容抗很小，而对直流所呈现的容抗趋于无穷大，故可视为开路。,u=Umcost,i=CUmsint=Imcos(t+90),单位：,（1）u和i的频率相同；,（2）i在相位上超前于u90；,（3）u和i的最大值或有效值之间的关系为：Um=XCImU=XCI,用相量法可以把电容的电压和电流的上面三方面的关系的(2)和(3)统一用相量式表示：,由上面的分析可知电容的电压和电流的关系为,波形图,t,0,电流超前电压90,相量图,电压与电流大小关系,电压与电流的关系,8.6.3电容元件的交流电路,u=Umcost,i=CUmcos(t+90),Um=XCIm,例：下图中电容C=23.5F，接在电源电压U=220V、频率为50Hz、初相为零的交流电源上。求：电流i，该电容的额定电压最少应为多少伏？,额定电压311V。,解:容抗,i=Imcos(t+90),=2.3cos(314t+90),1.纯电阻元件交流电路,u=iR,电压与电流同频率、同相位,电压与电流大小关系U=RI或Um=RIm,电压超前电流90,电压与电流大小关系U=IXL，XL=L,2.纯电感元件交流电路,电流超前电压90,电压与电流大小关系U=IXC，XC=1/C,3.纯电容元件交流电路,小结：单一参数的交流电路,(一)纯电阻元件交流电路,电压与电流相量表达式,电压与电流相量表达式,(二)纯电感元件交流电路,(三)纯电容元件交流电路,电压与电流相量表达式,欧姆定律的相量形式,称为复数阻抗，简称阻抗，单位：,称为复数导纳，简称导纳，单位：S,8-6VCR相量形式的统一阻抗和导纳的引入,u=iR,相量模型：电压、电流用相量表示，电路参数用复数阻抗表示。,8-7正弦电路与电阻电路的类比相量模型的引入,和计算复杂直流电路一样，正弦稳态混联电路也可应用支路电流法、网孔分析法、节点分析法、叠加原理和戴维南定理等方法来分析与计算。所不同的是电压、电流应以相量表示，电阻、电感和电容及其组成的电路应以复数阻抗或复数导纳来表示。即正弦稳态混联电路用其相量模型表示。,8-8正弦稳态混联电路的分析,基尔霍夫定律的相量形式,欧姆定律的相量形式,根据KVL可列出,1.电阻、电感与电容元件串联的交流电路,如用相量表示电压与电流关系，可把电路模型改画为相量模型。,电路的阻抗，用Z表示。,Z,KVL相量表示式为,电压电流关系,Z=,R+j(XL-XC),XL-XC=X,阻抗模,阻抗角,复数阻抗,电压电流关系,jXL,R,jXC,+,+,+,+,电抗,阻抗三角形,阻抗模,阻抗角,Z=,=,=,=ui,当XLXC时,X0，0，电路中电压超前电流,电路呈电感性；,当XLXC时,X0，0，则电压滞后电流，电路呈电容性；,当XL=XC,X=0，=0，则电流与电压同相，电路呈电阻性。,电压电流关系,的大小和正负由电路参数决定。,为正时电路中电压电流相量图,阻抗三角形,电压有效值之间关系,电压三角形,两个三角形相似,解：1.感抗,XL=L=31412710-3=40,复阻抗模,复阻抗模,=50,解：1.,XL=40,XC=80,2.电压相量,=22045V,=,=,=,=,4.498A,I=4.4A,i=4.4cos(314t+98)A,电流有效值,瞬时值,求：1.感抗、容抗及复阻抗的模；2.电流的有效值和瞬时值表达式；3.各元件两端电压瞬时值表达式。,解：1.,XL=40,XC=80,2.,=22045V,电压相量,=,=,=,=,4.498A,求：1.感抗、容抗及复阻抗的模；2.电流的有效值和瞬时值表达式；3.各元件两端电压瞬时值表达式。,=4598=53,容性电路,XC=8,例2:电路如图,已知R=3,电源电压u=17cos314tV,jXL=j4。求：1.容抗为何值(设容抗不等于零)？开关S闭合前后,电流的有效值不变,其值等于多少？2.当S打开时,容抗为何值使电流I最大,其值为多少？,I=2.4A,XLXC=XL,Y=G+j(BCBL),R、L、C并联电路的导纳：,U,Y=,（1）导纳,2.R、L、C并联电路,C,R,L,i,u,+,iR,iL,iC,8-8正弦稳态混联电路的分析,设u=Umcost,相量图,jL,IL,IC,R,IR,-,（2）相量图,2.R、L、C并联电路,+,（2）相量图,电流三角形,例：已知IL=5A,IC=2A,IR=4A,求：电流的有效值I。,2.R、L、C并联电路,3.混联交流电路,设u=Umcost,相量图,u,iRL,uR,uL,C,L,+,+,+,R,jL,R,+,+,+,8-8正弦稳态混联电路的分析,j4,Z1,3,2,1090A,1,-j7,Z2,I1,解：,由KCL,和计算复杂直流电路一样，复杂交流电路也可以用网孔电流法、节点分析法、叠加原理和戴维南定理等方法来分析和计算。所不同的是电量以相量U、I表示，元件R、L、C应以阻抗或导纳表示，即相量模型。,电阻(直流)电路和正弦稳态电路的对应关系为,电阻电路：UIUSISR,8-9相量模型的网孔分析和节点分析,例1：试列出图示电路的网孔方程组。,网孔方程组,辅助方程,解：,3,j2,j,j3,2,1,2,5I,10/30,例2：试列出图示电路的节点方程组。,节点方程组,辅助方程,解：,1,2,3,4,10/30,3,j2,j,j3,2,一、无源单口网络的等效,2.正弦稳态电路,Zab(j)=R()+jX(),Yab(j)=G()+jB(),8-10相量模型的等效,1.电阻电路,Z1,Z2,Z=Z1+Z2,若Z1=R1+jX1,Z2=R2+jX2,则Z=R1+jX1+R2+jX2=(R1+R2)+j(X1+X2),一般,1.阻抗的串联,UU1+U2,+,阻抗的串联与并联,2.阻抗的并联,等效电路,一般,II1+I2