激光原理第三章 华中科技大学 光学谐振腔

.,第三章光学谐振腔,.,第三章光学谐振腔,光学谐振腔是激光器的重要组成部分，它的主要功能有两个：提供光学正反馈；对产生的激光模式进行控制；研究光学谐振腔的主要理论包括：几何光学理论；波动光学理论；菲涅尔-基尔霍夫衍射积分；,.,3.1光学谐振腔的稳定性,3.1.1光学谐振腔的构成与分类光学谐振腔的稳定性条件当光线在周期性透镜波导中传播而不溢出波导之外，称为稳定的透镜波导；一个薄透镜可以等效为一个球面反射镜，因此周期性透镜波导可以等效于一个共轴球面光学谐振腔，当光束在光腔中传播而不溢出，则光腔为稳定腔。透镜波导的稳定性条件为：代入等效光学谐振腔的光线矩阵元素得到：引入g参数后可以将上式写为：此式为共轴球面腔的稳定性条件反射镜的凹面向着腔内时，R取正值，凸面向着腔内时，R取负值。,.,3.1.1光学谐振腔的构成与分类,光学谐振腔的构成与分类最早的谐振腔：平行平面腔，在光学中两块平行平面镜构成了法布里-珀罗干涉仪，因此这种腔也被称为F-P腔；Maiman的第一台激光器采用的就是此腔；此后被大量采用的是共轴球面腔，这些腔有共同的特点：侧面无光学边界；轴向尺寸远大于产生振荡的波长，一般也远大于横向尺寸(反射镜尺寸)；具有这样特点的腔被称为开放式光学谐振腔。除此以外，还有由两块以上的反射镜构成的折叠腔与环形腔，以及由开腔内插入光学元件的复合腔；对于常用的共轴反射镜腔，当满足前面得到的稳定性条件时，称为稳定腔；当时，称为非稳腔；当时，称为临界腔；,.,3.1.1光学谐振腔的构成与分类,常见开腔的构成及分类：1、平行平面腔：平行平面腔属于临界腔。2、双凹腔：由共轴双凹面镜构成的光腔，R10,R20当R1d,R2d时，有则此腔为稳定腔；当R1d，此腔也为稳定腔；当R1=R2=d时，构成对称共焦腔，根据稳定性条件可以得到g1=g2=1，该腔为临界腔；当满足条件R1+R2=d时，构成实共心腔，根据稳定性条件可以得到g1g2=1，因此也是临界腔；其他参数的双凹腔都是非稳腔；,.,3.1.1光学谐振腔的构成与分类,平面、凹面反射镜腔由一个平面反射镜和一个凹面反射镜构成的光腔，R20；当R2d时，求得00；如果要求满足稳定性条件，可以求出：,.,3.1.1光学谐振腔的构成与分类,平凸腔由一个平面反射镜和一个凸面反射镜构成的光腔，R21，故所有的平凸腔都是非稳腔。双凸腔由两个凸面反射镜构成的光腔，R11，故所有的双凸腔都是非稳腔。,.,3.1.2光学谐振腔的作用,提供光学正反馈作用光学正反馈是使振荡光束在腔内行进一次时,除了由腔内损耗和通过反射镜输出激光束等因素引起的光束能量减少外,还能保证有足够能量的光束在腔内多次往返经过受激活介质的受激辐射放大而维持继续振荡。决定光学反馈的因素组成腔的两个反射镜面的反射率;反射镜的几何形状以及它们之间的组合方式；对振荡光束参数进行控制有效地控制腔内实际振荡的模式数目；可以直接控制激光束的横向分布特性、光斑大小、振荡频率及光束发散角等；可改变腔内损耗，在增益一定的情况下能控制激光束输出的能力。,.,3.1.2光学谐振腔的作用,对光学谐振腔的评价标准光学谐振腔应具有较小的损耗，可以形成正反馈，达到预期输出；应具有良好的激光模式鉴别能力；光学谐振腔的选择原则根据实际应用的需要选择不同的光学谐振腔。“稳定”与“非稳定”指的是什么？,.,3.1.3光学谐振腔稳定性判别性,常常用稳区图来表示共轴球面腔的稳定条件，以光腔的两个反射面的g参数为坐标轴绘制出的图为稳区图：图中空白部分是谐振腔的稳定工作区，其中包括坐标原点。图中阴影区为不稳定区；在稳定区和非稳区的边界上是临界区。对工作在临界区的腔，只有某些特定的光线才能在腔内往返而不逸出腔外。