多元函数微分基本概念

推广,第八章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意:善于类比,区别异同,多元函数微分法,.,第八章,第一节,一、区域,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,多元函数的基本概念,.,一、区域,1.邻域,点集,称为点P0的邻域.,例如,在平面上,(圆邻域),在空间中,(球邻域),说明：若不需要强调邻域半径,也可写成,点P0的去心邻域记为,.,在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为,。,因为方邻域与圆,邻域可以互相包含.,.,2.区域,(1)内点、外点、边界点,设有点集E及一点P:,若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)E=,若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E,则称P为E的内点；,则称P为E的外点;,则称P为E的边界点.,的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的,边界点可能属于E,也可能不属于E.,.,(2)聚点,若对任意给定的,点P的去心,邻域,内总有E中的点,则,称P是E的聚点.,聚点可以属于E,也可以不属于E,(因为聚点可以为,所有聚点所成的点集成为E的导集.,E的边界点),.,(3)开区域及闭区域,若点集E的点都是内点，则称E为开集；,若点集EE,则称E为闭集；,若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.,则称D是连通的;,连通的开集称为开区域,简称区域;,。,E的边界点的全体称为E的边界,记作E;,.,例如，在平面上,开区域,闭区域,.,整个平面,点集,是开集，,是最大的开域,也是最大的闭域;,对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点,A的距离APK,则称D为有界域,界域.,否则称为无,它不是区域，因为它不是连通的开集,.,*3.n维空间,n元有序数组,的全体所构成的集合记作,即,中的每一个元素用单个粗体字母x表示,即,定义:,线性运算,其元素称为点或,n维向量.,xi称为x的第i个坐标或第i个分量.,称为n维空间,.,的距离定义为,中点a的邻域为,与零元0的距离为,则称x,显然,趋于a,.,二、多元函数的概念,引例:,圆柱体的体积,定量理想气体的压强,三角形面积的海伦公式,.,定义1.设非空点集,点集D称为函数的定义域;,数集,称为函数的值域.,特别地,当n=2时,有二元函数,当n=3时,有三元函数,映射,称为定义,在D上的n元函数,记作,.,例如,二元函数,定义域为,圆域,说明:,二元函数z=f(x,y),(x,y)D,图形为中心在原点的上半球面.,的图形一般为空间曲面.,三元函数,定义域为,图形为,空间中的超曲面.,单位闭球,.,三、多元函数的极限,定义2.设n元函数,点,则称A为函数,(也称为n重极限),当n=2时,记,二元函数的极限可写作：,P0是D的聚,若存在常数A,对一,记作,都有,对任意正数,总存在正数,切,.,例1.设,求证:,证:,故,总有,要证,.,例2.设,求证：,证：,故,总有,要证,.,若当点,趋于不同值或有的极限不存在，,解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.,则可以断定函数极限,则有,k值不同极限不同!,在(0,0)点极限不存在.,以不同方式趋于,不存在.,例3.讨论函数,函数,.,例4.求,解:因,而,此函数定义域不包括x,y轴,则,故,.,方法2,见到此类问题，用极坐标替换法，也可以得前面的结论：令,.,仅知其中一个存在,推不出其他二者存在.,注.二重极限,不同.,如果它们都存在,则三者相等.,例如,显然,与累次极限,但由例3知它在(0,0)点二重极限不存在.,例3,.,四、多元函数的连续性,定义3.设n元函数,定义在D上,如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上,如果存在,否则称为不连续,此时,称为间断点.,则称n元函数,连续.,连续,.,例如,函数,在点(0,0)极限不存在,又如,函数,上间断.,故(0,0)为其间断点.,在圆周,结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.,.,定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则,*(4)f(P)必在D上一致连续.,在D上可取得最大值M及最小值m;,(3)对任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),(一致连续性定理),闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:,(证明略),.,解:原式,例5.求,例6.求函数,的连续域.,解:,.,内容小结,1.区域,邻域:,区域,连通的开集,2.多元函数概念,n元函数,常用,二元函数,(图形一般为空间曲面),三元函数,.,有,3.多元函数的极限,4.多元函数的连续性,1)函数,2)闭域上的多元连续函数的性质:,有界定理;,最值定理;,介值定理,3)一切多元初等函数在定义区域内连续,.,备用