北师大版九下数学第一章单元测试题

北师大版九下数学第一章单元测试题一选择题（共10小题）1如图，在RtABC中，BAC=90，ADBC于点D，则下列结论不正确的是（）ABCD2在正方形网格中，的位置如图所示，则tan的值是（）ABCD23在ABC中，C=90，a、b、c分别为A、B、C的对边，下列各式成立的是（）Ab=asinBBa=bcosBCa=btanBDb=atanB4sin30的值为（）ABCD5已知为锐角，且sin=，那么的余弦值为（）ABCD6在ABC中，若|sinA|+（tanB）2=0，则C的度数为（）A30B60C90D1207已知为锐角，sin（20）=，则=（）A20B40C60D808在RtABC中，C=90，sinA=，BC=6，则AB=（）A4B6C8D109如图，点P在第二象限，OP与x轴负半轴的夹角是，且OP=5，cos=，则点P坐标是（）A（3，4）B（3，4）C（4，3）D（3，5）10如图ABC中，tanC=，DEAC，若CE=5，DE=1，且BEC的面积是ADE面积的10倍，则BE的长度是（）AtBCD二填空题（共10小题）11如图，ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC=12在ABC中，C=90，AB=13，BC=5，则sinA的值是13在RtABC中，C=90，如果AC=4，sinB=，那么AB=14tan60=15已知在RtABC中，C=90，tanA=，则sinA=16计算tan1tan2tan3tan88tan89=17求值：sin60tan30=18如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（1，0），ABO=30，线段PQ的端点P从点O出发，沿OBA的边按OBAO运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为19已知ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则ABC面积的所有可能值为20已知点P是ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫ABC的费马点（Fermat point）已经证明：在三个内角均小于120的ABC中，当APB=APC=BPC=120时，P就是ABC的费马点若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=三解答题（共10小题）21ABC中，C=90，BC=3，AB=5，求sinA，cosA，tanA的值22 计算：4sin452tan30cos30+23 计算：24在锐角ABC中，AB=15，BC=14，SABC=84，求：（1）tanC的值；（2）sinA的值25如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sinECM的值26 在ABC中，B、C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证：=27如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：A=90，ABD=60，CBD=54，AB=200m，BC=300m请你计算出这片水田的面积（参考数据：sin540.809，cos540.588，tan541.376，1.732）28如图，在四边形ABCD中，BCD是钝角，AB=AD，BD平分ABC，若CD=3，BD=，sinDBC=，求对角线AC的长29如图，ABC中，ACB=90，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E（1）求线段CD的长；（2）求cosABE的值30如图，在ABC中，CD是边AB上的中线，B是锐角，且sinB=，tanA=，BC=2，求边AB的长和cosCDB的值北师大版九下数学第一章单元测试题参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1（2016乐山）如图，在RtABC中，BAC=90，ADBC于点D，则下列结论不正确的是（）ABCD【分析】根据锐角三角函数的定义，即可解答【解答】解：在RtABC中，BAC=90，sinB=，ADBC，sinB=，sinB=sinDAC=，综上，只有C不正确故选：C【点评】本题考查了锐角三角函数，解决本题的关键是熟记锐角三角函数的定义2（2016东方校级模拟）在正方形网格中，的位置如图所示，则tan的值是（）ABCD2【分析】此题可以根据“角的正切值=对边邻边”求解即可【解答】解：由图可得，tan=21=2故选D【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切值的含义是解决此题的关键3（2016澄迈县二模）在ABC中，C=90，a、b、c分别为A、B、C的对边，下列各式成立的是（）Ab=asinBBa=bcosBCa=btanBDb=atanB【分析】根据三角函数的定义即可判断【解答】解：A、sinB=，b=csinB，故选项错误；B、cosB=，a=ccosB，故选项错误；C、tanB=，a=，故选项错误；D、tanB=，b=atanB，故选项正确故选D【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边4（2016无锡）sin30的值为（）ABCD【分析】根据特殊角的三角函数值，可以求得sin30的值【解答】解：sin30=，故选A【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是明确特殊角的三角函数值分别等于多少5（2016闵行区一模）已知为锐角，且sin=，那么的余弦值为（）ABCD【分析】利用平方关系得到cos=，然后把sin=代入计算即可【解答】解：sin2+cos2=1，cos=故选D【点评】本题考查了同角三角函数的关系：sin2A+cos2A=16（2016安徽四模）在ABC中，若|sinA|+（tanB）2=0，则C的度数为（）A30B60C90D120【分析】先根据非负数的性质求出sinA=，tanB=，再根据特殊角的三角函数值即可求解【解答】解：|sinA|+（tanB）2=0，|sinA|=0，（tanB）2=0，sinA=0，tanB=0，sinA=，tanB=A=30，B=30，C=120故选D【点评】本题考查的知识点为：考查了非负数的性质；考查了三角形内角和为180；考查了特殊角的三角函数值7（2016罗定市一模）已知为锐角，sin（20）=，则=（）A20B40C60D80【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可【解答】解：为锐角，sin（20）=，20=60，=80，故选D【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目8（2016兰州）在RtABC中，C=90，sinA=