,.,3.1.3光学谐振腔稳定性判别性,稳定性简单判别法若一个反射面的曲率中心与其顶点的连线与第二个反射面的曲率中心或反射面本身二者之一相交，则为稳定腔；若和两者同时相交或者同时不相交，则为非稳腔；若有两个中心重合，则为临界腔；,.,3.1.3光学谐振腔稳定性判别性,稳定性判断圆法分别以两个反射镜的曲率半径为直径，圆心在轴线上，作反射镜的内切圆，该圆称为圆；若两个圆有两个交点，则为稳定腔；若没有交点，则为非稳腔；若只有一个交点或者完全重合，则为临界腔；,.,3.2光学谐振腔的模式,3.2.1平平腔的驻波均匀平面波近似一般的开放式光学谐振腔都满足条件：在满足该条件时，可以将均匀平面波认为是腔内存在的稳定电磁场的本征态，为平行平面腔内的电磁场提供一个粗略但是形象的描述；严格的理论证明，只要满足条件，则腔内损耗最低的模式仍可以近似为平面波，而是光腔的菲涅尔数，它描述了光腔衍射损耗的大小。,.,3.2.1自由空间中的驻波,沿z方向传播的平面波可以表示为：沿-z方向传播的平面波为：发生重叠时的电磁场分布为：该叠加的场分布的振幅在沿z方向上有一个余弦分布。在z点处的振幅为当时，振幅有最大值，称此位置为波腹；当时，振幅有最大值，称此位置为波节；驻波频率为平面波频率，而且可以为任意值。,.,3.2.1平平腔的驻波,平行平面腔中的驻波当光波在腔镜上反射时，入射波与反射波发生干涉，而多次往复反射形成的多光束干涉，稳定的振荡要求干涉加强，发生相长干涉的条件为：波从某一点出发，经腔内往返一次再回到原位时，相位应与初始出发时相差2的整数倍。以表示往返一周后的相位差：其中的q为任意正整数，将满足上式的波长以来标记，则有：上式意味着一定长度的谐振腔只能对一定频率的光波形成正反馈，为腔的谐振频率，同时表明腔内的谐振频率是分立的。,.,3.2.1平平腔的驻波,当发生谐振时，腔内的光学长度为光波半波长的整数倍，这是腔内驻波的特征。当腔内为均匀的折射率为的物质时有：其中L为腔的几何长度，则，其中的是物质中的谐振波长。当腔内物质为分段均匀，则有：当物质沿轴线分布不均匀时有：,.,3.2.2光学谐振腔中的纵模,将腔内稳定存在的、由整数q表征的光波纵向分布称为腔的纵模(Longitudinalmode)。在简化模型中，q单值的决定模的谐振频率。腔的两相邻纵模的频率之差称为纵模间隔：对于腔内是均匀介质的谐振腔则有：,.,3.2.2光学谐振腔中的纵模,例：对于L=10cm的气体激光器，=1，则有；对于L=100cm的气体激光器，；对于L=10cm，=1.76的固体激光器，；当其他参数固定时，光腔的腔长增加，频率间隔减小；对于微波腔，其尺寸可以与波长相比拟，则在腔中只会激发低阶本征模式，而在光学谐振腔中，它工作在极高的谐波上，既q是一个很大的整数。例如L=100cm，=632.8nm的He-Ne激光器：,.,3.2.3腔内的多纵模振荡,某个纵模q能够在腔内存在必须满足以下条件：满足腔内谐振频率条件：q必须落在激活介质发光的原子谱线内，此时激活介质才能对该纵模提供增益；满足振荡阈值条件；在光学谐振腔中能够存在的纵模数最多只能有：,.,3.2.3腔内的多纵模振荡,频率漂移对某个腔内纵模q：由此可知，当腔长L或者折射率发生变化时，纵模的谐振频率也会发生变化。这种振荡频率随外界环境变化而发生缓慢变化的现象称为频率漂移。假设腔内纵模频率会随温度发生变化，如图所示，当温度为T0时，只有q能够振荡；当温度为T2时，q漂出T的范围，而q+1漂进T，则腔内模式发生了变化，成为跳模现象频率漂移现象都是有害的吗？,.,3.4开腔模式的物理概念和衍射理论分析方法,我们关心的问题：在由无侧面的共轴反射镜构成的开放光学谐振腔区域中，是否存在不随时间变化的稳定的电磁场分布？如何求出这个分布的具体形式？在考察光学谐振腔中电磁场的分布时，我们首先关心的是镜面上的分布，因为镜面一般作为激光输出窗口，而输出激光的场分布就直接与镜面上的场分布有关。