全国初中数学联赛试题及答案(2011年)

2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1已知，则的值为 （ B ）A1. B. C. D.2已知的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为 （ B ）A5. B6. C7. D8.3方程的解的个数为 （ C ）A1个 B2个 C3个 D4个.4今有长度分别为1，2，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ C ）A5组. B7组. C9组. D11组.5如图，菱形ABCD中，则 （ D ）A. B. C. D.6已知，则的值为 （ C ）A1. B. C2. D.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1在ABC中，已知，则2二次函数的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若ABD和OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则 2 3能使是完全平方数的正整数n的值为 11 4如图，已知AB是O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果，D为EF的中点，则AB 24 第二试 （A）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根求的值解 依次将题设中所给的四个方程编号为，设是方程和方程的一个相同的实根，则 两式相减，可解得设是方程和方程的一个相同的实根，则两式相减，可解得。所以 又方程的两根之积等于1，于是也是方程的根，则。又 ，两式相减，得 若，则方程无实根，所以，故于是 又，解得 二（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知，对角线交于点，且，为的中点求证：（1）；（2）证明 （1）由已知得 ，从而四点共圆，为直径，为该圆的圆心 作于点，知为的中点，所以，从而 （2）作于点，则又， ， RtRt， ，又，所以，故，所以 三（本题满分25分）已知为正整数，设，O为坐标原点若，且（1）证明：；（2）求图象经过三点的二次函数的解析式解 （1）因为，所以，即由，得 又，从而有，即（2）由，知是关于x的一元二次方程 的两个不相等的正整数根，从而，解得。又为正整数，故或 当时，方程为，没有整数解当时，方程为，两根为综合知： 设图象经过三点的二次函数的解析式为，将点的坐标代入得 ，解得所以，图象经过三点的二次函数的解析式为第二试 （B）一（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知，对角线交于点，且求证：证明 由已知得 ，从而四点共圆，为直径设为AC的中点，则为四边形ABCD的外接圆的圆心作于点，则M为BD的中点,所以，从而 作于点，则又， ， RtRt，又，所以，所以，所以三（本题满分25分）已知为正整数，设，O为坐标原点若，且）求图象经过三点的二次函数的解析式解 因为，所以 ，即由，得 又，从而有，即 又，故是关于x的一元二次方程 的两个不相等的正整数根，从而，解得。又为正整数，故或 当时，方程为，没有整数解当时，方程为，两根为综合知： 设图象经过三点的二次函数的解析式为，将点的坐标代入得 ，解得所以，图象经过三点的二次函数的解析式为 第二试 （C）一（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二（本题满分25分）如图，已知为锐角内一点，过分别作的垂线，垂足分别为，为的平分线，的延长线交于点如果，求证：是的平分线证明 如图1，作于点，于点，于点，于点设， ， 若，如图2，作，分别交于点