，BC=6，则AB=（）A4B6C8D10【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入求出AB的长即可【解答】解：在RtABC中，C=90，sinA=，BC=6，AB=10，故选D【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键9（2016石家庄一模）如图，点P在第二象限，OP与x轴负半轴的夹角是，且OP=5，cos=，则点P坐标是（）A（3，4）B（3，4）C（4，3）D（3，5）【分析】过点P作PAx轴于点A，过点P作PBy轴于点B，根据OP=5，cos=可求出OA，再根据勾股定理可求出PA，由此即可得出点P的坐标【解答】解：过点P作PAx轴于点A，过点P作PBy轴于点B，如图所示OP=5，cos=，OA=OPcos=3，PA=4，点P的坐标为（3，4）故选B【点评】本题考查了解直角三角形以及点的坐标，解题的关键是：求出OA，PA的长本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，构建直角三角形通过解直角三角形来找出点的坐标是关键10（2016涪城区模拟）如图ABC中，tanC=，DEAC，若CE=5，DE=1，且BEC的面积是ADE面积的10倍，则BE的长度是（）AtBCD【分析】作辅助线BFAC，根据题目中的数据利用三角形相似和勾股定理可以分别求得BF、EF、BE的长度，本题得以解决【解答】解：作BFAC于点F，如右图所示，CE=5，DE=1，且BEC的面积是ADE面积的10倍，DEAC，即，解得，BF=2AE，设AE=a，则BF=2a，DEAC，BFAC，ADEABF，即，得AF=2a2，EF=2a2a，tanC=，tanC=，BF=2a，解得，CF=4a，CE=CF+EF，CE=5，即5=4a+2a2a，解得，a=1或a=2.5（舍去），BF=2，EF=1，BE=，故选C【点评】本题考查直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理解答二填空题（共10小题）11（2016新化县一模）如图，ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC=【分析】先构建格点三角形ADC，则AD=2，CD=4，根据勾股定理可计算出AC，然后根据余弦的定义求解【解答】解：在格点三角形ADC中，AD=2，CD=4，AC=，cosC=，故答案为：【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值也考查了勾股定理12（2016永春县模拟）在ABC中，C=90，AB=13，BC=5，则sinA的值是【分析】利用锐角三角函数的定义求解，sinA为A的对边比斜边，求出即可【解答】解：在ABC中，C=90，AB=13，BC=5，sinA=故答案为【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边13（2016昆明模拟）在RtABC中，C=90，如果AC=4，sinB=，那么AB=6【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解【解答】解：sinB=，AB=6故答案是：6【点评】本题考查了正弦函数的定义，是所对的直角边与斜边的比，理解定义是关键14（2016黔东南州）tan60=【分析】根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可【解答】解：tan60的值为故答案为：【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键15（2016路北区二模）已知在RtABC中，C=90，tanA=，则sinA=【分析】根据tanA=，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出sinA的值【解答】解：在RtABC中，C=90，tanA=，设a=3x，则b=4x，则c=5xsinA=故答案是：【点评】本题考查了同角三角函数的关系求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值16（2016汉川市模拟）计算tan1tan2tan3tan88tan89=1【分析】根据一个角的正切函数等于它余角的余切函数，根据同一个正切乘以余切的乘积为1，可得答案【解答】解：原式=cot89cot88cot87cot86tan86tan87tan88tan89=（tan89cot89）（tan88cot88）（tan87cot87）tan45=1故答案为：1【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，利用一个角的正切函数等于它余角的余切函数是解题关键17（2016闸北区一模）求值：sin60tan30=【分析】根据sin60=，tan30=得到原式=，然后通分合并即可【解答】解：原式=故答案为【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：sin60=，tan30=也考查了二次根式的运算18（2016舟山）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（1，0），ABO=30，线段PQ的端点P从点O出发，沿OBA的边按OBAO运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为4【分析】首先根据题意正确画出从OBA运动一周的图形，分四种情况进行计算：点P从OB时，路程是线段PQ的长；当点P从BC时（QCAB，C为垂足），点Q从O运动到Q，计算OQ的长就是运动的路程；点P从CA时，点Q由Q向左运动，路程为QQ；点P从AO时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可【解答】解：在RtAOB中，ABO=30，AO=1，AB=2，BO=，当点P从OB时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，如图3所示，QCAB，则ACQ=90，即PQ运动到与AB垂直时，垂足为P，当点P从BC时，ABO=30BAO=60OQD=9060=30cos30=AQ=2OQ=21=1则点Q运动的路程为QO=1，当点P从CA时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ=2，当点P从AO时，点Q运动的路程为AO=1，点Q运动的总路程为：+1+2+1=4故答案为：4【点评】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题19（2016盐城）已知ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则ABC面积的所有可能值为8或24【分析】分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求得【解答】解：如图1所示：BC=6，BD：CD=2：1，BD=4，ADBC，tanB=，=，AD=BD=，SABC=BCAD=6=8；如图2所示：BC=6，BD：CD=2：1，BD=12，ADBC，tanB=，=，AD=BD=8，SABC=BCAD=68=24；综上，ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24【点评】本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本题的关键20（2016株洲）已知点P是ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫ABC的费马点（Fermat