,.,3.4.1开腔模式的物理概念,开腔中有多种损耗：由于反射镜尺寸有限，在反射镜边界处引起的衍射损耗，该损耗会影响开腔中振荡的激光模式的横向分布；反射镜不完全反射、介质吸收等因素引起的损耗不影响模式的横向分布；开腔的理想模型：两块反射镜片处于均匀的各向同性介质中；,.,3.4.1开腔模式的物理概念,假设初始时在镜面1上有分布为u1的电磁场从镜面1向镜面2传输，经过一次渡越，在镜面2上有分布为u2的场，在经过反射后再次渡越回到镜面1时场的分布为u3，如此反复。受到各种损耗的影响，不仅每次渡越会造成能量的衰减，而且振幅横向分布也会由于衍射损耗的存在而发生改变；由于衍射损耗仅发生在镜面的边缘，因此只有中心振幅大，边缘振幅小的场才会尽可能少的受到衍射损耗的影响。经过多次渡越后，这样的模式除了振幅整体下降，其横向分布将不发生变化，即在腔内往返传输一次后可以“再现”出发时的振幅分布。,.,3.4.1开腔模式的物理概念,将开腔中这种经一次往返可再现的稳定电磁场分布称为开腔的自再现模；自再现模经一次往返所发生的能量损耗定义为模的往返损耗，它等于衍射损耗；自再现模经一次往返所产生的相位差定义为往返相移，往返相移应为2的整数倍，这是由腔内模的谐振条件决定的。,.,3.4.1开腔模式的物理概念,孔阑传输线开腔物理模型中衍射的作用腔内会随机的产生各种不同的模，而衍射效应将其中可以实现自再现的模式选择出来；由于衍射的影响，镜面上每一点的电磁场都可以视作前一个镜面上每一点作为次级子波源发出光波场的叠加，因此每点的相位之间的关联就越来越紧密，即相干性越来越好；,.,3.4.2开腔衍射理论分析,菲涅尔-基尔霍夫衍射积分惠更斯-菲涅尔原理：波前上每一点都可以看成是新的波源，发出次级子波，空间中的任意一点的光场就是这些子波在该点相干叠加的结果；该原理是研究光学衍射现象的基础，因此也必然是开腔模式的物理基础；该原理的数学表达式是基尔霍夫衍射积分方程；,.,3.4.2开腔衍射理论分析,设已知空间某一曲面S上光波长的振幅和相位分布函数为u(x,y)，则空间任一点P处的光场分布，可以看作曲面S上每点作为次级子波源发出的非均匀球面波在P点的叠加，由菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式来描述：为什么用菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式？其中k=2/为波矢的模，也称为波数；dS是S面上的面积元；为源点与P点之间连线的长度；为源点处S面法线与P点连线之间的夹角；表示球面波，(1+cos)为倾斜因子，表示非均匀球面波；,.,3.4.2开腔衍射理论分析,将该公式应用于研究谐振腔问题，它描述了镜面S1上光场u1(x,y)经过衍射后在镜面S2上面形成光场分布u2;要做出如下假设：1、在小角度近似下有：并且在此情况下可以将光场的两种偏振状态作为独立变量分别求解；2、，被积函数中的指数因子不能简单将用L代替，只能根据不同谐振腔情况来简化；3、腔内振幅衰减是缓慢的；,.,3.4.2开腔衍射理论分析,经过q次传播后：将第一个假设带入其中有：由开腔理论中描述的自再现模的定义可知，在开腔内稳定传输的光波模式应满足关系：在稳定情况下，uq从镜面S1传播到S2时，除了一个表示振幅衰减和相位移动的、与坐标无关的复常数因子外，其分布能够被uq+1再现。,.,3.4.2开腔衍射理论分析,腔内存在的稳定光波场，它们由一个腔面传播到另一个腔面的过程中，虽然会受到衍射效应的影响，但是这些光波长在两个腔面处的相对振幅分布和相位分布保持不变。,.,3.4.2开腔衍射理论分析,以E(x,y)表示开腔中的稳定光场分布函数u，则上式可以简化为：该式是开腔自再现模满足的积分方程，满足以上方程的函数E成为本征函数，为本征值，而K为积分方程的核；对于对称腔：,.,3.4.2开腔衍射理论分析,满足上式的本征函数E就是腔的自再现模，也称为腔的横模，E一般是复函数，其模|E(x,y)|描述的是镜面上的振幅分布，其幅角argE(x,y)表示镜面上的相位分布；为复常数，不妨设为：其中的a、为与坐标无关的实常数，则自再现模可以表示为：由此可见，e-a表示腔内渡越一次后自再现模的振幅衰减，a越大损耗越大，a=0表示无损耗传输；表示渡越一次后自再现模的相位滞后，越大相位滞后越多。,.,3.4.2开腔衍射理论分析,从镜面S1出射的光功率为：被镜面S2反射后的自再现模的功率为：自再现模在腔内渡越一次时受到的功率损失，称为模的单程损耗：|越大，模的单程损耗越大，这个损耗中包含了几何光学的光束横向偏折损耗和镜面边缘的衍射损耗。,.,3.4.2开腔衍射理论分析,自再现模在腔内经过一次渡越的总相移定义为：由，可得；从开腔的谐振条件可知要形成稳定的自再现模，必然要求其在腔内往返传输一次的总相移为2的整数倍：即，q为正整数，此公式对称开腔的谐振条件。,.,3.4.3平行平面腔模的迭代解法,平行平面腔优点：光束方向性好、模体积较大、容易获得单横模振荡；缺点：调整精度要求较高、损耗比稳定腔大；分析平行平面腔的方法分析平平腔的主要内容就是分析其振荡模式，也就是求解平平腔条件下的菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式；公式的解存在，但是很难求解，因此多使用数值方法来求近似解；,.,3.4.3平行平面腔模的迭代解法,Fox-Li数值迭代法GardnerFox和厉鼎毅在1961年发表文章ResonantModesinaMaserInterferometer首次提出了用计算机迭代方法求解衍射积分方程来研究平平腔内模式的方法；优点理论上可以研究任何类型的光学谐振腔；通过迭代法近似计算证明了自再现模的存在性；计算过程与开腔模式的物理机制类似，方便理解；缺点收敛性不好，计算量大；对高阶模式的计算误差较大；,.,3.4.3平行平面腔模的迭代解法,平行平面镜腔如图所示的矩形镜平平腔，满足条件：两腔镜上两点之间距离为：将其作级数展开：,或者,.,3.4.3平行平面腔模的迭代解法,当满足条件时，积分核可以写成：则衍射积分公式改写为：对方形或矩形反射镜能够对光场表达式进行分离变量：,式(1)表示一个平平腔，其反射镜在x方向上的宽度为2a，y方向上无限延伸的条状腔的自再现模；式(2)表示的是另一个方向的条状腔的自再现模。,.,3.4.3平行平面腔模的迭代解法,满足上述方程的函数E(x)和E(y)可以有很多个，用Em(x)和En(Y)分别表示其中的第m和第n个解，对应的复常数为m、n，则上述方程可以表示为：(1)式在数学上称为本征方程，只有在m和n为一系列分立的值，对应m、n取不同的正整数时，方程才成立，因此m和n又被称为方程的本征值；对不同的m和n，能够使方程成立的解Em(x)和En(y)被称为相应的本征函数；本征函数决定了镜面上的场分布；本征值决定了光波模的传播特性，例如模的衰减、相移、谐振频率等；,此时的自再现模为：复常数为：,.,3.4.3平行平面腔模的迭代解法,由此可得到数值计算中的迭代公式为：要进行迭代需要设置初始值u1，从前面我们对开腔物理模型的分析知道，理论上任何形式的初始模式在经过足够多次的传播后都会产生稳定的自再现模，因此不妨设u1(x)=1，由于argu1(x)=0，它代表了一个等相位面就是反射镜平面，且在等相位面上振幅均匀分布的平面波。,.,3.4.3平行平面腔模的迭代解法,将u1带入迭代公式可以求出第二个镜面上的光波u2。由于我们只对相位和振幅的相对分布感兴趣，因此对u2进行归一化。将归一化后的u2作为输入参数带入迭代公式可以求出u3，依次循环计算下去，直到得到的归一化的uq+1和uq之间只相差一个与坐标无关的常数因子为止；此时求出的uq是迭代方程的稳定解，也就是本征函数；此时求出的与坐标无关的常数因子是本征值；,.,3.4.3平行平面腔模的迭代解法,Fox-Li对条件下的平平腔进行了迭代计算，得到了稳定存在的自再现模并分析了其特征。