point）已经证明：在三个内角均小于120的ABC中，当APB=APC=BPC=120时，P就是ABC的费马点若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=+1【分析】根据题意首先画出图形，过点D作DMEF于点M，过E、F分别作MEP=MFP=30就可以得到满足条件的点P，根据特殊直角三角形才求出PE，PF，PM，DP的长，进而得出答案【解答】解：如图：等腰RtDEF中，DE=DF=，过点D作DMEF于点M，过E、F分别作MEP=MFP=30，则EM=DM=1，故cos30=，解得：PE=PF=，则PM=，故DP=1，则PD+PE+PF=2+1=+1故答案为：+1【点评】此题主要考查了解直角三角，正确画出图形进而求出PE的长是解题关键三解答题（共10小题）21（2015春西安校级月考）ABC中，C=90，BC=3，AB=5，求sinA，cosA，tanA的值【分析】首先利用勾股定理求得AC的长度；然后利用锐角三角函数的定义解答【解答】解：RtABC中，C=90，BC=3，AB=5，AC=4，sinA=；cosA=；tanA=【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边22（2016徐汇区一模）计算：4sin452tan30cos30+【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可【解答】解：原式=42+=21+2=2+1【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型23（2016宝山区一模）计算：【分析】将特殊角的三角函数值代入求解【解答】解：原式=+=+【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值24（2015春凉州区校级月考）在锐角ABC中，AB=15，BC=14，SABC=84，求：（1）tanC的值；（2）sinA的值【分析】（1）过A作ADBC于点D，利用面积公式求出高AD的长，从而求出BD、CD、AC的长，此时再求tanC的值就不那么难了（2）同理作AC边上的高，利用面积公式求出高的长，从而求出sinA的值【解答】解：（1）过A作ADBC于点DSABC=BCAD=84，14AD=84，AD=12又AB=15，BD=9CD=149=5在RtADC中，AC=13，tanC=；（2）过B作BEAC于点ESABC=ACEB=84，BE=，sinBAC=【点评】考查了锐角三角函数的定义，注意辅助线的添法和面积公式，解直角三角形公式的灵活应用25（2016厦门校级模拟）如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sinECM的值【分析】依题意设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，先证明CEM是直角三角形，再利用三角函数的定义求解【解答】解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，EC=5x，EM=x，CM=2x，EM2+CM2=CE2，CEM是直角三角形，sinECM=【点评】本题考查了锐角三角函数值的求法关键是利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，把问题转化到直角三角形中求解26（2014黄冈模拟）在ABC中，B、C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证：=【分析】如图，过A作ADBC于D，如果利用三角函数可以分别在ABD和ADC中可以得到sinsB，sinC的表达式，由此即可证明题目的结论【解答】证明：过A作ADBC于D，在RtABD中，sinB=，AD=ABsinB，在RtADC中，sinC=，AD=ACsinC，ABsinB=ACsinC，而AB=c，AC=b，csinB=bsinC，=【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边解题的关键是作辅助线把普通三角形转化为直角三角形解决问题27（2016梧州）如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：A=90，ABD=60，CBD=54，AB=200m，BC=300m请你计算出这片水田的面积（参考数据：sin540.809，cos540.588，tan541.376，1.732）【分析】作CMBD于M，由含30角的直角三角形的性质求出BD，由勾股定理求出AD，求出ABD的面积，再由三角函数求出CM，求出BCD的面积，然后根据S四边形ABCD=SABD+SBCD列式计算即可得解【解答】解：作CMBD于M，如图所示：A=90，ABD=60，ADB=30，BD=2AB=400m，AD=AB=200m，ABD的面积=200200=20000（m2），CMB=90，CBD=54，CM=BCsin54=3000.809=242.7m，BCD的面积=400242.7=48540（m2），这片水田的面积=20000+4854083180（m2）【点评】本题考查了勾股定理，由含30角的直角三角形的性质，三角函数的运用；熟练掌握勾股定理，由三角函数求出CM是解决问题的关键28（2016厦门）如图，在四边形ABCD中，BCD是钝角，AB=AD，BD平分ABC，若CD=3，BD=，sinDBC=，求对角线AC的长【分析】过D作DEBC交BC的延长线于E，得到E=90，根据三角形函数的定义得到DE=2，推出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得到ACBD，AO=CO，BO=DO=，根据勾股定理得到结论【解答】解：过D作DEBC交BC的延长线于E，则E=90，sinDBC=，BD=，DE=2，CD=3，CE=1，BE=4，BC=3，BC=CD，CBD=CDB，BD平分ABC，ABD=DBC，ABD=CDB，ABCD，同理ADBC，四边形ABCD是菱形，连接AC交BD于O，则ACBD，AO=CO，BO=DO=，OC=，AC=2【