1、镜面上的振幅分布右图是300次迭代后得到的稳定自再现模的相对振幅分布，具有以下的特点：镜面中心处振幅最大；从中心到边缘振幅逐渐下降；振幅分布具有藕对称性；具有这种特征的模是腔的最低阶偶对称模，或者称为基模。在条状腔中用TEM0，在矩形镜和圆形镜腔中用TEM00来表示基模。菲涅耳数N描述了光腔衍射损耗的大小，N越大，衍射损耗越小，镜边缘处的相对振幅越小；,.,3.4.3平行平面腔模的迭代解法,在平平腔中除了基模外，还有其他类型的模。在平平腔迭代中如果选取初值条件为：可以通过迭代得到另一种形式的稳定解，如右图所示，图中的相对振幅在镜中心处为零，在镜边缘处也为最小值，然而在镜中心和边缘中间存在两个极值，在镜面上出现了场振幅为零的节线位置，整体的分布具有奇对称特性，这样的模称为条状腔的最低阶奇对称模，以TEM1表示。腔中还存在着其他的高阶模式；,.,3.4.3平行平面腔模的迭代解法,2、镜面上的相位分布右上图是基模在镜面上的相位分布，从其分布可知TEM0模不是严格意义的平面波，但当菲涅耳数较大时，仍然可以近似为平面波，特别是在镜面中心及附近区域；只有在镜边缘波前才发生微小的弯曲；右下图是TEM1模的相位分布，在节线附近相位会发生突变，在被波节隔开的各个区域中都可以被近似为平面波。,.,3.4.3平行平面腔模的迭代解法,3、单程相移与谐振频率A、单程总相移计算方法：在迭代过程中，对镜面上的任一点，计算光波在腔内渡越一次后，在另一个镜面上坐标相同的点的振幅和相位的相对变化，即可得到相移；表达式：其中kL为几何相移，为附加相移，与N有关，不同的横模有不同的附加相移；,.,3.4.3平行平面腔模的迭代解法,右图为不同横模的单程相移随N变化的曲线，从曲线中可以得出结论：N相同时，基模的附加相移最小，高阶模的附加相移较大；N较大时，在对数坐标中附加相移随N的变化曲线基本为直线；,.,3.4.3平行平面腔模的迭代解法,B、谐振频率由自再现模稳定存在的条件可知：以mnq表示TEMmn模的谐振频率，则：与前面得到的平面波理论中的谐振频率公式相比较，多了一项，它是由TEMmn模的附加相移引起的。,.,3.4.3平行平面腔模的迭代解法,4、单程功率损耗对于横模，无论是什么类型的谐振腔，其单程功率损耗的大小都是菲涅耳数的函数，右图是不同腔型的不同模式的单程功率损耗随N变化的曲线。基模是平行平面腔的一切横模中损耗最小的；对确定的横模，单程损耗由N单值决定，N越大，损耗越小；低阶模，特别是基模，其损耗均低于均匀平面波的损耗；,.,3.5稳定球面腔,3.5.1方形镜共焦腔的自再现模1、衍射积分方程及其解析解如右图所示的方形镜共焦腔，满足如下条件：则两点之间的距离为：从平平腔推导可知：由球面镜几何关系：,.,3.5.1方形镜共焦腔的自再现模,其自再现模mn满足的积分方程为：作如下变换：,.,3.5.1方形镜共焦腔的自再现模,通过分离变量求得：寻找方形镜共焦腔自再现模的问题等价于求解这两个本征积分方程的本征值。该方程可以求出解析解：,.,3.5.1方形镜共焦腔的自再现模,将长椭球函数表达式代入本征值表达式可得：长椭球函数满足关系：该公式与衍射积分公式形式类似，其右边是角向长椭球函数的傅立叶变换，该公式说明长椭球函数的傅立叶变换等于其本身，即长椭球函数是实函数；(1)式同(2)式共同决定了矩形腔中模式的相移与损耗；以TEMmn表示共焦腔自再现模；,.,3.5.1方形镜共焦腔的自再现模,2、镜面上场的振幅和相位分布A、厄米-高斯近似在时，在共焦反射镜面中心附近，角向长椭球函数可以表示为厄米多项式与高斯函数的乘积：其中Cm、Cn为常系数，Hm(x)为m阶厄米多项式。厄米多项式的最初几阶为：,.,3.5.1方形镜共焦腔的自再现模,当c时，厄米-高斯函数是分离变量后的本征方程的本征函数；c为有限值时，只要满足条件c=2N1，厄米-高斯函数仍能非常好的满足本征方程；若不满足该条件，在镜面的中心附近，仍然能够用厄米-高斯函数正确描述共焦腔模的振幅与相位分布；将长椭球函数的厄米-高斯近似带入本征方程的本征解，并且用x，y替代X，Y可以得到自再现模的表达式：其中Cmn为常系数。,.,3.5.1方形镜共焦腔的自再现模,B、厄米-高斯近似下的基模当m=n=0时，可以得到TEM00模的分布函数：基模振幅在镜面上的分布为高斯型，在距离中心距离为：处，振幅降为中心处振幅的1/e。其中L为共焦腔长度，为激光波长，通常用半径为r的圆来规定基模光斑的半径，并定义为共焦腔中基模在镜面上的光斑尺寸或光斑半径。光场并不局限于0S内，而是扩展到无穷远处，只是当r0S时，光强已经很微弱。共焦腔基模在镜面上光斑的大小与反射镜的尺度无关，而只与腔长L，或共焦腔反射镜焦距f=L/2有关，但只在厄米-高斯函数近似下才成立。,.,3.5.1方形镜共焦腔的自再现模,例使用共焦腔的CO2激光器，若L=1m，输出波长为10.6um，则0S约为1.84mm；使用共焦腔的He-Ne激光器，L=0.3m，输出波长为0.6328um，则0S约为0.25mm；说明共焦腔光斑半径通常很小，比反射镜尺寸小得多，因此其广场主要集中在镜面中心附近；除了1/e半径0S，还有另一种光斑半径的定义方式，即强度最大值的1/2处（半功率点）的光斑尺寸为0S。,.,3.5.1方形镜共焦腔的自再现模,C、高阶横模当m、n取不同时为0的一系列整数时，为高阶横模：TEMmn在镜面上的振幅分布特点取决于厄米多项式与高斯分布函数的乘积，厄米多项式的零点决定场的节线，而厄米多项式的正负交替与高斯函数的特性决定场分布的轮廓。,.,3.5.1方形镜共焦腔的自再现模,.,3.5.1方形镜共焦腔的自再现模,D、相位分布镜面上等相位面由mn(x,y)的幅角决定。由于长椭球函数为实函数，则mn(x,y)也是实函数，其幅角为0，说明镜面上各点的相位相同，即球面镜共焦腔的反射镜与自再现模的等相位面完全重合，这一结论对基模和高阶模都成立。共焦腔与平平腔的相位分布不同；,.,3.5.1方形镜共焦腔的自再现模,3、单程损耗共焦腔自再现模的单程损耗：通过计算可以得到不同腔的损耗，如右图所示。均匀平面波夫琅和费衍射的衍射损耗大于平平腔自再现模的衍射损耗，而平平腔的损耗大于共焦腔的衍射损耗；基模的损耗是所有模式的损耗中最少的；菲涅耳数越大，衍射损耗越小；,.,3.5.1方形镜共焦腔的自再现模,共焦腔中各个模式的损耗与腔的具体尺寸无关，而单值地由菲涅尔数确定，TEM00模的损耗可近似按下述公式计算：He-Ne激光器采用共焦腔，L=30cm，放电管半径a=0.1cm，输出波长0.6328um，对应菲涅耳数为5.627，可以求出而如果采用平平腔，。以上例子说明当采用共焦腔时，对于通常尺寸的激光器，当N不太小时，衍射损耗可以忽略不计。当N相同时，不同的横模有不同的损耗，因此可以利用衍射损耗的差别来进行横模选择。,.,3.5.1方形镜共焦腔的自再现模,4、单程相移和谐振频率单程相移由本征值决定：其中除了几何相移以外，还存在一个附加相移：该相移与N无关，而是由横模的阶次决定的，这与平平腔情况不同；由谐振腔的谐振条件可得：则谐振频率为：,.,3.5.1方形镜共焦腔的自再现模,纵模间隔：当m、n不变时，由q变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：当q、n不变时，由m变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：当q、m不变时，由n变化引起的相邻纵模间的频率间隔为：模式简并：不同的q、m、n所决定的横模处于同一个谐振频率mnq，即使得q+(m+n+1)/2相同的各种m、n、q搭配。,.,3.5.2方形镜共焦腔的行波场,当镜面上的场分布能够用厄米-高斯函数来描述时，共焦腔中的行波场可以表示为：其中：,Emn(x,y,z)表示TEMmn模在腔内任一点的场强，E0为常数，Amn为归一化常数；只要考虑输出镜的输出对光束没有变换作用，行波场的表达式还可推广到腔外整个空间。,.,3.5.2方形镜共焦腔的行波场,1、振幅分布共焦腔行波场振幅为：对基模：振幅1/e处的基模光斑半径为：该公式表示腔中不同位置处的光斑大小各不相同：基模光斑的大小随z的变化规律：,即z=0处为束腰位置，0为束腰半径。,.,3.5.2方形镜共焦腔的行波场,2、模体积某一模式的模体积描述的是该模式在腔内所能扩展的空间；模体积越大，该模式在激活介质中的体积就越大，对该模式提供的增益就越大，可能输出的功率就越大；对基模，其模体积为：对高阶模，其模体积为：,.,3.5.2方形镜共焦腔的行波场,3、等相位面的分布腔内的相位分布由(x,y,z)描述，与腔的轴线相交于z0点的等相位面的方程为(0,0,z)，忽略由于z的微小变化引起的相位变化，在强的轴线附近有：上式描述的是柱坐标系中的抛物面方程式，抛物面的定点位于z=z0处，而抛物面的焦距为：在r2f的范围内，即腔轴线附近，可以将其近似为球面波，与腔的轴线在z0点相交的等相位面的曲率半径为：,注意与前面得到的高斯光束等相位面半径公式的比较,.,3.5.2方形镜共焦腔的行波场,4、远场发散角远场发散角定义为光束半径分布的双曲线两渐近线的夹角：半功率点定义的远场发散角为：共焦腔的基模光束具有毫弧度级的发散角；如果产生多模震荡，由于高阶模的发散角随模的阶次增大而增大，因而会使光束的方向性变差。,.,3.5.3圆形镜共焦腔的模式,1、积分方程的解精确解：超椭球函数；数值解：Fox-Li利用迭代法得到数值解；近似解：透镜孔径足够大时可以得到近似解；2、数值解的结论A、振幅分布：圆形镜共焦腔中的场更集中在反射镜中心附近，在镜的边缘部分下降得更低；振幅分布曲线更光滑；N越大，镜边缘处的场振幅越小；,.,3.5.3圆形镜共焦腔的模式,B、等相位面分布：圆形镜共焦腔反射镜面本身为场的等相位面，即模的等相位面为球面；C、单程相移模的单程相移与N无关；不同横模之间单程相移之差为/2的整数倍；n相同而m相差1的各个模相移差为/2，而m相同n相差1的各个模相移差为；,.,3.5.3圆形镜共焦腔的模式,D、单程功率损耗圆形镜共焦腔不同横模的衍射损耗各不相同；衍射损耗最低的模式是TEM00模，随着横模级次的增高，损耗迅速增加；所有模式的损耗随N的增大而迅速下降；相应横模的损耗在数量级上要比平平腔模低得多，但比方形镜共焦腔的损耗大。,.,3.5.3圆形镜共焦腔的模式,3、拉盖尔-高斯近似解当N时，积分方程可以求得近似解，即圆形镜共焦腔的自再现模，为拉盖尔-高斯函数。N的物理意义？,.,3.5.3圆形镜共焦腔的模式,振幅分布基模的振幅分布也是高斯分布，其1/e光束半径为，与方形镜共焦腔一致；对高阶模式，m代表了方位角上的极小值数目，n代表了径向r上的极小值数目；相位分布由于mn也是实函数，与方形镜类似，圆形镜共焦腔自再现模的等相位面与其腔镜重合。,.,3.5.3圆形镜共焦腔的模式,单程相移附加相位超前mn与数值计算结果一致。谐振频率在腔内，频率是高度简并的。单程衍射损耗这个结论是必然的，因为近似解是在N的假设下近似得到的，因此该分布不能用来研究传输损耗。,.,3.5.3圆形镜共焦腔的模式,4、圆形镜共焦腔的行波场由镜面上的场通过衍射积分方程求出空间场,.,3.5.4一般稳定球面腔与对称共焦腔的等价性,1、任意一个共焦球面腔与无穷多个稳定球面腔等价等价指两种腔具有相同的自再现模。这种等价性是以共焦腔模式的空间分布，尤其是等相位面的分布为依据的，共焦腔中与腔的轴线相交于任意一点的等相位面的曲率半径为：如果在共焦腔的任意两个等相位面上放置两块具有相应曲率半径的球面反射镜，则自再现模的行波场不会受到扰动。,.,3.5.4一般稳定球面腔与对称共焦腔的等价性,满足以下条件的无穷多个球面反射镜腔都等价于图中的共焦腔：可以证明这无穷多个腔都是稳定腔，即满足条件：任意共焦腔，等价于无穷多个稳定球面腔。,.,3.5.4一般稳定球面腔与对称共焦腔的等价性,2、任一满足稳定条件的球面腔唯一地等价于某个共焦腔以双凹腔为例给定满足0g1g21的R1、R2、L的值，可以求出f，f必须为实数，而且z1、z2必须合理，使共焦腔的中心位置可以求出。,.,3.5.4一般稳定球面腔与对称共焦腔的等价性,有确定的等价共焦腔存在,.,3.5.4一般稳定球面腔与对称共焦腔的等价性,以上的证明都是在共焦腔的模式能够用厄米-高斯或者拉盖尔-高斯函数描述时才是正确的，因为其行波场的等相位面曲率半径：是在N足够大时的近似，即本节所有的讨论都是在N足够大的前提下进行的。,.,3.5.5一般稳定球面腔的模式,通过共焦腔与一般稳定球面腔的等价性，将共焦腔模式理论引入到一般稳定球面腔中，研究其模式特征。1、镜面上的光斑尺寸从上一节导出的与一般稳定球面腔等价的共焦腔的f表达式可得到其行波场束腰：,.,3.5.5一般稳定球面腔的模式,镜面上的光斑尺寸：当g1=g2=0，L一定时，S1、S2有最小值，此时对应对称共焦腔；当0g1g21时，表达式成立；如果不满足，S1与S2为复数；当g1g21或g1g20，即稳定球面腔趋于稳定条件边界，S1与S2，此时高斯近似不再成立。,.,3.5.5一般稳定球面腔的模式,2、模体积行波场模体积定义为则一般稳定球面腔模体积为：其中为腔长L的共焦腔的基模体积；为其镜面上的光斑尺寸。一般稳定腔中的高阶模体积：,.,3.5.5一般稳定球面腔的模式,3、谐振频率从反射镜M1到反射镜M2的总相移为：由前述方形镜行波场的相位部分：可以得到：,方形镜稳定腔的谐振频率：,同理可得圆形镜稳定腔的谐振频率：,.,3.5.5一般稳定球面腔的模式,模式简并的讨论当q的变化与(m+n)的变化可以相互抵消时，不同的横模具有相同的谐振频率，即发生模式简并；以方形镜腔为例：解出：其中K和K是正整数。由稳定腔条件：01，所有双凸腔都是非稳腔。平凸腔R1，R21g1g21，所有平凸腔都是非稳腔。,.,3.6.1非稳定腔的一般特点与种类,平凹腔R1，g1=1;R20，要满足g1g21可以证明B2-4C0，则l1、l2有实数解：同理可得：其中的l1+和l2+为一组解，l1-和l2-为另一组解；是否意味着存在两对共轭像点呢？l1-和l2-表示的像点在镜前，但由于|l1-|L和|l2-|L，这两个像点都在另一侧腔外；进一步可以证明:,表明P1-和P2+重合，P1+和P2-重合，即仅有一对共轭像点,.,3.6.2非稳腔的几何自再现波型,2、光学开腔中存在共轭像点的条件轴上存在共轭像点是双凸腔的特点，还是非稳腔的共性？其他的腔有没有共轭像点？考虑任何一个共轴球面开腔，设其中存在一对共轭像点P1、P2，从P1发出的球面波在某处曲率半径为R1，往返一周后的曲率半径为R2，由球面波传输规律：几何光学自再现的条件为：存在共轭像点的条件为：这个条件就是共轴球面反射镜腔为非稳腔的条件。,.,3.6.2非稳腔的几何自再现波型,当上式取等号，表明为临界腔，此时两个共轭像点蜕化为一个；任何非稳腔，不论其结构如何，都存在一对共轭像点；这一对共轭像点发出的球面波满足在腔内往返一次成像的自再现条件；按照激光振荡模的概念，将这样一对发自共轭像点的几何自再现波型定义为非稳腔的共振模式。,.,3.6.2非稳腔的几何自再现波型,3、不同非稳腔的共轭像点和自再现波型A、双凸腔前面求得：可以证明：l10，l20，说明一对共轭像点在腔外，是虚焦点；同时可以得到l1|R1|，l2|R2|，表明着一对共轭像点在镜面曲率中心和镜面之间；腔内存在的自再现波型是从P1和P2点发出的发散球面波；在对称双凸腔情况下(R1=R2=R)，则：,.,3.6.2非稳腔的几何自再现波型,B、平凸腔在共轭像点表达式中令R1，可以得到：,.,3.6.2非稳腔的几何自再现波型,C、双凹非稳腔R1+R2L；这时有，表示P1、P2都在腔内，是实焦点；在腔内的几何自再现波型是一对会聚发散交替进行的球面波；R1